>>140455 Уфф, насилу решил. Откуда задача-то?
Перепишем первое равенство как b^3 - a^3 = ab^2 + cb^2 - a^2b - a^2c.
Разложим правую и левую части на множители:
(b-a)(a^2 + ab + b^2) = c(b-a)(b+a) + ab(b-a);
(b-a)(a^2 + b^2 - bc - ac)=0;
Выпишем аналогичные равенства всех пар переменных:
(b-a)(a^2 + b^2 - bc - ac)=0;
(b-c)(b^2 + c^2 - ab - ac)=0;
(a-c)(a^2 + c^2 - ab - bc)=0;
Предположим, что ни одно из равенств (a-b) = 0, (b-c) = 0, (a-c) = 0 неверно. Тогда верны все три равенства (a^2 + b^2 - bc - ac)=0, (b^2 + c^2 - ab - ac)=0, (a^2 + c^2 - ab - bc)=0.
Многочлены a^2 + b^2 - bc - ac, b^2 + c^2 - ab - ac и a^2 + c^2 - ab - bc - однородные. Значит, без ограничения общности можно считать, что a=1(т.к. а заведомо ненулевое).
Получаем:
1 + b^2 - bc - c=0;
b^2 + c^2 - b - c=0;
1 + c^2 - b - bc=0;
Вычитаем третье уравнение из первого, получаем (b-c)(b+c+1)=0. Если нулевая первая скобка, то получаем противоречие с предположением, сделанным ранее. Если вторая, то подставляя c = -1 -b во второе уравнение, получаем квадратный трёхчлен, не имеющий корней. Значит, верно либо (a-b)=0, либо (b-c)=0, либо (a-c) = 0. Т.к. всё симметрично, возьмём первое равенство. Подставляя a=b во вторые и третьи уравнения, получаем все три требуемых равенства.
Подозреваю, возможно более простое и элегантное решение из соображений однородности и симметрии(все три выражения переходят друг в друга при перестановке переменных), но что-то оно не пришло.
