>>133360
А если разложить в ряд в окрестности 0?

Надо будет в январе сдавать зачет "от предела до интеграла". Какой путь оптимальнее: учить всю соответствующую теорию или тупо выучить 3.5 приемчика? Просто вычислительная часть матана меня вообще не интересует.

>>133522
Я сам первокур, но мне помогает сначала выучить приемчики, а потом теорию, чтоб понять почему они именно такие.

Помогите школьнику на экстернате. Через пару дней сдавать экзамен, в котором будет задача такого типа:
При каких значениях параметра а функция kx^3-mx+c=a имеет n корней? Например:
2/3x^3-2x+1=a
При каких значениях а уравнение имеет менее трех корней?

>>133532
Основная теорема алгебры - многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет ровно n корней.
2/3x^3-2x+1=a имеет три корня.

Анон, я параноик и боюсь отчисления даже когда у меня все довольно хорошо. Можно ли в случае отчисления снова поступить в тот же универ, на ту же специальность, на бюджет второй раз?

>>133539
Да, конечно. Поступать на бюджет ты можешь столько раз, сколько хочешь. Право на высшее образование ты теряешь только тогда, когда получишь диплом; пока диплома нет, поступай хоть десять раз. Однако при отчислении теряется отсрочка, её дают только один раз, при втором и последующих поступлениях отсрочки уже не будет. Кроме того, для поступления требуется наличие действующих результатов ЕГЭ, но это очевидно. Я перепоступал, я знаю.

>>133533
За доказательство это не примут.

репост из далёкого /б/
(>>/b/3395465)

> B ∖ ((A ∪ B) ∖ A) = {c ∣ ((c ∈ A) ∧ (c ∉ B)) ∨ ((c ∉ A) ∧ (c ∈ B))};
> Вот здесь у тебя справа на самом деле написано (A\B)∪(B\A). Это называется "симметрическая разность": А без Б, объединенное с Б без А. Эта операция обозначается треугольничком, похожим на большую букву дельта.

Я бы хотел остановиться на этом чуть подробнее. Возьмём два простеньких множества и посчитаем по шагам:
A = {1, 2}; B = {2, 3};
C = A ∪ B = {1, 2, 3};
D = C \ A = {3};
I = B \ D = {2};
И действительно, A ∩ B = {2}; Выглядит это, по крайней мере, вполне себе как пересечение.

> Непонятно вот, о чём именно ты сожалеешь и почему сожалеешь.

Это для ради немного разбавить моё унылое повествование :3 Больше не буду.

> 15а
> И ещё подсказка - вспомни, что если a<1 и b<1, то a+b < 2.

Возможно я всё же не к месту воспользовался этим новым понятием мощности, но ведь смысл к этому a<1, b<1, a+b < 2 и сводился. Говоря проще, если ни одна фигура не накладывается на другую фигуру, то объединение площадей-множеств (пусть это будут множества элементов площади, те же самые попугаи) даст больше элементов чем содержится в площади-множестве описывающей фигуры и либо вписанные фигуры вписанными не являются, либо всё же они вписаны и накладываются друг на друга, так что множества, представляющие их площади, будут пересекаться.

>>133548
Я там жестоко протупил. Новый год надвигается, я проверил так много листочков, что ресурсы мозга израсходовались полностью. Хотя это и не извиняет меня, конечно. Посмотри замечание анона ниже, пожалуйста. Буду помнить об этом фейле очень долго, хотя сейчас ещё и не таких ошибок понаделаю, скорее всего.

> Я бы хотел остановиться на этом чуть подробнее

x ∈ B ∖ ((A ∪ B) ∖ A) <=>
x ∈ B ∧ x ∉ ((A ∪ B) ∖ A) <=>
x ∈ B ∧ ¬(x ∈ ((A ∪ B)∖A)) <=>
x ∈ B ∧ ¬(x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∉ A) <=>
x ∈ B ∧ ¬(x ∈ (A ∪ B) ∧ ¬ (x ∈ A)) <=>
x ∈ B ∧ ¬((x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ ¬ (x ∈ A)) <=>
x ∈ B ∧ (¬(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ (x ∈ A)) <=>
x ∈ B ∧ ( ((¬ x ∈ A) ∧ ¬ (x ∈ B)) ∨ (x ∈ A)) <=>
x ∈ B ∧ ( (x ∉ A ∧ x ∉ B) ∨ (x ∈ A)) <=>
x ∈ B ∧ x ∉ A ∧ x ∉ B ∨ x ∈ B ∧ x ∈ A <=>
x ∈ B ∧ x ∈ A <=>
x ∈ B ⋂ A

Эм ай вронг? Тут использовал законы де Моргана, ¬(P∧Q) = ¬P∨¬Q ; ¬(P∨Q) = ¬P ∧ ¬Q. Они, вроде как, были в книжке, которую я просил прочитать. Должны быть.
А вот к правой части придирки остались.

((c ∈ A) ∧ (c ∉ B)) ∨ ((c ∉ A) ∧ (c ∈ B)) <=>
((c ∈ A) ∧ (c ∉ B)) ∨ ((c ∈ B) ∧ (c ∉ A)) <=>
(c ∈ A\B) ∨ (c ∈ B\A) <=>
c ∈ (A\B) ∪ (B\A).

Так, нет?

Просто если x принадлежит пересечению A и B, то и c∈A∧c∉B есть ложь, и c∉A∧c∈B есть ложь.

> то объединение площадей-множеств

Оно прямо вот так и называется же, площадь пересечения фигур.

> так что множества, представляющие их площади, будут пересекаться

Проблема же не в том, пересекаются ли фигуры. Понятно, что пересекаются. Проблема в свойствах площади пересечения - нужно доказать, что она не меньше чего-то там.

Здравствуй, доброанон-математик. Я не знаю про математику ничего, но есть кое-что, что меня волнует. Я могу вычислить синус или косинус произвольной фигуры, пользуясь таблицей углов. Как-то раз я решал задачу с помощью компьютерной программы, где применялась функция вычисления синуса и косинуса из угла в радианах.

Сегодня я потратил изрядно времени на поиск формулы, которая позволяет вычислить синус и косинус из любого угла, без всяких таблиц. Нашел примерно следующее "Пользуйтесь инженерным калькулятором". Анон, можешь объяснить мне, почему так? Возможно, я где-то не там искал?
Да, мои знания очень поверхностны и я не претендую на математику даже как хобби. Надеюсь в скором будущем это исправить.

>>133575
Нужная тебе формула называется "разложение в ряд Тейлора". Поскольку синус - это, вообще, трансцендентная функция, точное значение ты не сможешь получить. Но ты можешь получить столько верных цифр, сколько тебе нужно.

sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
ruwiki://Ряд_Тейлора
Количество верных цифр выясняется через оценку остаточного члена. x - угол в радианах. Прежде чем вычислять синус, целесообразно пользоваться формулами приведения.

>>133585
Раскрой мысль.

>>133586 как нихуя не понять. про естественный предел применимости ряда ни слова, например. посмотри английскую версию для сравнения

>>133588
Теорема Тейлора, указанная в русской вики, верна. Разницы между английской и русской вики не видно.

> естественный предел применимости ряда

Что ты понимаешь под этим?

>>133589 спрашивали о вычислениях, а не о доказательстве

> Что ты понимаешь под этим?

применимость ряда для вычисления значения функции

>>133590

> применимость ряда для вычисления значения функции

В русской вики указано несколько формул для остаточного члена, что очень важно именно для вычислений. В английской их нет, и вообще та статья неинформативна, несмотря на изобилие примеров.

>>133592 для вычислений в первую очередь важно знать при каких значениях аргумента ряд расходится. почему ряд для функции 1/(1-x^2) применим только при |x|<1, а ряд для tg(x) только при |x|<pi/2 ?

> В английской их нет
> Taylor's theorem gives quantitative estimates on the error in this approximation.

в английской есть отдельная статья, посвященная именно теореме Тейлора. а статья про ряд Тейлора рассказывает о том, как и для чего использовать ряд
не понимаю, для кого писалась русская версия: люди в теме это и так знают, а которые не в теме, те ничего не поймут

>>133590
Теорема описывает условия применимости. Не понимаю, о чём ты говоришь.

Не понимаю, что это за такой номер N, зависящий от окрестности точки А? И как понять точность "эпсилон>0" Не могу найти пояснение, что это за эпсилон такое? В других учебниках определения такие же "размытые" .

Только не надо писать, что я толстый тролль. Я серьезно не понимаю.

Объясните, каким образом можно возвести число 123 в 64-ю степень, используя только 3 операции умножения.

>>133613
Это какая-то функция из множества окрестностей во множество натуральных чисел.
Эпсилон - произвольное число. Идея в том, что если две величины отличаются меньше, чем на любое заданное число, то они равны. Покури философию бесконечного, лол. ruwiki://Анализ_бесконечно_малых

>>133614

> каким образом можно возвести число 123 в 64-ю степень, используя только 3 операции умножения

Никаким?

>>133614
Никаким.

>>133614
Может не 3, а 6?

Вот по этой картинке получается, что предел - это просто значение Х функции, которому соответствует значение У функции. Но тогда функция имеет много пределов, а не один, верно? Это я уже полез в зарубежные учебники на ангельском, но там как под копирку то же самое, что и в наших, но с картинками.

>>133626

> предел - это просто значение Х функции, которому соответствует значение У функции

Если функция непрерывна, то да.

> Но тогда функция имеет много пределов, а не один, верно?

Не бывает просто "предела", он рассматривается в точке. А если в точке предел существует, то он единственный.

Доброанон, поясни мне по хардкору.

>>133647
Там просто 16 будет. Никаких подъебов.

Да всё просто.
Действие 1: вычисляем скобки 2*2=4
Действие 2: умножение и деление имеют одинаковый приоритет, деление идёт первым 20/5=4
Действие 3: умножение 4*4=16
Вот и всё. Для самых маленьких:http://math-prosto.ru/?page=pages/order_of_action/order_of_action.php

>>133651
Но ведь между 5 и ( нет знака умножения! Как так то?!

>>133654

> Но ведь между 5 и ( нет знака умножения!

Это ничего не значит.

> Как так то?!

Что как так?

Как получилось то, что внизу картинки?

>>133656
Теорема. Если p и q - корни квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0, то это уравнение можно разложить на множители следующим образом:
ax^2 + bx + c = a(x-p)(x-q).

>>133657
Спасибо.

>>133655
Вот именно, знака нет, значит умножение не подразумевается. Либо его пропустили специально, чтобы добавить порядок действий.

>>133659

> знака нет, значит умножение не подразумевается

Наркоман штоле? Как раз подразумевается.

>>133661
Вовсе нет.

>>133626
>>133630
А зачем нужны эти красная и зеленая линии?

>>133671
Окрестностью точки x называется какой-то интервал, содержащий точку x. пусть пока так
Выколотой окрестностью точки x называется окрестность точки x, из которой исключили саму точку x.
Образ множества - это множество образов всех его точек.

Число A называется пределом функции f в точке a, если в любой окрестности точки A лежит образ некоторой выколотой окрестности точки a.

Предел функции в точке может быть не равен значению функции в этой точке. Функция может быть даже не определена в некоторой точке, но иметь в этой точке предел. Когда мы делаем в точке предельный переход, мы рассматриваем только то, что творится вокруг точки, но не саму точку.

Пикрелейтед. Есть функция f. В точке x она ведёт себя интересно. Если бы она была непрерывной в этой точке, то её значение было бы y. Но она не непрерывна в этой точке, f(x) = y'. То есть предел функции f в точке x равен y, хотя значение функции f в точке x равно y'.

Если снять в том определении требование выколотости, получим определение непрерывной в точке функции. Предел функции в точке, в которой эта функция непрерывна, равен значению функции в этой точке.

Образно говоря, предел функции - это такая точка, которая сделала бы функцию непрерывной, а предельный переход - это переход от данной функции к непрерывной функции с такими же свойствами. Делая предельный переход, мы можем изучить непрерывную функцию и затем, гм, перенести полученные свойства на исходную функцию.

Штрих в том определении не нужно путать с символом производной. Это просто штрих, чтобы различить два числа.
Значения функции нужно смотреть на оси ординат (вертикальная линия со стрелочкой). Точки y и y' лежат на оси ординат.
Точка x - это точка на оси абсцисс (горизонтальная линия со стрелочкой).
Чёрная жирная точка над точкой x - это просто кусочек графика функции.

>>133673
Непонятно, что такое образ точки

> Если бы она была непрерывной в этой точке, то её значение было бы y. Но она не непрерывна в этой точке, f(x) = y'. То есть предел функции f в точке x равен y, хотя значение функции f в точке x равно.

Так ведь все наоборот. По графику Функция нигде не прерывается, значению х соответствует у без штриха. Впервые вижу кусок графика функции где-то в стороне от неё.

>>133509
Господи, ОП-пик божественнен! Формула Стокса 11 из 10!

>>133675

> что такое образ точки

Значение функции в этой точке. Если y = f(x), то y называется образом точки x при отображении f, x называется прообразом точки y при отображении f.

