>>144081 Поделись, откуда ты берёшь математические символы вроде \cup и вроде ∈.
> Они симметричны? Транзитивны? Рефлексивны? Функциональны?
Разберёмся сейчас.
Отношение симметрично, если aRb => bRa истинно
Отношение антисимметрично, если (aRb)/\(bRa) => a=b
Отношение транзитивно, если (x1Rx2)/\(x2Rx3) => (x1Rx3) истинно
Отношение рефлексивно, если aRa истинно
Отношение функционально, если (xRy1)/\(xRy2) => (y1=y2) истинно
> "больше или равно"
Зададим отношение >= на множестве X = {1,2,3} C Z = {-N, 0, N}, где N = {(1, 2, ..., n) /\ (N(n+1)-N(n)=1) /\ (для всякого n существует n+1)}
Тогда 3 >= 1 истинно
Но 1 >= 3 ложно, следовательно отношение >= не симметрично
2 >= 2 истинно, значит отношение >= антисимметрично
3 >= 2 /\ 2 >= 1 => 3 >= 1 истинно, значит отношение >= транзитивно
1 >= 1, следовательно отношение >= рефлексивно
3>=1 /\ 2>=1 => 2=3 ложно, следовательно отношение >= не функционально.
> "равно"
Зададим отношение = на множестве X = {1,2,3} C Z = {-N, 0, N}, где N = {(1, 2, ..., n) /\ (N(n+1)-N(n)=1) /\ (для всякого n существует n+1)}
Тогда 1 = 1 истинно
1=1 => 1=1 истинно, отношение = симметрично
1=1/\1=1 => 1=1, отношение = антисимметрично
Если 1=1 /\ 1=1 => 1=1, следовательно отношение = транзитивно.
1=1 => отношение = рефлексивно.
3=3 /\ 3=3 => 3=3, следовательно отношение = функционально
> "больше"
Зададим отношение > на множестве X = {1,2,3} C Z = {-N, 0, N}, где N = {(1, 2, ..., n) /\ (N(n+1)-N(n)=1) /\ (для всякого n существует n+1)}
Тогда 3 > 1 истинно
Но 1 > 3 ложно, следовательно отношение > не симметрично
a>b /\ b>a ложно при всех a,b, следовательно отношение > не антисимметрично
Пусть 3>2 /\ 2>1 => 3>1, следовательно отношение > транзитивно
3>3 ложно, следовательно отношение > не рефлексивно
Тогда 3>2 /\ 2>1 => 3=2, следовательно отношение > не функционально
Что ж, вернёмся к доказательству 1а
а) Докажем, что отношения R1 и R2 — функциональны. Вспомним, что отношение функционально тогда и только тогда, когда (xRy1)/\(xRy2) => (y1=y2). Кроме того, diag x = {(x1,x2)∈X^2|x1=x2}.
Пусть R1 не функционально, а R2 функционально. Тогда (x1R1y1)/\(x1R1y2)/\(y1!=y2), но тогда и (y1R2x1)/\(y2R2x2)/\(x1!=x2), следовательно существует R2 o R1 = {(x1,x2)∈X^2|x1!=x2}, что противоречит условию, что (все) R2 o R1 = diag x.
Такой же ход рассуждений можно применить и для не функционального R2 и функционального R1, и для обоих не функциональных R1 и R2;
Из чего следует, что R1 и R2 функциональны.
Теперь докажем, что R1 и R2 — задают взаимно обратные отображения множеств X, Y. Известно, что R1 C X x Y, а R2 C Y x X, а композиции этих отображений задают соответствующие диагонали декартовых квадратов множеств. Тогда ясно, что каждое из этих отношений биективно и y=f(x), x=g(y), следовательно они взаимно обратны.
Что значит, что решены нестрого?
Также пойду разбирать 2.
а) X1^2, X2^2
б) Отношение эквивалентно, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Докажем, что отношение R рефлексивно. Возьмём x2Rx2 <=> f(x2)=f(x2). Из этого ясно, что R рефлексивно.
Докажем, что отношение R транзитивно. (x1Rx2)/\(x2Rx3) <=> (f(x1)=f(x2))/\(f(x2)=f(x3)). Так как R рефлексивно, то ясно, что f(x1)=f(x3) <=> x1Rx3.
Докажем, что отношение R симметрично. ((x1Rx2)/\(x2Rx3) => x1Rx3)/\((x3Rx2)/\(x2Rx1) => x3Rx1)/\(x1Rx1)/\(x2Rx2)/\(x3Rx3), следовательно (x1Rx3) => (x3Rx1), а значит R симметрично.
Из этого ясно, что R эквивалентно.
c) Нужно показать, что слои отображения f: X → Y не пересекаются, а объединением слоёв является всё множество X, причём f-(y) C X.
Прообраз определён для элемента y ∈ Y. Пусть y1→x1 и y2→x1, тогда yRx — не функционально, что противоречит условию. Значит, слои не пересекаются.
По условию, существует f-:Y → X, следовательно f- инъективно. Кроме того, так как слои не пересекаются, это отображение сюръективно; суммируя, оно биективно.
Так как f-: Y → X взаимно однозначно, существует f--(y) => f(x) C Y, что значит, что всё множество Y переходит в X и наоборот.
d) Отношение эквивалентно, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пусть R C X^2. Тогда x1Rx2, если f(x1)=f(x2).
Тогда, если R антисимметрично (иначе говоря, есть только один элемент с истинным x1Rx2, где x1=x2), X^2 можно разбить на непересекающихся классы эквивалентных элементов. Иначе образуются классы элементов (x,…, xn), где x=…=xn, что равносильно антисимметричности R.
знаю что не оче, но я уже спать хочу