> По графику Функция нигде не прерывается

Смотри внимательнее. Где пунктирные линии пересекаются, там дырка.

> Смысл определения предела заключается в том, что какой бы мы ни взяли

длину интервала, которому принадлежит предел последовательности, всё равно, начиная с некоторого номера N все элементы последовательности будут
находиться внутри этого интервала.
Что-то бред какой-то. Для примера, берем последовательность (2n-1)/n, предел тут равен двум. Беру предел, черчу его окрестность, радиусом R=0.5 для примера, тогда часть элементов в неё не попадет
>>133695
Теперь понятно

>>133722

> тогда часть элементов в неё не попадет

Элементов, которые не попадают, не бесконечно много. Лишь конечное число элементов не попадают в окрестность.

Не понимаю комплексные числа. Вот f(z) - функция в четырехмерной плоскости?

Уважаемые математики! Заранее извиняюсь за глупый вопрос. Чему равно произведение бесконечно малого и бесконечно большого, если оба они одного порядка?

>>133777
Почему четырёхмерной? Функция ℂ→ℂ - это функция ℝ^2→ℝ^2. То есть имеются две обыкновеннейшие плоскости, и каждой точке одной плоскости сопоставлена какая-то точка другой плоскости.
ℝ - это прямая.
ℂ - это плоскость.

>>133811
Что значит "одного порядка"? Обычно "порядок малости" вводится только для бесконечно-малых.
У тебя стандартная неопределённость 0 ∙ ∞, может быть что угодно.

>>133811

> Чему равно произведение бесконечно малого и бесконечно большого

Неопределенности, наверное. Попробуй посчитать предел этого произведения.

>>133812
>>133813
Или я чего-то не понимаю?

>>133815
Это то же самое, что и >>133814, только другими словами.
Ладно, спасибо.

>>133555

> Они, вроде как, были в книжке, которую я просил прочитать.

Именно так. Они там есть.

(>>/b/3395582)

> Задача 1. Старейший математик среди шахматистов и старейший шахматист среди математиков — это один или тот же человек или (возможно) разные?
> Задача 2. Лучший математик среди шахматистов и лучший шахматист среди математиков — это один или тот же человек или (возможно) разные?

В принципе, мне кажется, обе эти задачи имею одинаковое решение. Пусть есть множество математиков А и множество шахматистов В, элементы этих множеств обладают некоторым свойством - возраст и успешность (назовём условно так свойство, оцениваемое по шкале лучший-худший). Возможно, во множество элементов с данным признаком (все лучшие математики/шахматисты или все старейшие математики/шахматисты) входят элементы из множества А и из множества В, а могут входить только а ∈ A или b ∈ B. Иными словами, ничто не мешает старейшему математику быть ещё и старейшим шахматистом, если он увлекается шахматами и равно ничто не мешает лучшему математику быть лучшим шахматистом. Возможно и обратное: старейший шахматист, он же старейший математик и лучший шахматист - он же лучший математик.

> Задача 3. Каждый десятый математик — шахматист, а каждый шестой шахматист — математик. Кого больше — математиков или шахматистов — и во сколько раз?

Подсказка. Сине-красное - это красно-синее.
Думаю, это непосредственным образом зависит от меры множества. Само определение "каждый энный" ничего не говорит нам об абсолютном числе математиков или шахматистов, если мы не знаем, сколько вообще этих математиков и шахматистов есть и кого из них больше.

> Задача 4. Придумать конечное семейство множеств, в котором индексами является не числовое множество, а множество слов. Записать это семейство списком, как в примере 1.

Пусть у нас будет семейство множеств A овощефруктов, а индекс i пробегает значения и множества I {i ∈ I | P(i) = зелёный, красный, оранжевый, жёлтый}:
A(зелёный) = {огурец, арбуз, капуста, яблоко, перец};
A(красный) = {перец, томат, яблоко};
A(оранжевый) = {апельсин, мандарин, морковь};
A(жёлтый) = {банан, яблоко, перец}.

> Задача 5. Написать объединение и пересечение семейства, которое вы придумали в задаче 4.

Объединением множеств A(i) будет множество A = {огурец, арбуз, капуста, яблоко, перец, томат, апельсин, мандарин, морковь, банан}.
Пересечением множеств A(i) будет пустое множество ∅, т.к. ¬(∃a)P((а ∈ A(красный)) ∧ (а ∈ A(зелёный)) ∧ (а ∈ A(оранжевый)) ∧ (а ∈ A(жёлтый)).

> Дизъюнктивное семейство множеств - это такое семейство множеств, что элементы в нём попарно не пересекаются. Точнее, если i1 ≠ i2, то Ai1 ∩ Ai2 = ∅.
> Задача 6. Придумать дизъюнктивное семейство множеств.

Пусть {i ∈ I | P(i) = 1, 2, 3, 4, 5}, тогда:
A(1) = {1, 2}; A(2) = {3, 4}; A(3) = {5, 6};
A(4) = {7, 8}; A(5) = {9, 10}
и A - дизъюнктивное семейство множеств, т.к. A(x) ∩ A(y) = ∅, где x, y ∈ I и x ≠ y. Вроде так, если я правильно понял суть. Хотя она кажется мне несколько странной. Проще говоря, дизъюнктивное семейство - это множество уникальных множеств, где ∀a ∈ A, a ∉ B, C, ..., а A, B, C ... в свою очередь принадлежат одному семейству.

> Задача 7. Предложите какое-нибудь множество такое, что семейство, которое вы придумали в задаче 6, является его покрытием.

{a ∈ A | (a ⩾ 1) ∧ (a ⩽ 10)}, ЕЯПП формулировку.

> Задача 8. Предложите какое-нибудь разбиение множества из задачи 7.

Разбиением множества А из 7 будет множество из 6. Кстати, как-то так получается, что разбиение в данном случае является и покрытием. Это нормально вообще?

>>133865

> Объединением множеств A(i) будет множество A = {огурец, арбуз, капуста, яблоко, перец, томат, апельсин, мандарин, морковь, банан}.

Объединением семейств ...

> Пересечением множеств A(i) будет пустое множество ∅, т.к. ¬(∃a)P((а ∈ A(красный)) ∧ (а ∈ A(зелёный)) ∧ (а ∈ A(оранжевый)) ∧ (а ∈ A(жёлтый)).

Пересечением семейств ...

> Разбиением множества А из 7 будет множество из 6.

... семейство множеств из 6.
молниеносный быстрофикс

>>133865
Эти задачи на понятия пересечения и объединения.
Моя не понял, так как ты ответишь на задачи 1 и 2? Там либо один и тот же, либо не всегда один и тот же.
Задача 3. Подумай ещё. Количество элементов во множестве - мощность. Мощность есть у каждого множества, а вот измеримым является-таки не каждое множество.
Задача 4. Ок, принято. Правда, множество I ты записал странно. Разумнее было бы записать его сразу в виде I = {зелёный, красный, оранжевый, жёлтый}. Запись, которой ты воспользовался, обычно используется для выделения подмножества из некоторого заданного наперёд множества. То есть пусть есть какое-то множество X. Есть предикат P(x) - сиречь такое утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным в зависимости от x. Мы желаем образовать некое новое множество I, выделив некоторое подмножество из X. Для этого мы пишем I = {x∈X | P(x)}, что означает, что в создаваемое нами множество I будут входить те и только те элементы X, которые обладают свойством P.
Пример.
X - множество целых чисел.
Предикат P означает "чётное". P(2) истинно, P(403) ложно. Тогда множество I, определенное как {x∈X | P(x)}, будет множеством всех чётных чисел.
Предикат Q означает "делится на 8". P(8) истинно, P(403) ложно. Тогда множество I, определенное как {x∈X | Q(x)}, будет множеством всех чисел, делящихся на 8.
Предикаты можно обозначать любым символом, в том числе и многобуквенным, не обязательно использовать только P.
Когда мы будем обсуждать аксиоматику Цермело-Френкеля, мы к этому вернёмся.

Задача 5. Ок, принято. Запись

> ¬(∃a)P((а ∈ A(красный)) ∧ (а ∈ A(зелёный)) ∧ (а ∈ A(оранжевый)) ∧ (а ∈ A(жёлтый))

несколько странная, но это сейчас не принципиально.

Задача 6.
Ок, принято. Дизъюнктивное семейство - это индексированное множество непересекающихся множеств. Поскольку фразу "непересекающиеся множества" можно понимать по-разному, в таких случаях принято говорить "попарно не пересекающихся". Понятно, что если они попарно не пересекаются, то они являются тем, что ты назвал уникальные.

Задача 7.
Я не совсем понял запись. Попрошу выписать это множество явно - то есть записать его элементы через запятую в фигурных скобках, типа {зелёный, красный, оранжевый, жёлтый}.

Задача 8.
Ок, ЕЯПП. Да, конечно, это нормально.

Подумай над задачей 3 и над остальными задачами.

Ещё теория. Множество вида {a,b} называется неупорядоченной парой. Неупорядоченная она потому, что {a,b} = {b,a}.
Заметь, что мы не требуем, чтобы a обязательно отличалось от b. То есть a может быть равно b, тогда {a,b} = {a,a} = {a}. То есть хотя этот объект называется парой, он может быть и из одного элемента.
Имея неупорядоченную пару, можно ввести понятие упорядоченной пары <a,b>. Есть несколько путей конструирования упорядоченной пары, их мы обсудим во время разговора об аксиоматике, пока что я просто скажу, что упорядоченная пара возникает из упорядоченной пары.

Самое интересное свойство упорядоченной пары в том, что она, гм, упорядочена. Если множество {банан, груша} - это то же самое множество, что и {груша, банан}, то упорядоченные пары <банан, груша> и <груша, банан> - это разные пары.
Другое интересное свойство в том, что в упорядоченной паре дубликаты имеют смысл. Пара <a, a> не есть множество {a}.
Упорядоченную пару можно себе представлять как семейство множеств, индексированное множеством {1,2}.
То есть на пару <банан, яблоко> можно смотреть как на список
1. банан
2. яблоко

Так вот. Имея понятие упорядоченной пары, мы можем ввести понятие "декартово произведение множеств".
Декартовым произведением множеств A и B называется множество упорядоченных пар вида <a,b>, где a пробегает множество A, b пробегает множество B. Иными словами, это множество всех возможных упорядоченных пар, в которых на первом месте стоит элемент из A, на втором месте - элемент из B. Декартово произведение A на B обозначается A×B.

Задача 9.
Пусть A = {огурец, арбуз, капуста}, B = {перец, томат}. Явно выписать множество A×B.

Задача 10.
Количество элементов во множестве называется мощностью множества. Если мощность A равна числу x, мощность B равна числу y, то чему равна мощность A×B?

>>133869

> Моя не понял, так как ты ответишь на задачи 1 и 2? Там либо один и тот же, либо не всегда один и тот же.

Хм, ну, я имел в виду, что два множества - математики и шахматисты с определёнными свойствами вполне могут пересекаться, а могут и не. Мы ведь тут рассматриваем некоторых абстрактных математиков и шахматистов в вакууме, а не занимаемся датамайнингом, сколько из реально существовавших и живущих ныне математиков увлекались шахматами и наоборот? Возможно, я что-то недопонял тогда.

> Правда, множество I ты записал странно.

Да, что-то путаюсь, десу.

>>133871

> Мы ведь тут рассматриваем некоторых абстрактных математиков и шахматистов в вакууме

Да, конечно.

> вполне могут пересекаться, а могут и не

Хорошо, что ты подумал о пересечении, это правильное направление. Но не важно, пусто ли это пересечение.

>>133872
А по поводу странной записи, если ты об A(i) - просто т.к. индексов не завезли, я подумал, что можно будет записать так, что-то вроде того, как в ЯП записывается сабскрипт массива A[i], но да, похоже, идея не очень удачная. Получилось как-то похоже на функцию... В принципе, я бы мог рендерить записи с хитрыми символами в картинки, если это будет удобно Жалко, что тут нет поддержки латеха, лол, было бы весьма нелишне

>>133873

> Получилось как-то похоже на функцию

Так и надо. Индексированное множество - это функция и есть, если работать в ZFC.

>>133875

> если работать в ZFC

А что это такое?

>>133876
Так называется стандартная аксиоматика теории множеств, Zermelo-Fraenkel with Choice. Дело в том, что оригинальная, канторовская теория множеств оказалась несовершенной. http://rghost.ru/59654216 - можешь посмотреть вот эту книжку, начиная с 12 страницы и примерно до середины второй главы. Глубоко и основательно вчитываться не рекомендую, поскольку этот материал представляет сейчас скорее исторический интерес, чем исследовательский.
Аксиомы ZFC я планирую обстоятельно разобрать с тобой после того, как ты разберёшься с элементарщиной.

ruwiki://Теория_множеств
ruwiki://Кризис_оснований_математики
ruwiki://Парадоксы_теории_множеств

>>133509
Посоветуете книжку по теории колец?

>>133879
Атья, Макдональд, введение в коммутативную алгебру. Начни с этого.

Как такие уравнения преобразовывать?

>>133881
Положим, что x/92 = a. Знаменатель не может обращаться в нуль, так что a != -10.

a/(10+a) = 0.06

a = 0.06×(10+a)
a = 0.06×10 + 0.06×a
a = 0.6 + 0.06×a
a - 0.06×a = 0.6
a(1 - 0.06) = 0.6
a×0.94 = 0.6
a = 0.6/0.94

Аноны, посоветуйте легкую книжку или методичку по исследованию решений уравнений и систем на устойчивость по Ляпунову. Я совершенно не понимаю эту тему. Даже по примерам не могу понять, что там происходит.

y`-2y+y=2xcosx+sinx. Должен же быть способ решить эту баку без дифференцирования дважды многочлена (Ах^2+Bx)cosx+(Cx^2+Dx)sinx. Потом еще всего этого крокодила туда подставлять, не могу без ошибки обойтись. Есть же более короткий путь без маткада?

>>133925
А шут его знает. Тебе сильно надо?

Первый курс, math major, половину материала не знаю, пинаю хуи, через неделю экзамены. Я вылечу, или все можно заботать за ночь перед экзаменом?

>>133934
Вылетишь, скорее всего, только в сентябре. Деканаты не спешат отчислять.

>>133934

> math major

Где учишься-то, майор математика?

>>133934
Если не долбоеб, то за неделю можно заботать даже небо и Аллаха. Но это нужно собрать яйца в кулак и сесть прям сейчас

Да какой-то предел последовательности и предел функции. Надо по определению доказать их. Какой общий принцип таких таких доказательств? Чем отличается первый от второго?

>>133945
Последовательность - отображение из натуральных чисел в вещественные.
Функция - отображение из вещественных чисел в вещественные.

Предел последовательности зависит только от одного аргумента - от последовательности.
Предел функции зависит от двух аргументов - от самой функции и от точки, в которой этот предел считается. У одной и той же функции в разных точках разные пределы.
Можно говорить о пределе последовательности, но нельзя говорить о пределе просто функции. Нужно говорить о пределе функции в точке.

Посмотри внимательно на эпсилон-дельта определения. Общий принцип в том, что тебе нужно угадать функцию дельта, зависящую от эпсилон.

>>133946
У меня затык на моменте

> угадать

>>133949
Щито поделать. Обычно там достаточно как-то повертеть неравенства, использовать теорему о милиционерах и правило Лопиталя.

>>133509
Как происходят шаги 3-6?

>>133981
Ну почти разобрался, но что за хрень происходит на 5-6? Куда пропадает степень?

>>133985

> что за хрень происходит на 5-6

x-2 за скобки вынесли.

>>133888
Посмотри сначала обыкновенные дифференциальные уравнения Арнольда, чтобы понять смысл всего этого дела, про функцию Ляпунова написано тут enwiki://Lyapunov_stability, ну а потом задачки из Филиппова например.

>>133989

> if all solutions of the dynamical system that start out near an equilibrium point xe stay near xe forever, then x_e is Lyapunov stable

Написала какая-то хуйня. Как решения могут оставаться ВСЕГДА возле точки равновесия, если при изменении t изменяется и значения решения? Функция-решение никогда не стоит на месте, она ИЗМЕНЯЕТСЯ.

Что такое S(n) в контексте перестановок? Попалась задача: сколько циклов длины k в S(n).

>>133997
Количество элементов в множестве.

>>133997
Это множество всех перестановок множества из n элементов.

>>133613
Есть понятие предел, и его выражают терминами теории. У тебя в надписи — с помощью арифметических и теоретико-множественных понятий. Предел таков, что для любой величины, которую обознача
или эпсилон, с какого-либо номера дальнейшие члены последовательности отличаются от предела меньше, чем на эпсилон.
>>133616 я не понял, вооще, названо многовато необязательных понятий.

>>134018
Какие конкретно понятия ты считаешь необязательными?

>>133509
Что имеют ввиду, когда пишут f(x+0)?
Пример: Предел f(x) при x->x0+ == f(x+0)

>>134057 x плюс бесконечно малое, т.е. к иксу подходим справа. хотя хз, кто так пишет. обычно х+dx или x-dx

>>134058
Позволю себе заявить, что вы написали ересь, сударь.

> хз, кто так пишет

Это, как я заметил, очень распространённая запись среди математиков московской школы. Так часто пишут в МГУ и во многих провинциальных вузах России. Хотя я не утверждаю, что только московская школа так пишет.

>>134057
Интервал (p;q) - это, как обычно, множество всех чисел x таких, что p<x<q.

Дельта-окрестностью числа a называется интервал (a-δ; a+δ).
Выколотой дельта-окрестностью числа a называется множество чисел (a-δ; a)∪(a; a+δ).

Левой окрестностью числа x назову интервал (a-δ; a).
Правой окрестностью числа x назову интервал (a; a+δ).
Таким образом, выколотая дельта-окрестность числа a - это просто объединение левой окрестности и правой окрестности.

Пусть есть числовая функция f, и пусть есть какое-то множество чисел M. Образом множества M мы будем называть множество всех чисел f(x), где x принадлежит множеству M. Обозначается как f(M).

Как известно, число A называется пределом функции f в точке a, если в любой окрестности точки A лежит образ хотя бы одной выколотой окрестности точки a. Это обозначается как lim(x->a)f(x) = A.

Число A называется пределом справа функции f в точке a, если в любой окрестности точки A лежит образ хотя бы одной правой окрестности точки a. Это обозначается как lim(x->a+0)f(x) = A.

Число A называется пределом слева функции f в точке a, если в любой окрестности точки A лежит образ хотя бы одной левой окрестности точки a. Это обозначается как lim(x->a-0)f(x) = A.

f(x+0) есть предел справа функции f в точке x. Символически, f(x+0) := lim(x->a+0)f(x).
f(x-0), аналогично, есть предел слева.

f(x+0)=b в эпсилон-дельта нотации запишется, например, как
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x∈(a; a+δ)) ⇒ (|f(x)-b|<ε))

Иногда левым называют правое, а правым - левое, поэтому всегда нужно уточнять, о чём идёт речь.
Как обычно, извиняюсь за возможные ляпы.
ruwiki://Односторонний_предел

>>134059
О, скобка лишняя. f(x+0)=b есть
∀ε>0 ∃δ>0 ∀x (x∈(a; a+δ) ⇒ (|f(x)-b|<ε))   Так правильнее.

>>134059

> ересь

вы тоже самое написали, только словами из учебника

> вузах России

ну, с наукой здесь всё плохо вот уже как 40 лет. ничего удивительного, сударь
позвольте узнать, когда же ноль перестал быть конкретной точкой в числовом пространстве, что запись x+0 стала тождественна x+dx?

>>134062
Нет, я написал не то же самое. Объясни, что ты понимаешь под dx и под бесконечно-малым же. Ты написал не ересь только если ты использовал эти термины в каком-то отличном от общепринятого смысле.

>>134059
Спасибо, няша.

>>134059

> очень распространённая запись среди математиков московской школы.

Вспомнилось, как препод по матану использовал термины "отображение на", "отображение в", "точка сгущения", хотя напрашивались все-таки все любимые иностранные аналоги.

>>134077
А что такое точка сгущения, кстати? Это предельная точка или точка конденсации?

>>134079
Предельная. Вообще это все из-за того, что основы общей топологии впихивают в курс классического анализа, причем на околоинтуитивном уровне. А преподы старой школы вообще ничего не знают, будто и нет такой науки, как общая топология.

>>134082
Они знают о существовании всего этого, они просто считают, что это всё ненужная ерунда, а нужно брать интегралы и решать дифуры.

>>134090

> пик

И эту вашу топологию фарисейскую запретить!

>>134090
>>134091
Ну, положим, для прикладных задач все эти доказательства и не нужны, нужны только методы и готовые знания, принимаемые за аксиомы.
мимопроходил

>>134092
но прикладные задачи может посчитать и калькулятор, зачем в них требуется человек?

>>134090
Продвинутые матфизики бы заплевали автора пика с ног до головы.
>>134094
Не зачем. Не нужен. А вот прикладные задачи человеку нужны. Для лучшего понимания теоритического материала.

>>133509
Анон, а как решать уравнения вида a*x = b (mod z) ?

>>134098

> Продвинутые матфизики бы заплевали автора пика с ног до головы

Матфизика и физика - разные вещи. Физики бы тоже заплевали, впрочем.
мимофизик

>>134105
Перепишем в виде ax = b + nz, n целое
Если НОД(a, z) = g, b не делится на g, то решений нет
Иначе сокращаем на g: (a/g)x = (b/g) + n(z/g)
Переобозначим A = a/g, B = b/g, Z = z/g: Ax = B + nZ, n целое
Это то же самое, что решить A*x = B (mod Z), но теперь НОД(A, Z) = 1
Используя алгоритм Евклида, находим X, Y: AX + ZY = 1
x = BX - искомое

>>134105
>>134109
Нет, соврал немного:
решение не только x = BX, но ещё BX+Z, BX+2Z, ... BX+(g-1)Z

>>134109
Еще вопрос, как решать такие:
a^n=b(mod x)

>>134113
Нужно найти x?
Перепишем в виде a^n-b=0 (mod x)
Это то же самое, что a^n-b делится на x, т.е. x - произвольный делитель a^n-b

помогите ребятки,объясните как решать y-xy'=1+x^2*y

Вот есть уравнение плоскости( в координатном методе), а есть ли уравнение окружности, чтоб для вектора нормали.

Как?...

>>134134
Убрали из суммы первые два члена. Импликация куда интереснее.

>>134143
Кхм, пардон. Стоило сразу всё задание показать. До меня так и не дашло, почему два выражения равны.

>>134147
Ну, там получается cosx =1- f(x)*x^2, откуда и получаем равенство.

>>134147
Там же х в степени 2n +2, a не 2n

Аноны, где применяются несобственные интегралы и (несобственные) интегралы, зависящие от параметра? Зачем это нужно?

>>134154
Преобразование фурье, например. Используется в радиофизике, оптике и еще дофига где.

Анон, где можно ознакомится с правилами дифференцирования линейных объектов на подобии пикрелейтида?

Понятно, что можно руками высчитать матрицу дифференциалов покомпонентно, а потом найти их линейное представление. Но мне не кажется, что все этим занимаются, явно есть какая-то методика решение, может через свёртки или что-то ещё?

Прошу прощения, я конечно не по адресу, но может вы подскажите. А есть нефтегазовая кафедра?

>>134179

> нефтегазовая кафедра

Вам в политикотред в /b/

>>134148
Вот меня смущает, что получается. Я не понимаю почему левая сторона равна правой. Единица какая-то, всё это...

>>134181
Я между прочим серьёзно. Знали бы вы как сложно найти качественную литературу, не говоря уже о материалах для диплома.

>>134191
Выносим из суммы члены, которые в сумме равны единице. Все.

Уважаемые математики, мне нужно сделать лабу, а я туплю и не могу рассчитать. Помогите, пожалуйста. Постараюсь выразиться как можно проще и доступнее.

Рассчитать количество жизнеспособных бактерий в 1 мл. суспензии каждого варианта и выразить выживаемость в % от контроля. Данные внести в таблицу, вычертить кривые выживаемости в зависимости от дозы облучения в % от контроля.

>>134210
конечное разведение чего? что это вообще за параметр? сколько мл суспензии было в каждом опыте? сколько бактерий в каждой группе?

>>134220

> конечное разведение чего?

Бактерий в "воде".

> сколько мл суспензии было в каждом опыте?

См. табл. "разведение в воде".

> сколько бактерий в каждой группе?

Итого см. табл. "количество выросших колоний".

>>134223
Если так будет понятнее: взяли бактерии с водичкой (разной концентрации), их разлили по разным чашкам Петри (для каждой концентрации - своя чашка). Ну и потом подсчитали количество выросших колоний на чашках Петри.

>>134232
Что такое конечное разведение? Почему оно выражено в числах, что означают эти числа?

Ах, Доброанон, у меня сегодня модуль по матану, потом зачёт. Скажи, как же ты всё это понимаешь? Есть ли какой-то секрет? Просто зубрёж? И неужели мне, таки, место в биореакторе?

>>134253

> матан
> зубрёж

Нет пути. Не можешь уложить в голове пару банальных принципов штолей?

>>134254
Пытаюсь, но часто ошибаюсь по невнимательности. Кажется, это не моё. Хорошо, что только один семестр остался, иначе, чувствую, лететь мне из универа на вольные хлеба!

>>134178
А что тебе нужно-то? Хочешь теорию - Лоран Шварц, в основном первый том. Хочешь сделать калькулятор - почитай что-нибудь о численных методах.

>>134179
Здесь, в /u/, был тред, но в нём отписывались полтора анона, и он даже в путеводитель не попал.

>>134253
На ментальном уровне математика выглядит так же, как программирование. Из программирования известны такие концепции как класс, объект, метод, пространство имён, функция. Всё это - частные случаи математических объектов. Отличие математики от программирования чисто количественное. В программировании используется от силы пара десятков концепций, о которых известно сравнительно мало фактов. В самом деле, что интересного можно сказать об объекте? Чтобы стать успешнее в математике, тебе нужно научиться без проблем работать с сотнями концепций. Тренируйся - научишься. Абстрактное мышление развивается медленно, но развивается же. Если ты умеешь программировать хотя бы чуть-чуть, то у тебя есть абстрактное мышление.

>>134256
Школы становятся всё хуже и хуже, похоже.

мимо прополз

Аноны, направьте меня на путь истинный?

>>134262
Поклянись, что прочитаешь учебник от корки до корки.

>>134262
Проще этих заданий ничего нет. Тебе должно быть стыдно.

>>133869

> Задача 7.
> Я не совсем понял запись. Попрошу выписать это множество явно - то есть записать его элементы через запятую в фигурных скобках, типа {зелёный, красный, оранжевый, жёлтый}.

а = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};
У меня там получился "погроммизм головного мозга", обозначение диапазона через (х > m) И (x < n). Правильнее было бы наверно {a ∈ A | 1 ⩽ a ⩽ 10}

> Моя не понял, так как ты ответишь на задачи 1 и 2? Там либо один и тот же, либо не всегда один и тот же.

Так, мкау. Попробую как-то более формализовать ответ что ли. Пусть есть множество А - математики и множество В - шахматисты, такие, что A ⊂ M и B ⊂ M, множество X = {x | x ∈ A, B} - это множество всех шахматистов-математиков. Очевидно, что X = A ∩ B, пусть элементы множества обладают свойством Р - возраст. Раз мы оперируем таким понятием, как старейший, придётся допустить, что есть такое максимальное Pmax, что ни одно P ≱ Pmax, тогда множество старейших шахматистов-математиков Z = {z ∈ X | P(z)=Pmax}. Pmax у нас уникально, элемент будет только один и этот элемент z ∈ A, B. Значит старейший хашматист среди математиков и старейший математик среди шахматистов - это один и тот же человек.
Заменяя свойство "возраст" на свойство "успешность" или "лучшесть" - не знаю, как его обозвать, формально получим тот же ответ для задачи 2. Но тут есть момент, который несколько смущают, как мне кажется. Можно быть лучшим шахматистом и заниматься математикой, а можно быть лучшим математиком и играть в шахматы и тогда, вообще говоря, нам стоило бы различать два свойства - успехи в математике и успехи в шахматах. На этом основании наверно было бы уместнее также разделить людей по их основному занятию. Кто-то хорош в шахматах и интересуется математикой, но не является отменным математиком и наоборот, кто-то является хорошим математиком и увлекается шахматами, но играет посредственно. Так что решение получается довольно формальным. Насчёт возраста: тут пришлось исходить из того, что возраст - это некое уникальное значение. И действительно, наверно трудно найти двух и более людей, родившихся в одно и то же время с точностью до миллисекунды, допустим (сама постановка вопроса о такой точности уже немного абсурдна). Обычдно мы отсчитываем возраст в годах и множество старейших шахматистов-математиков будет состоять из более, чем 1 элементов, так что в целом было бы уместнее говорить о старейших шахматистах-математиках в общем случае. Я понимаю, что это всё не очень существенно в задачах, но просто сбивает с толку что ли... Поэтому я сначала написал так, как написал.

> Задача 3. Подумай ещё. Количество элементов во множестве - мощность. Мощность есть у каждого множества, а вот измеримым является-таки не каждое множество.

Мы можем говорить о каком-то неравенстве только если по крайней мере |A|, |B| > 12. В противном случае, либо шахматистов (В) окажется больше, либо метаметиков и щахматистов будет поровну (1). Если |A| >> |B|, очевидно, что математиков (А) окажется больше. В идеале, если |A| = |B| и оба множества неисчислимые(?), то больше будет шахматистов (В), но это уже абсурд, потому что множество людей в целом исчислимо, и шахматистов/математиков ну никак не может быть больше, чем всех людей. В общем, сдаюсь. По-моему, чтобы дать однозначный ответ не хватает данных. Наверно я опять чего-то не понимаю sigh

>>134275
Задачи 7 и 1 - ок.
В задаче 2 ты правильно сомневаешься. На пересечении множества математиков и множества шахматистов заданы два, вообще говоря, разных порядка. Мы упорядочиваем это пересечение отдельно по успешности в шахматах, отдельно по успешности в математике. Поэтому "лучшие" люди могут быть разными.
Задача 3. Обозначь количество элементов во множестве математиков как x, количество элементов во множестве шахматистов как y, количество элементов в пересечении множества математиков и множества шахматистов как z. Затем вырази z через x, вырази z через y.
Можешь считать, что, например, если каждый десятый ондатр - выхухоль, то ондатров ровно в десять раз больше, чем выхухолей.

Декартово произведение понятно?

>>134276
Честно говоря, я пока не брался за остальную часть, просто хотел хотя бы по этому поводу отписаться. А то ведь и так пропадаю на многие дни. В общем, чтобы не создавалось впечатление, что я совсем уж с концами исчез. Теперь буду смотреть произведение и там ещё из старого остались кой-какие хвосты.

>>134277
Оки.

>>134257

> А что тебе нужно-то?

Задачи, скорее, прикладного характера. Просто ищу способ упростить себе жизнь. Нужно рассчитать несколько МНК, вот только конструкции там порой довольно громоздкие, не всегда уверен в правильности получающихся дифференциалов. Приходиться проверять себя на каких-то простых примерах, проделывая пикрелейтид и.т.п. Не смертельно, но времени тратится довольно много.

http://www.topuniversities.com/university-rankings/university-subject-[...]arch=
Такой вот вопрос: если идет выбор между мехматом и одним из вузов на 10-20 строчек ниже его, то что лучше выбрать? В европы, как я слышал, модульная система.

Здравствуйте умные доброаноны. Так получилось что я заканчиваю девятый класс и абсолютно не знаю математику. Сначала было лень заниматься ей по своей глупости. Теперь я наконец то осознал что это очень важно. С 5 класса можно считать, что я не ходил на матем. Не знаю таблицы умножения и всяких элементарных вещей типа дробей и уравнений. Что мне делать в моей ситуации? Ведь скоро экзамен. Да и самому неприятно от того что не знаю предмет. Как мне дальше то учиться во всяких колледжах и вузиках. К репетитору идти и стыдно и страшно, так как я замкнутый и тесный контакт с человеком для меня тяжел.

>>134301
Выучить таблицу умножения, прочитать учебники.
http://www.alleng.ru/edu/math1.htm

Я могу поговорить с тобой обстоятельнее. Если хочешь, то оставь здесь джаббер или аську.

>>134301
«Алгебра» Гельфанда и Шеня. Правда, там всё чуть ближе к настоящей математике, чем школьной, и соответственно сложней, но хотя бы попробовать стоит. И в ней нет некоторых тем, вроде. Логарифмы и тригонометрию придется учить по другим ресурсам. «Математике абитуриенту» Ткачука, например. Планиметрию можно учить по книге Прасолова «Задачи по планиметрии». Если не ошибаюсь, она начинается с самых-самых азов, таких как эквивалентности треугольников. Если знаешь инглиш, то тебе однозначно сюда: https://www.khanacademy.org/

Ну, и у меня самого есть вопросик: как правильно учить алгебру? Начала теории групп. Нужно зубрить определения, тренироваться их доказывать, доказывать эквивалентность разных? Или как вообще должен выглядеть алгоритм для запоминания и понимания.

>>134328
Если начала, то там определения общепринятые, и их, таки да, нужно зубрить. Доказывать эквивалентность - само собой. Нужно ещё доказывать всякие простые факты, например, что если в кольце ax=ay и a не является делителем нуля, то на a можно сократить. Листочки из http://dobrochan.com/src/rar/1410/Тривиум.rar порешать, задачи из Проскурякова посчитать, всё такое.

Вообще, ты сначала должен поставить перед собой конкретную цель, а потом для каждого совершенного тобой действия решать, приблизился ли ты к этой цели или нет. Совершать надо те действия, которые приближают тебя к цели. Если действия не приближают тебя к цели, то такие действия не надо совершать. Чем конкретнее цель, тем лучше. Цель "выучить начала теории групп" никуда не годится например, потому что слишком размыта.

>>134327
Аська 669839382

>>134329
Хм. Спасибо за ответ, анон. Про цель ты очень точно сказал. Именно этого мне очень сильно не хватает. Я плохо понимаю зачем именно я учу то, что учу. Такая же проблема с аналгемом: я очень сильно сомневаюсь, что десятки примитивных формул помогут лучше понимать потом топологию, механику я буду учить не скоро, а зачем еще он нужен — понятия не имею. С матаном всё более очевидно, поэтому и переваривается он гораздо проще.

>>134278
Поспешу отписаться по остатку, благо там, кажется, ничего затруднений не вызвало:

(>>133869)

> Задача 9.
> Пусть A = {огурец, арбуз, капуста}, B = {перец, томат}. Явно выписать множество A×B.

A×B = {<огурец, перец>, <огурец, томат>, <арбуз, перец>, <арбуз, томат>, <капуста, перец>, <капуста, томат>};

> Задача 10.
> Количество элементов во множестве называется мощностью множества. Если мощность A равна числу x, мощность B равна числу y, то чему равна мощность A×B?

|A×B| = xy; Или вообще говоря, |A×B| = |A|∙|B|; По определению у нас получается A×B = {<a,b> | a ∈ A ∧ b ∈ B}, каждый элемент a ∈ A образует упорядоченную пару с каждым элементом b ∈ B, а значит, общее число упорядоченных пар это произведение мощностей множеств A и B.

>>134338
Отлично.
Подобно декартову произведению двух множеств, можно ввести декартово произведение трёх, четырёх, ... , n множеств. Их элементами будут соответственно упорядоченные двойки, упорядоченные тройки, ... , упорядоченные n-ки. На само множество можно взглянуть как на декартово произведение одного множества. В программировании упорядоченная n-ка обычно называется массивом из n элементов.

Пусть есть какие-то множества A и B. Подмножества их декартова произведения называются отношениями <A,B>, или отношениями вида A,B, или, точнее, бинарными отношениями <A,B>. Бинарное отношение - это просто какое-то множество пар, таким образом. Отношение может быть пустым, отношение может совпадать с A×B.

Пусть некоторое отношение обозначено буквой φ, то есть φ ⊂ A×B. Если пара <a,b> принадлежит отношению φ, то мы будем писать a φ b. То есть <a,b> ∈ φ ⇔ a φ b. Читается как "a и b находятся в отношении φ". Иногда будем пользоваться записью φ(a,b).

Пример 1. Рассмотрим множество целых чисел ℤ. Рассмотрим его "декартов квадрат" ℤ×ℤ. В курсе теории чисел описывается некоторое подмножество этого декартова квадрата, обозначаемое как <. Это - известное со школы отношение "меньше". Оно, конечно, описывается не перечислением элементов, потому что целых чисел бесконечно много. Оно описывается с опорой на аксиомы. Об этом описании и вообще о том, что такое числа, мы поговорим в будущем. Утверждение, что 5 < 7, является утверждением, что <5, 7> ∈ <.

Пример 2. Рассмотрим множество, которое ты построил в задаче 9, и рассмотрим его подмножество t = {<огурец, перец>, <арбуз, перец>, <арбуз, томат>}. Это вот тоже отношение. Верно, что огурец t перец. Неверно, что перец t огурец, ведь пара <перец, огурец> не принадлежит t.

Отношения, определённые на декартовом произведении одного множества (то есть просто его подмножества) называются унарными отношениями.
Отношения, определённые на декартовом произведении двух множеств, называются бинарными отношениями.
Отношения, определённые на декартовом произведении трёх множеств, называются тернарными отношениями.

Задача 11. Придумай какое-нибудь небольшое тернарное отношение и явно выпиши все его элементы в виде φ(a,b,c).

Далее я хочу ввести важное понятие отношения эквивалентности на M. Пусть φ обозначает какое-то бинарное отношение вида <M, M>.
Отношение φ называется отношением эквивалентности, если оно обладает тремя свойствами.
1. aφa, так называемая рефлексивность. Любой элемент из M находится в отношении φ сам с собой.
2. Если a φ b, то b φ a. Так называемая симметричность.
3. Если a φ b и b φ c, то a φ c. Так называемая транзитивность.
Отношение эквивалентности - это небольшое обобщение отношения равенства. Само отношение = тоже является отношением эквивалентности. Действительно, a=a, a=b→b=a, (a=b и b=c) → a=c для любых a,b,c.
Другим примером отношения эквивалентности является "равенство" фигур в школьной геометрии.

В языке программирования PHP есть отношение ==. Оно не является отношением эквивалентности, потому что в нём не выполняется транзитивность. Например, "0" == 0, 0 == "", но неверно, что "0" == "".

Понятие отношения очень важно для теории баз данных. Информатики придумали специальные названия для многих разных отношений, выстроили сложную терминологию с кучей смысловых оттенков. Жаль только, что теорем у информатиков меньше, чем терминов.

Задача 12. Придумай какое-нибудь отношение эквивалентности на некотором угодном тебе множестве.

Теорема. Всякое отношение эквивалентности задаёт некоторое разбиение множества M на "классы эквивалентности".
Вот иллюстрация к теореме безумный навык рисовательства, ага. Две точки эквивалентны, если есть путь из первой точки во вторую. Петельки нужны для рефлексивности. Видно, что на картинке три класса эквивалентности.

Теперь доказательство.
1. Пусть φ - отношение эквивалентности на M. Каждому элементу множества M сопоставим множество всех тех элементов, с которыми он находится в отношении φ. Получим покрытие множества M. Это действительно покрытие, поскольку каждый элемент из M находится в отношении φ сам с собой и поэтому покрывается хотя бы одним множеством из построенного семейства. Обозначим это покрытие как N. Любопытно, что множеством индексов этого покрытия является само множество M.

2. В семействе общего вида, как я говорил, допустимы дубликаты. Например, может быть так, что одно и то же множество X входит в семейство и с индексом i, и с индексом j, i≠j. Исключим такую ситуацию, запретив в N дубликаты, то есть если множество входит в семейство N более чем с одним индексом, то мы оставим только одно вхождение, а все остальные выкинем. От этого N не перестанет быть покрытием. Поскольку в семействе теперь нет дубликатов, мы можем утверждать, что если множества равны, то их индексы совпадают. Если индексы не равны, то не равны и множества.

Теперь я вот утверждаю, что N будет разбиением. Докажем это.

3. По нашему определению, разбиением называется такое семейство A с индексами I, что если i ≠ j, то Ai ∩ Aj = ∅. Нам требуется показать, что если два множества из N не равны (это в силу сказанного выше эквивалентно неравенству индексов), то эти множества не пересекаются. Или, что то же самое, что если два множества пересекаются, то они равны.

4. Пусть A и B - два множества из N, пусть их пересечение не пусто.
Присмотримся к пересечению повнимательнее. В нём есть по крайней мере один элемент, x ∈ A⋂B. Этот икс принадлежит как A, так и B. По построению, все элементы A находятся в отношении φ с иксом, равно как и все элементы B.
Пусть a - произвольный элемент A. Тогда a φ x. Пусть b - какой-то элемент из B, тогда x φ b. Тогда a φ x и x φ b - следовательно, по транзитивности a φ b. Отсюда a принадлежит множеству B. Таким образом, A ⊂ B.
Аналогично, B⊂A.
Так как A⊂B и B⊂A, по определению равенства множеств A = B. То есть если A и B пересекаются, то они совпадают, что и доказывает, что N - разбиение.

Если ты не видел раньше эту теорему, то через некоторое время воспроизведи доказательство самостоятельно на листочке (берём множество с отношением эквивалентности, 1 - вводим покрытие, 2 - выкидываем дубликаты, 3 - ссылаемся на определение разбиения, 4 - используем транзитивность). Я написал слишком слов для такого простого факта, это меня смущает. Даже не прочитал нормально, что написал, тороплюсь сейчас. Если есть вопросы, обязательно спрашивай. В этом доказательстве самое интересное - шаг 4, использование транзитивности. Транзитивность встречается много где, так что доказательства вроде этого попадаются довольно часто.

Можно доказать и в некотором смысле обратную теорему: всякое разбиение задаёт отношение эквивалентности. Элементы a и b объявляются эквивалентными, если принадлежат одному и тому же множеству из разбиения.

Задача 13. Выпиши все классы эквивалентности отношения из задачи 12.

Множество всех классов эквивалентности множества M называется фактор-множеством M по отношению φ, или, реже, группировкой M по φ. Можно представлять себе фактор-множество M как само M, в котором эквивалентные элементы не различаются. Фактор-множество множества с моей картинки - это множество из трёх элементов. Фактор-множества широко используются в математике для построения всяких фактор-структур - фактор-групп, фактор-колец, etc. Фактор-множества интересны ещё и с философской точки зрения, поскольку дают основание считать эквивалентные объекты одним и тем же объектом. Фактор-множество - это богатая идея, хотя и простая.

Задача 14. Перепиши фактор-множество из задачи 13, используя в качестве символа множества какой-нибудь его элемент. Например, {1,2,3} обозначь символом 1.

Все решаете, матаны?

>>134328
Тригонометрию и логарифмы можно учить по соответствующим брошюрам МНМЦО, вроде даже за авторством Шеня.

>>133509
Правда ли, что группа ( H,+,e ) является подгруппой группы ( G,+,e ), если H подмножество G?

>>134328
Такой тогда вопрос еще. Касается не столько математики, сколько всех точных наук в целом (химия, физика).
Как лучше учить? Банально следовать методу "как в школе", то есть прочитывать параграф, запоминать главное и все формулы, решать большую часть задач и переходить к следующему? Или есть менее болезненный способ?
Просто я гуманитарий с более пространственным мышлением, поэтому просто втиснуть в голову формулы для меня трудновато, а в большинстве школьных учебников занимаются именно втискиванием, а не объяснением того, что от чего пошло и как работает.
Тоже сижу сейчас и понимаю, что ни черта не знаю физику (разве что теорию). В химии тоже только общую теорию и примерно как коэффициенты расставлять. Математику еще более менее понимаю, потому что трудами невыносимыми вдолбил в голову уравнения, плюс, функции понимать проще.
мимострадающий

>>134397
Мы можем взять в аддитивной группе целых чисел множество {6,7} и сделать его группой, объявив 6+6=6, 6+7=7+6=7, 7+7=6. Однако {6,7} не подгруппа группы целых чисел.
Недостаточно, чтобы подмножество просто было группой. Нужно, чтобы оно было группой относительно тех же операций. Если твоя запись это и означает, то ты прав.

>>134399
Означает, спасибо.

>>134346
Анон, так что, вопросы есть?

Анон, выручай. Пожалуйста помоги по пункту 2. У меня скоро нервный тик от этой хуйни начнётся. Пусть a/b > a + c/b + d > c/d, a + c/b + d = x/y, тогда ay - bx = 1, -cy + dx = 1. А дальше-то что?

>>134412
Да, наверно есть.

(>>134346)

> Задача 11. Придумай какое-нибудь небольшое тернарное отношение и явно выпиши все его элементы в виде φ(a,b,c).

Если здесь, кажись, всё достаточно невинно:
A = {a,b}, B = {u,v}, C = {x,y};
A×B×C = {<a,u,x>, <a,u,y>, <a,v,x>, <a,v,y>, <b,u,x>, <b,u,y>, <b,v,x>, <b,v,y>};
φ(a,u,x), φ(a,u,y), φ(a,v,x), φ(a,v,y), φ(b,u,x), φ(b,u,y), φ(b,v,x), φ(b,v,y);

То вот тут

> Задача 12. Придумай какое-нибудь отношение эквивалентности на некотором угодном тебе множестве.

я сломался. Выше написано, что отношение - это подмножество декартова произведения. мкау. Т.е., это просто упорядоченная пара из кучи пар (для бинарных отношений), правильно? Если я возьму какое-то множество A = {a, b}, сделаю вот так
A×A = {<a,a>, <a,b>, <b,a>, <b,b>};
a, b ∈ A состоят в каких-то отношениях a φ a, a φ b, b φ a, b φ b. В принципе, ничего больше об отношении нам неизвестно. Как на этом абстрактном в вакууме понятии сделать что-то транзитивное или симметричное? Симметричность означает, что наряду с парой <a,b> ∈ A×A есть пара <b,a> ∈ A×A? Тогда транзитивное отношение потребует <a,b>, <b,c>, <a,c> ∈ A×A? Я как-то не очень понимат ;_; Не мог бы ты показать какой-то конкретный пример?

>>134430
Пусть a/b < c/d. То есть ad < cb (это определение неравенства дробей, которое полезно запомнить).
Сначала докажем, что a/b < (a+c)/(b+d).
Нужно доказать, что a(b+d) < (a+c)b.
Раскроем скобки в неравенстве, которое нужно доказать. ab+ad < ab+cb.
Вычтем слева и справа ab; неравенство от этого не изменится. Но ad < cb по условию.
Теперь докажем, что (a+c)/(b+d) < с/b ...

Пусть а/b и c/d соседние. Тогда ad - bc = ±1.
Докажем, что a/b и (a+c)/(b+d) соседние.
Для этого требуется доказать, что a(b+d) - b(a+c) = ±1.
Просто раскроем скобки.
ab + ad - ab - bc = ad - bc = ±1.

>>134432

> Задача 11

Хорошо, правильно.

> я сломался.

Просто веру в себя потерял. Ты боишься, а ты не бойся. Ты в силах это понять.

> Т.е., это просто упорядоченная пара

Это какое-то множество упорядоченных пар, не обязательно одноэлементное. А декартово произведение - множество всех возможных упорядоченных пар.

> сделаю вот так

То получишь отношение эквивалентности.

> Я как-то не очень понимат

Возможно, тебе кажется, что в A должно быть три элемента, а их только два. Ты не понимаешь, где взять c, вот ты и смущён. Но в транзитивности ведь не сказано, что a, b и c обязаны различаться. Сказано, что какими бы ни были a, b, c, свойство транзитивности должно выполниться. На место этих букв вполне можно подставить одну и ту же букву же. Если во множестве только два элемента, то среди трёх букв a,b,c, обозначающих элементы этого множества, по крайней мере две будут обозначать один и тот же объект.
Чтобы было нагляднее, переобозначь элементы в A как {x,y}. Тогда станет проще понять, что a,b,c - это чисто технические буквы, формальные.

> Как на этом абстрактном в вакууме понятии сделать что-то транзитивное или симметричное?

Очень просто. Добавил в отношение пару <a,b> - добавь ещё и пары <a,a>, <b,a> и <b,b>.
Добавил в отношение пару <b,c> - добавь сверх того ещё и пару <a,c>.

> конкретный пример

{
<a,b>,
<b,c>,

<a,a>,
<b,a>,
<b,b>,

<c,b>,
<c,c>,

<a,c>,
<c,a>
}

Кстати, эквивалентность двух элементов традиционно обозначают символом ~. a~b, b~c, a~c.

Теперь сделай отношение эквивалентности, в котором по меньшей мере два класса. Хинт: можно построить точки на картинке и эквивалентные точки соединить линиями, а потом просто описать полученное.

> абстрактном в вакууме

Это вовсе и не абстрактное, тут конкретные буковки есть же, которые даже можно явно выписать.

>>134446

> То получишь отношение эквивалентности.

Кстати, на одном и том же множестве можно придумать, вообще говоря, несколько отношений эквивалентности. Декартово произведение всегда будет отношением эквивалентности, потому что оно содержит вообще все возможные пары. Но это не очень интересный случай, интересные отношения эквивалентности обычно содержат только часть возможных пар.

>>134446
Спасибо, анончик!

Математики, я все хочу знать на тему "смешных" дробей. 16/64 = 1/4, 19/95 = 1/5, 26/65 = 2/5. Работает, ведь. Начнем вот, к примеру, с сокращения одной цифры. Тривиальных дробей вида xx...x/xx...x - бесконечно, но если в дроби есть разные цифры? Как оно распределено? А если потом начать сокращать цифры из произвольных мест числителя и знаменателя? Вопросов очень много получается. Все это очень естественно, публикации наверняка есть, но вот беда: я не знаю как их искать.

>>134446

> Возможно, тебе кажется, что в A должно быть три элемента, а их только два. Ты не понимаешь, где взять c, вот ты и смущён.

Именно так всё и было.

> Теперь сделай отношение эквивалентности, в котором по меньшей мере два класса.

Некоторое X = {<a,b>, <b,c>, <c,a>, <d,e>, <e,f>, <f,d>};

> Задача 13. Выпиши все классы эквивалентности отношения из задачи 12.

Во множестве X у нас джва класса эквивалентности A = {<a,b>, <b,c>, <c,a>} и B = {<d,e>, <e,f>, <f,a>};

> Задача 14. Перепиши фактор-множество из задачи 13, используя в качестве символа множества какой-нибудь его элемент.

Фактор-множество X будет множество {a, d}, a участвует в отношении a~b, b~c, c~a, а d~e, e~f, f~d, т.о., a и d будут "репрезентативными" элементами, составляющими фактор можество множества X.

> Хинт: можно построить точки на картинке и эквивалентные точки соединить линиями, а потом просто описать полученное.

Это полезный хинт, благодарю.
Кстати, я опять наверно глупость какую-то спрошу, но симметричность и рефлексивность как бы подразумеваются, если я понял правильно? Или, вероятно, блее правильно было бы сказать так: для класса эквивалентности A = {<a,b>, <b,c>, <c,a>} если некое a~b и b~c и c~a, то след-но b~a и a~a (если a=b, b=c, c=a) и тут естественным образом получается уже и симметричность и рефлексивность.

> Это вовсе и не абстрактное, тут конкретные буковки есть же, которые даже можно явно выписать.

Да, я понимаю же. Просто по мере роста градуса абстрактности немного дух захватывает, хе-хе.
Кстати, не посоветуешь ли чего-то для самостоятельной "работы"? Зорича мы немножко походя затронули, но наверно пока ещё рано плотно за него браться? Френкель-Бар-Хиллел - это вовсе для общего знакомства, онли, я так понел. Может что-то ещё?

Вы очень бобр, сэнсэй :3 Уж не знаю, какими мотивами ты руководствуешься, но хотел бы поблагодарить за то, что тратишь своё время на меня да ещё и на более-менее регулярной основе и за ободрения, конечно, тоже.

Альзо, с наступющим жэ и всего самого лучшего. Надеюсь на продолжение плодотворного сотрудничества и в грядущем году, как ныне модно говорить. Во~т.

с:ногами считалось битва хвоста королевы

>>134519

> Некоторое X

Туда ещё нужно явно добавить <a,a>, <b,b> и прочее. Ещё нужно добавить пары для симметричности. То есть

{<a,b>, <b,c>, <c,a>, <d,e>, <e,f>, <f,d>,
<a,a>, <b,b>, ...
<b,a>, <c,b>, <a,c>, ...
}

Но ок, всё засчитано.

> "репрезентативными" элементами

Они называются "представителями класса", или просто представителями.

> симметричность и рефлексивность как бы подразумеваются

Это значит, что у тебя есть математическое мышление, и ты способен видеть теоремы. Весьма хорошо. Не надо характеризовать свои вопросы как "глупости".
В принципе, ты прав, рефлексивность можно было бы вывести из симметричности и транзитивности - но только если бы мы знали, что каждый элемент находится в паре с каким-то другим элементом, а это требование как раз эквивалентно требованию рефлексивности. То есть вот рассмотрим множество {a,b,c,d,e,f, w}. На нём можно задать отношение, построенное тобой, но оно не будет отношением эквивалентности, потому что никак не получится доказать, что w~w. Поэтому пару <w,w> придётся добавлять в отношение явно.

> Фактор-множество X будет множество {a, d}

Не совсем. Фактор-множеством будет { {a, b, c}, {d, e, f} }.
Ты записал это фактор-множество через представители.

> наверно пока ещё рано плотно за него браться

Нет, уже не рано, ты готов читать учебники. Просто я нахожу язык книги Зорича неудачным и нудным, на борьбу с этим языком при самостоятельном чтении приходится тратить неоправданно много сил, хотя более удачного учебника анализа на русском языке я не знаю (удачного, главным образом, из-за второго тома). Сначала давай разберём функции и мощность множеств (этот и следующий листочки), а потом поговорим об учебниках. "Урожаи и посевы" Гротендика читал? Если нет, то можешь пока что прочитать, это интересно.

> "работы"

Ты действительно работаешь, без всяких кавычек.

Так вот, функция. Это понятие оформилось не очень давно. Древние греки его не знали, например. Сама идея функциональной зависимости более-менее закрепилась в массовом сознании только в средневековье. Некоторые мысли на эту тему, слабые и размытые, высказывал Николай Орем в XIV веке. Окончательно в математику понятие функции ввёл только Лейбниц, опираясь на вышедшую сейчас из употребления идею постоянных и переменных количеств. С тех пор понятие функции продолжает эволюционировать.

В наши дни есть несколько не эквивалентных взглядов на функцию. Самый популярный взгляд - это, конечно, теоретико-множественный. Он оформился в первой половине XX века, опираясь на более ранние логико-философские концепции. Во второй половине XX века эти концепции были пересмотрены известными логиками, и, видимо, лет через сорок, когда наше поколение уйдёт со столпа титанов, теоретико-множественное рассмотрение функции в очередной раз изменится.

Чуть менее популярный взгляд - это рассмотрение функции в теоретико-категориальном ключе. Теория категорий даёт возможность рассмотреть функцию гораздо более абстрактно, чем теория множеств. Если в теории множеств функция вполне определяется своими значениями, то в теории категорий это, вообще говоря, не так.

Я изложу сейчас теоретико-множественное видение функции. С идеей функции ты, несомненно, знаком. В школе ты уже видел некоторые функции. Функцией в школе называется формула, путём которой одному числу сопоставляется другое. Этот школьный взгляд нельзя признать удовлетворительным, поскольку формула - это лишь строка символов, а ведь чувствуется, что функция есть нечто большее, чем просто буковки. Одна и та же функция может быть выражена несколькими формулами, например. В программировании ты, конечно, тоже встречался с функциями, но функции из программирования, в отличие от школьных, работают не только с числами. В программировании функция - это просто блок кода, на который наложены некоторые дополнительные ограничения - наличие имени, наличие возвращаемого значения, etc.

Можно усмотреть нечто общее между школьными и программистскими функциями, а именно идею сопоставления. Функцией называется то, что одному объекту (в общем случае n-ке объектов) сопоставляет другой объект. Это, вроде бы, настолько простая идея, что в разъяснениях не нуждается. Однако вот такие понятия, которые вроде бы очевидны, доставляют ментальный дискомфорт. В силу их очевидности о них толком ничего сказать нельзя, они просто есть. А это возмутительно. У всего должны быть какие-то свойства, обо всём должны быть какие-то факты. Каждый совсем не очевидный объект вроде "интер-универсальной теории Тейхмюллера: построение театров Ходжа" (с) бросает нашему сознанию вызов, но едва ли не больший вызов нам бросает каждый самоочевидный объект. Как он смеет быть самоочевидным?

Ладно, я отвлёкся. Итак, с помощью уже известных понятий множества и отношения надобно разъяснить, что значит, что "одному объекту сопоставляется другой". Что подразумевается под сопоставлением? Зафиксируем то, что нам уже известно.

Во-первых, объекты, которым функция будет сопоставлять другие объекты, в некотором смысле имеют одну природу. Это или любое из чисел, или любое из String и т.п.
Во-вторых, *каждому объекту сопоставляется один-единственный объект. Школьные функции доставляют одно число, программерские функции доставляют одно значение.

Вот на этих двух фактах и разовьём теорию. Первый факт означает, что объекты, которым функция будет что-то сопоставлять, образуют множество. Назовём его domain, обозначим буквой X. Тут же скажем, что объекты, которые имеют быть сопоставленными функцией, также образуют множество. Назовём его codomain, обозначим буквой Y.

Далее. Утверждение, что объекту x сопоставлен некоторый объект y, можно воспринимать как утверждение, что дана упорядоченная пара <x,y>. Раз есть упорядоченные пары, то есть и какое-то отношение. Второй факт естественно выразить путём наложения на возникшее вот отношение каких-то ограничений, то есть нам нужно ввести какой-то новый сорт отношений.

Назовём функциональным отношением вида <X,Y> отношение φ со следующими свойствами.
1. Для всякого элемента x ∈ X существует элемент y ∈ Y такой, что пара <x,y> принадлежит отношению φ.
2. Если x φ a и x φ b, то a = b.
Первое свойство означает, что любому объекту из X сопоставлен объект из Y. Второе свойство означает единственность сопоставленного объекта. Запись y=φ(x) означает, что пара <x,y> находится в отношении φ.

Функцией называется тройка [domain, codomain, функциональное отношение вида <domain, codomain>]. По ряду причин нельзя отождествить понятие функции и функционального отношения, обязательно нужна явная информация о domain и codomain.
Ну вот мы и истолковали понятие функции в понятиях множеств и отношений.

Итак, всегда, когда нам задана функция f, мы имеем право считать, что нам известны её domain, codomain, а также некоторое функциональное отношение. Мы можем записать это как f: X → Y, где X domain, Y codomain. Читается как "функция f отображает множество X на множество Y". Символ, кстати, довольно молодой, ему меньше века, раньше функции обозначали менее удачным символом. Когда додумались обозначать функции стрелочкой, случилась мини-революция.

Обычная школьная функция квадратный корень - это функция из вещественных чисел в вещественные числа. Символически √: ℝ → ℝ.
Функция void function1(integer, string, real) символически запишется как function1: integer × string × real → void.
Так называемые функции многих переменных - это просто функции, в которых domain есть декартово произведение.
Сложение - это функция двух аргументов, например. +: ℝ×ℝ → ℝ.

Слово функция в XX веке постепенно вытеснялось словом "отображение", но не вытеснилось до конца благодаря теории категорий, из-за которой функции сейчас часто называют морфизмами. Терминология здесь вообще довольно развитая. Функциями стараются называть отображения числовых множеств, операторами называют отображения нечисловых множеств. Функции, в которых domain и codomain совпадают, обычно называются преобразованиями. Например, string→string назовётся преобразованием множества string. Хотя это всё размыто, и кому как приятнее, тот так и говорит. Однако преподаватели этой страны иногда очень маразматично относятся к терминологии. Требуют обязательно различать функции и отображения, лол. Domain требуют называть "областью отправления", codomain "областью прибытия", дважды лол. Вся эта байда с терминологией случилась из-за приключившегося в СССР разоблачения "низкопоклонства перед Западом", а в этом году внезапно вспыхнула по-новой.

Немного обогатим нашу терминологию.
Квадратный корень, известный из школы, не может принимать отрицательных значений. Поэтому не любое число из ℝ может быть возвращено квадратным корнем. Мы введём термин, который такую ситуацию исключает. Сюръекция, или сюръективное отображение - это отображение f: X → Y такое, что для любого y ∈ Y существует такой x ∈ X, что f(x) = y. То есть сюръекция - это когда в каждый игрек отображается по крайней мере один икс.

В один и тот же y могут отображаться несколько разных элементов из X. Например, функция int func(string s){return 0;} и строке "foo", и строке "bar" сопоставит один и тот же ноль. Введём термин, запрещающий такую ситуацию. Инъекция, или инъективное отображение - это такое отображение f: X → Y, что если x1≠x2, то f(x1)≠f(x2). Разным иксам соответствуют разные игреки.

Наконец, биекцией, или взаимно-однозначным отображением, назовём отображение, которое и сюръективно, и инъективно. С помощью понятия биекции мы, следуя Кантору, скоро построим понятие мощности множеств.

Если y=f(x), то мы будем называть y образом x при отображении f, x - прообразом y. Все иксы, которые отображаются в y, мы назовём полным прообразом этого y. Прочувствуй разницу. Прообраз y - это какой-то элемент X, полный прообраз y - это какое-то подмножество X. Полный прообраз может быть пустым множеством, если в y не отображается ни один элемент. Например, полный прообраз -13 при описанном выше отображении √ пуст.

Вот листочек. Рисовать не обязательно. Как обычно, лучше поскорее, чем побольше.

> Альзо, с наступающим жэ и всего самого лучшего.

Спасибо, и тебя.

Добрый анон, посоветуй окончательную книжку по общей алгебре для самостоятельного изучения just for fun.

>>134605

> окончательную

Это как?

>>133509
Анон, почему определитель СЛУ с n неизвестными и n уравнениями, для которого существует ненулевое решение, равен 0?

Интересует представление логики в формальной системе. Как выбираются правила, аксиомы, чтобы формальная система предоставляла примеры, поддающиеся подразумеваемому при составлении системы толкованию?

>>134606
ultimate в смысле.

>>134608

> равен 0

Не равен же.

> почему

Потому что главное условие от СЛАУ с единственным решением — линейная независимость. А определитель не равен нулю только тогда, когда его строки (и столбцы) линейно независимы.

>>134639

> единственным решением

В оригинальной постановки этого не было. И если определитель равен нулю, то значит у системы выпуклое множество решений. А нет решений

>>134685
... только у неоднородной системы, у которой ранг расширенной матрицы не совпадает с рангом основной матрицы (теорема Кронекера-Капелли в помощь).

Чики, добрач.

Я одинокий мудак, поэтому мою логику нужно переодически проверять на дефекты. В частности: пришел к выводу, что учить математику лучше по книгам, а не лекциям и семинарам. Например, у того же Горденцева в его «Алгебре» всё объясняется гораздо понятнее, чем на лекциях, полно упражнений. В конце каждого параграфа есть десятки заданий. Можно пойти на семинар, и мне дадут алгоритм решения для большинства заданий, а можно придумать алгоритм решения самому, отталкиваясь только от теории, и это лично мне гораздо интереснее. Можно читать Зорича, который всё пережевывает и кладет тебе в ротик и добавить Антидемидовича, а можно читать Натанзона и половину теорем, свойств и следствий находить самому. Опять таки, это ГОРАЗДО интереснее. Если какое-то задание долго не идет — попросить совета у анона или на каком-нибудь dxdy (к слову, реквестирую ресурсы, где можно просить помощи), или у кого-нибудь из преподов в вузе. Другая проблема — поиск годных ресурсов, ибо требования к качеству высокие, т.к. далеко не каждый учебник лучше лектора/семинариста.

И второе «в частности»: допустим, я хочу после бакалавриата отправиться в аспирантуру, и если там желание учиться не пропадет — заниматься исследованиями дальше. Но я немного нервничаю из-за того, что могу просто физически быть неспособным. Оказаться слишком тупым. Пока я пришел к таким идеям: чтоб понимать новое нужно быть сорт оф эрудитом: умение решать задачи сводится к задрачиванию уже знакомых алгоритмов до тех пор, пока они не станут естественными, как таблица умножения. В комплексных задачах помогает развитая рабочая память. Я читал доклады, из которых сделал вывод, что систематическая и высокая нагрузка на рабочую память улучшает ее. Чтоб создавать новое нужно хорошо знать теорию, эксперементировать, неплохо бы быть эрудитом и знать алгоритмы не связанные с математикой (типа определения электронной конфигурации атома), не бояться неизвестного.

Что думаете?

>>134709

> эксперементировать

У тебя тут ошибонька. "Экспериментировать". Мне кажется, без фидбэка трудно. Не только в математике. Вообще в любой сфере знаний. Не обязательно, чтобы тебе разжёвывали, но очень важно, чтобы кто-то сказал "u doing it wrong". Книга не даст тебе фидбэка, потому что она только говорит, но не слушает. Если ты плотно засядешь на dxdy, то чем это будет отличаться от общения с живым преподавателем, которого можно спросить и получить ответ? Кроме того, что ты сам возводишь себе препятствие, при условии, что у тебя такой преподаватель есть. Если его нет, тогда, конечно, другой вопрос. Я так думаю.

%Мне кажется, эрудиция - более широкое понятие, чем знание алгоритмов. Это больше знание фактов вообще, безотносительно к их алгоритмичности.%%

А что спросить-то хотел?

Есть уравнение "x + y + xy = n", где 'n' — натуральное число ∈ [0;+∞), а 'x' и 'y' переменные.
Нужно разработать оптимальный алгоритм, позволяющий определять все корни при любом 'n'. Достоверно известно что существует полное решение.

>>134714

> А что спросить-то хотел

Хотел убедиться, что это не бред поехавшего.

>>134716
x = (n-y)/(1+y)
Отдельно вариант y = -1, x - любое, n = -1 - откидывается, т.к. n - натуральное.
Если x и y действительные, то решений бесконечно много. Наверно в задаче подразумевается, что x и y - целые (может быть даже неотрицательные)?

>>134724
А тебе есть дело?

>>134538

> Задача 1

а) и г) задают отображение f:X → Y, в то время как в) - однозначно нет, одному x ∈ X соответствуют два y ∈ Y; б) - я в затруднении. По определению (каждому x ∈ X сопоставляет элемент y ∈ Y) б) не задаёт отображение. Но вообще говоря, как и в примере с квадратным корнем отображение f может быть задано на подмножестве множества X, так что я скорее склонен считать, что б) всё же задаёт легитимное отображение.

> Задача 2

{<7,0>, <8,0>, <9,0>}, {<7,0>, <8,0>, <9,1>},
{<7,0>, <8,1>, <9,0>}, {<7,0>, <8,1>, <9,1>},
{<7,1>, <8,0>, <9,0>}, {<7,1>, <8,0>, <9,1>},
{<7,1>, <8,1>, <9,0>}, {<7,1>, <8,1>, <9,1>}

Итого, 8 различных вариантов (хм, 2³ возможных перестановок).

> Grothendieck-smal.png

Внезапно, лол. Да, я его сейчас начал читать по твоей рекомендации. Если честно, чтиво не из самых лёгких и приятных. Во-первых, автор много говорит о вещах не вполне понятных, как то: топосы, схемы, когомологии. Без понимания таких моментов сложнее проникнуться тем, что же хотел сказать автор. Во-вторых, страсть мэтра к сноскам не добавляет тексту простоты. Но вообще любопытно. Не думал, что в топологии, алгебре и геометрии всё (было) так драматично.

> Ладно, я отвлёкся.

Здорово. Это было интересно, хотя местами не совсем понятно

> "интер-универсальной теории Тейхмюллера: построение театров Ходжа" (с)

>>134730 продолжаю:
x = (n-y)/(1+y) = (n+1-1-y)/(1+y) = (n+1)/(1+y) - 1
Таким образом, для целых x и y всё свелось к задаче поиска делителей числа n+1, что уже проще нагуглить.

Продолжаю >>134766:

> Задача 3

Образ множества f[{0, 3}]:
а) {18, 5}; б) {18, 5}; в) {2, 7};

Образ множества f[{1, 3, 4}]:
а) {7, 5}; б) {2, 5, 7}; в) {7, 2};

Полный прообраз элемента f⁻¹(2):
а) Ø; б) {1}; в) {0, 4};

Прообраз множества f⁻¹[{2, 5]]:
а) {3, 4}; б) {1, 3}; в) {0, 4};

Прообраз множества f⁻¹[{5, 18}]:
а) {3, 4, 0}; б) {3, 0}; в) Ø.

>>134766

> б) не задаёт отображение

Да, по данному определению это так.

> в примере с квадратным корнем

Я там просто не всё написал, что собирался. Хотел рассказать о более общем понятии - отношения, которое может быть полным и не полным слева/справа - но не рассказал, ну да и не страшно. Отношение, соответствующее квадратному корню, задумывалось как пример отношения, которое не полно слева. Извиняюсь, что не доредактировал пост. Энивей, работать надо с тем определением, которое я дал. Когда говорят об отображении, почти всегда подразумевают полноту слева.

> б) всё же задаёт легитимное отображение

На это можно смотреть и так, да. Это называется "частично определённая функция", partial function, и у этого даже есть кое-какая теория. Обычно предполагается, что все функции вполне определённые. Просто кто-то однажды может придираться к словесным оборотам вроде "функция может быть не определена в точке", дескать, какая же это функция. Частично определенная, вот какая.

> Итого, 8 различных вариантов

Да.

> хм, 2³ возможных перестановок

Очень хорошо, что ты это заметил. Это пригодится.

> всё (было) так драматично

You know nothing, Jon Snow.

> о вещах не вполне понятных, как то: топосы, схемы, когомологии

Гротендик чувствовал эти вещи совсем не так, как их ощущаю, например, я. Он, как мог, передал своё представление, но из-за несовершенства языка у него это получилось не слишком удачно. А под конец жизни, когда он уже жил отшельником в районе Пиренеев и общался там с каким-то божеством, он и вовсе запретил публиковать свои работы, так что понять его уже не получится. Щито поделать.

> хотя местами не совсем понятно

А это есть один такой Мотидзуки в Японии.
http://habrahabr.ru/post/183374/ - пост жёлтый, но суть верна.

>>134772
Ок.

>>134773
Что я, кажется, всё же сумел ухватить из сути, Гротендик говорит об обобщении "непрерывных" и "дискретных" структур. Т.е., гибрид алгебры и геометрии с довольно интересными следствиями на фоне тех свойств этих дисциплин, о которых лично я как-то никогда и не задумывался "дискретность" алгебры и "непрерывность" геометрии? Как-то так наверно. Но попытавшись немного погуглить обо всём вот этом, я понел, что пока не стоит это трогать, хе-хе. И тем не менее, как я сказал, интересно, хотя и далеко от того, чтобы назвать этот труд удобоваримым. В оригинале там вроде вообще 1000+ страниц на французском, кажется?

>>134774
Мы эти вещи разберём в своё время, определения-то не очень сложные. Топологию так и вообще очень скоро введём, прямо перед понятием предела.

> В оригинале там вроде вообще 1000+ страниц на французском, кажется?

Ага.

>>134747
Да. Логика либо есть, либо её нет, и для дальнейшей деятельности мне важно понимать есть ли она в моей голове, или пора бы эту голову перезагрузить.

Elementary Analysis это и есть матан? Еще есть Real analysis, что это за зверь?

>>134786
Разве матан (именно собственно математический анализ со всякими там limits, integrals, differentials) - это не calculus? Elementary - это может начала/введение в calculus? На самом деле ХЗ, в общем.

>>134786
Альзо,
enwiki://Mathematical_analysis ruwiki://Анализ_(раздел_математики)#.D0.A2.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D1.[...]D0.BE
Всего пара минут в педивикии...

>>134786
Да, это и есть матан. На пальцах объясняются концепции предела, непрерывности, дифференцирования и интегрирования.
Real Analysis концентрируется на изучении вещественных чисел. Этот курс, в принципе, не слишком сильно отличается от Elementary Analysis, разве что его читают поабстрактнее и обычно добавляют плюшки вроде теоремы Витали, сингулярных интегралов и классификаций Бэра.
Complex Analysis изучает голоморфные и мероморфные функции. Главный геометрический объект - риманова поверхность.
enwiki://Glossary_of_areas_of_mathematics - про остальные analysis можно посмотреть тут.

>>134790
Calculus - часть Analysis, концентрирующаяся на вычислениях.

>>134802

> Calculus - часть Analysis, концентрирующаяся на вычислениях.

Но книжки и курсы по обычному матану имеют слово Calculus в названии. Или какие вычисления имеются в виду?

>>134823

> Или какие вычисления имеются в виду?

Всякие там "взять неопределенный интеграл", "найти предел", "вычислить значение сотой производной данной функции в нуле", etc.
Большая часть известного нам всем младшекурсного матана - это именно calculus.

>>134775
Кто "мы"?
[i]мимокрок[/i]

>>134843
Святая Толстота и его ситх-ученик.

>>134826
>>134826
А, мне почему-то подумалось, что ты про вычметы - прошу прощения, тогда все так.

>>134844
лол

Знаю, что банально, но всё же подскажите учебник/самоучитель для того, чтобы подогнать знание математики к высокому для гос. экзаменов в конце 11-го класса.

Как изобразить y=x-a? Здесь а - параметр.

>>134863
Параметр - это просто аргумент функции. Тебе требуется изобразить функцию двух переменных вида z = (x,y). В твоём конкретном случае это плоскость z = x-y.
Если же имеется в виду, что a - это какое-то конкретное число, но не переменная, то тебе требуется просто нарисовать прямую типа http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+x-3
Просто сдвигаешь по оси y на a.

Аноны, есть какая-нибудь литература для чайников, поясняющая за топологию?

>>134881

> для чайников

Журнал "Квант" и его Библиотечка. Конкретные выпуски не помню.

>>134850
Сканави же.

>>134864
Под параметром обычно таки понимают фиксированное произвольное число, так что наверняка про прямую спрашивал анон.

>>134886 а как же циклойды?

>>134891
Как ты умудрился поставить в этом слове й? Нет, мне правда интересно, это не насмешка.

>>134899
Циклойды, кардойды, андройды.

>>134919
Откуда там "й"?

>>134881
Смотря какую, есть книжка
Васильева: топология для младшекурсников. В любом случае, если там слишком много (а нужно задрачивание до дыр компактности, например), её всё равно стоит прочитать, чтобы понять куда эта наука приводит, мне кажется так будет легче. Тем более - книжка тонкая.

Математики, у меня вопрос по поводу континуум-гипотезы. Её отрицание предполагает существование множеств мощнее N но менее мощных чем континуум. Однако, так как континуум-гипотеза независима от ZFC, конструктивных построений данных множеств нет (иначе бы они опровергали континуум-гипотезу).
Таким образом, существуют множества, для которых в принципе невозможны никакие конструктивные построения. Как же так?

>>134935
Брауэр, ты опять выходишь на связь?

>>134936
шта

>>134773
Ученик-ситх снова выходит на связь, лол. В общем, шаманство с разметкой и символами из юникода меня немного утомили, поэтому я отрендерил свою писанину в джипег. Надеюсь, это нормально.

Задача 4 - это скрежет зубовный. Ибо воистину, как эти объекты смеют быть самоочевидными. No pun intended. Seriously

Кстати, о бурбакизме. Я так понял, не все считают труды Бурбаки одинаково полезными? И ещё, я так и не понял, что же с Гротендиком. Он действительно, буквально поехал на старости лет? Хотя достоверной информации мало. Что вполне логично, если учесть его неконтактность в последние годы. Но хоть после пресловутых 70-х он продолжал заниматься математикой, тем не менее, его библиография какая-то довольно куцая. Всё это несколько удивляет на фоне его статуса. Пусть и не совсем официального. Непонятно, в общем. Впрочем, ето оффтоп.

>>134959

> это скрежет зубовный

Как только ты замечаешь, что занимаешься нудной и непонятной символодрочкой, ты должен говорить себе: "Стоп, тут что-то не так, нужно найти что-нибудь полегче и поубедительнее". Доказательства пишут не для того, чтобы любой ценой убедить собеседника, а для того, чтобы доказать истинность факта самому себе. А символодрочка может показаться убедительной очень редко. Смысл доказывания теоремы не в том, чтобы записать доказательство по всем бюрократическим канонам, а в том, чтобы сказать "да, этот факт верен, и вот мои аргументы". Руссо в "Исповеди" писал, что не верил доказанной им самим формуле "квадрат бинома равен сумме квадратов его членов и их удвоенному произведению", то есть (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, до тех пор, пока не начертил фигуры. И это нормально, доказательство должно убеждать в первую очередь доказывающего. Коши независимо изобрёл алгебраическую запись комплексных чисел, но долгое время метался и то публиковал её, то отвергал её - ибо не верил тому, что изобрёл.

Существуют люди, которые считают, что доказывать теоремы нужно обязательно по Строгим Правилам: записывать посылку теоремы, писать строчку кракозябр, писать ещё одну строчку кракозябр, писать больше кракозябр, ещё больше... и только потом записывать вывод. Чем больше кракозябр в доказательстве, тем более ценным оно представляется таким людям, а вывод словно бы и не важен. Таких людей очень много.

Однако доказательства проводят не затем, чтобы записывать кракозябры. Доказательство проводят затем, чтобы доказать факт. Вообще, если ты идёшь к какой-то цели, то достижение цели гораздо важнее соблюдения всех традиционных ритуальных шагов. Если можно прийти к цели более лёгким путём - иди по этому пути. Цель битвы на мечах не в том, чтобы постукать мечами друг о друга. Цель битвы - убить врага. Процитирую Фейнмана:

Примерно в то же время мой двоюродный брат, который был тремя годами старше, учился в средней школе. Ему с трудом давалась алгебра, поэтому к нему приходил домашний учитель. Мне разрешали сидеть в уголке, когда учитель пытался научить моего брата алгебре. Я слышал, как он рассказывает об x.
Я сказал брату: «Что ты пытаешься сделать?»
– Я пытаюсь найти, чему равен х в уравнении 2х + 7 = 15. Я говорю: «Ты имеешь в виду 4».
– Да, но ты применил арифметику. А его нужно найти с помощью алгебры.
К счастью, я изучил алгебру, не ходя в школу. На чердаке я нашел старый учебник алгебры, принадлежавший моей тете, и понял, что вся идея состоит в том, чтобы найти х – неважно как. Я не видел разницы в том, чтобы найти его «с помощью арифметики» или «с помощью алгебры». «Сделать это с помощью алгебры» означало взять набор правил, которые, если им слепо следовать, могут дать ответ: «вычти 7 из обеих частей уравнения; если у тебя есть множитель, то раздели на него обе части», – и так далее – ряд шагов, с помощью которых можно получить ответ, если не понимаешь, что пытаешься сделать. Правила изобрели, чтобы все дети, которые должны изучать алгебру, могли сдать экзамен. И именно поэтому моему брату никак не давалась алгебра.

Цель, которую преследовал брат Фейнмана, была не в том, чтобы найти x. Его цель была в том, чтобы применить неудобные Правила, потому что дядя учитель требует их применить.

Если ты будешь почаще спрашивать, нет ли более простого способа доказать теоремку, нежели грубой силой, то сэкономишь себе кучу времени.

г) Пикрелейтед. Пересечение множеств A - пустое множество, образ пустого множества - пустое множество, но пересечение образов A - не пустое множество. Так что там не равенство, а только включение. f(A⋂B) ⊂ f(A)⋂f(B).
е) Опять же, см. пикрелейтед.
ж) Мысленно вдвинь множества B1 и B2 одно в другое - вот и контрпример.

Ты, кстати, до сих пор используешь предикаты не совсем в общепринятом смысле. Предположу, что ты мыслишь так.
1. Есть какие-то строки символов. Они могут быть либо истинными, либо ложными.
2. Есть какая-то функция, обозначаемая буквой P, которая принимает на вход строку и выводит либо истину, либо ложь.

Та идея, которую ты здесь мыслишь под P, называется "классификатор подобъектов". Он используется в теории категорий для образования так называемого логического топоса. Топосы позволяют строить очень много логик; есть даже гипотеза, что любое мыслимое человеком понятие может быть выражено на языке логических топосов. Эту идею запомни, она тебе несомненно пригодится.

Однако с предикатами всё проще. P(x) есть просто формальное обозначение строки букв, в которой нас особым образом интересует буква x. То есть неверно, что P - это какая-то зарезервированная буква, это просто имя строки. Никакой специальной функции, которая проверяет строки на истинность или ложность, в языке предикатов явным образом не вводится. Чтобы выделить множество четных чисел из множества целых чисел, нам нужно записать не {x ∈ ℤ; P(x = 2k)}, а просто {x ∈ ℤ; x = 2k}.

> бурбакизме

Бурбакизм - это слово, которое активно форсил великий советский математик Арнольд. Арнольд был советским человеком с еврейскими корнями - то есть был недоброй и обидчивой личностью с очень хорошей памятью. Невзлюбил бурбаков он по личным причинам, не буду сейчас их пересказывать, ибо некультурно. Вратце - Арнольда унизили и обидели. Поскольку математиком Арнольд всё-таки был великим, влияния у него было много, из-за чего в СССР и отчасти в РФ к осуждению бурбакизма присоединились многие люди. Однако это не было каким-то хардкорным осуждением - никого не убили, насколько я знаю. Просто были всякие конференции и интеллектуальные, интеллигентные срачи. Ближе к концу жизни Арнольд то ли сам попал под грузовик, то ли его кто-то под него скинул, в общем, Арнольд получил тяжёлую черепно-мозговую травму, от которой не оправился до конца жизни. Эта травма была очень тяжёлой, ему пришлось заново учиться говорить. Последствия тоже были печальными, Арнольд начал нести всякую ахинею про Гермеса Трисмегиста и изумрудную скрижаль, а также бороться с компьютерами. Впрочем, арнольдовская критика бурбаков по большей части была справедливой.

> Я так понял, не все считают труды Бурбаки одинаково полезными?

Труды самого Бурбаки нужно отделять от трудов участников группы Бурбаки. Труды Бурбаки - это большой, многотомный трактат, в котором на основе философских воззрений начала XX века развивается некая формальная теория, включающая в себя большую часть того, что сейчас считается стандартным набором знаний математика. Трактат написан очень абстрактным языком и разрушает многие устои, из-за чего стал эпическим мемом. Однако главная ценность этого трактата, я бы сказал, теологическая, реальной пользы от него немного. В качестве учебника его использовать нельзя, например. К тому же на русский язык этот трактат переведён как попало. Я нашёл в первой главе первого тома в одном из Критериев, уже не помню его номер, ошибку перевода. Это действительно ошибка перевода, во французской версии книги этой ошибки нет. Однако гугл показал, что никто, кроме меня, из обитающих в сети математиков и около-математиков эту ошибку не нашёл, что в общем-то позволяет сделать вывод о популярности Трактата в этой стране.

http://absurdopedia.net/wiki/Бурбаки
ruwiki://Бурбаки

> И ещё, я так и не понял, что же с Гротендиком. Он действительно, буквально поехал на старости лет?

Возможно. Сумасшествие - это нормально для хороших математиков. У Кантора был маниакально-депрессивный психоз, Гедель боялся холодильников, про Нэша известное попсовое кино сняли.
Воеводский вот с астралом общается, http://baaltii1.livejournal.com/198675.html и http://baaltii1.livejournal.com/200269.html . Но нельзя исключать возможность, что Гротендик просто был поэтом. В конце концов, он же сын своих родителей, ruwiki://Шапиро,_Александр_Петрович

>>134998
Да, я догадывался, что суть доказательства не в количестве кракозябров. Просто я попытался достичь цели отталкиваясь от формальных свойств объектов и мне показалось, что тут, соответственно, будет уместен формальный язык кракозябров. А много их скорее потому, что надо было сделать это понятным прежде всего для себя. Отсюда вот эти промежуточные записи. Но что-то пошло не так. И возможно я даже уже вижу, что. Но для этого хотел уточнить, а почему в г) и е) подразумевается, что A₁ ⋂ A₂ = ∅? Я наверно снова где-то туплю, но мне не очевидно, что 1) A₁, A₂ ⊂ X и 2) A₁ ⋂ A₂ = ∅. 1) никак не влечёт за собой с неизбежностью 2). Кажется. Возможно тогда более правильно f[A ⋂ B] ⊆ f[A] ⋂ f[B]?

> У Кантора был маниакально-депрессивный психоз

Вряд ли мания или депрессия способствуют продуктивной деятельности. Но кто знает. Вот о холодильниках и Гёделе не доводилось слышать.

>>135007

> будет уместен формальный язык кракозябров

Вообще он уместен, но он не слишком-то нагляден. Картинка ничуть не хуже.

> подразумевается

Не подразумевается, это лишь один из возможных вариантов. Можно на той картинке мысленно передвинуть A каким угодно образом, в том числе сделать их пересекающимися и даже совпадающими. Но доказывать-то надо для общего случая, а в общем случае A могут и не пересечься.

> ⊆

Да, это я и имел в виду, конечно. Кстати, эти факты из номера 4 ты доказываешь затем, чтобы потом их использовать при изучении топологии, это не какое-то там бессмысленное упражнение. У нас будут специальные множества, называющиеся открытыми, и мы будем внимательно рассматривать их образы, для этого все эти теоремки и пригодятся.

> о холодильниках и Гёделе

ruwiki://Гёдель,_Курт
http://lj.rossia.org/users/tiphareth/768813.html
Вербицкий, кстати, тоже поехавший.

>>135008
О, спасибо. Тогда, думаю, всё более или менее встало на свои места.

> Картинка ничуть не хуже.

Не спорю и даже не очень люблю книги без картинок по этой причине. Шутка, конечно. Но в каждой шутке есть доля шутки, как говорится. Многие вещи действительно гораздо проще воспринимать визуально, если можно так выразиться - во плоти и крови, а не как набор формальных свойств. Но в данном случае мне кажется, что сперва нужно ужиться со свойствами, чтобы рисовать правильные картинки. С простыми множествами было проще. Диаграммы Эйлера/Венна для "простых" множеств действительно нагляднее. Но простые множества сами по себе достаточно "интуитивны", если позволительно так сказать.

> Вербицкий, кстати, тоже поехавший.

Миша - это вообще своеобразный мем, хе-хе. О нём наверно кто только не слышал на АИБ Или мне только так кажется? Но всё равно личность примечательная

>>135010

> О нём наверно кто только не слышал на АИБ

На самом деле уже мало кто. Всё течёт, время идёт.

>>135008
Вот кстати. Может аналогия не слишком удачная, но вот именно о картинках. Так называемые проекции многообразий Калаби-Яу стали таким же мемом, как кот Шрёдингера. Много кто о них знает, но мало кто понимает суть™. Я и сам не исключение, потому что картинки кренделей Калаби-Яу ничего мне не говорят о том, что это за такие таинственные многообразия. Тот самый случай, как мне кажется, когда без знания свойств картинка - это всего лишь картинка.

>>135014

> мало кто понимает суть

Очень мало. Я вот только припоминаю, что они имеют какое-то отношение к М-теории. И на этом всё.

>>135014
Я в будущем дам ITT небольшие листочки на все понятия, нужные для определения этих многообразий если будет на то Воля Божья™, иншалла. В принципе, определение весьма простое, даже если обойтись без теории категорий. Но ruwiki://Экстенсионал этого понятия интересующимся анонам раскрывать придётся самостоятельно, по литературе, теорем об этом объекте я знаю мало.

>>135018
Да Аллах с ними. Хотя, в принципе, выглядит занятно и таинственно, а потому интересно. Ну и модные теории вроде М и суперструн, опять же, ага. Надо почитать The shape of inner space для мотивации, хе-хе

>>135020
Я и так собирался это сделать, понятия-то важные.

>>134998
Ты очень много знаешь. Аспирант, постдок, или просто любишь математику? Математик или философ? В любом случае спасибо за твои посты. Их всегда интересно читать.

>>134998

> – Я пытаюсь найти, чему равен х в уравнении 2х + 7 = 15. Я говорю: «Ты имеешь в виду 4».
> – Да, но ты применил арифметику. А его нужно найти с помощью алгебры.
> ...
> Цель, которую преследовал брат Фейнмана, была не в том, чтобы найти x. Его цель была в том, чтобы применить неудобные Правила, потому что дядя учитель требует их применить.

Но ведь вроде бы очевидно, что дядя учитель требует их применить, чтобы научить детей общему принципу, который работает для любых чисел, а конкретное уравнение тут не так уж и важно.

В общем совершенно не понял, что имелось в виду.

Есть ли какая-нибудь формальная и полностью консистентная математическая нотация (то есть чтобы ее можно было распарсить прогой при желании), пригодная для написания конспектов? Испытываю жуткий дискомфорт от возможных разночтений.

>>135037
Просто анонимус.

>>135041
http://nbspace.ru/math/

>>135051
Есть программы распознавания математического ввода, например "Панель математического ввода", входящая в стандартную поставку винды. Они иногда делают ошибки. Полностью безошибочной распознавалки нет.

>>135053

> Есть программы распознавания математического ввода, например "Панель математического ввода", входящая в стандартную поставку винды. Они иногда делают ошибки. Полностью безошибочной распознавалки нет.

Я, видимо, недостаточно ясно выразился. Вопрос был не о программе для распознавания ввода, а о нотации для использования в собственное удовольствие, с условием, что нотация такова должна быть, чтобы даже компьютер ее мог распарсить, буде на то чье-либо желание. В общепринятой нотации кроме множества разночтений есть еще и множество путей сказать одно и то же. Вместо того, чтобы пытаться изобрести для себя какие-то собственные (более строгие) правила ее использования, я надеюсь на совет мудрого анонимуса, могущего предложить по теме нечто готовое, и, быть может, даже используемое пусть не всеми, но хотя бы в определенных кругах.

>>135055
Есть языки вот этих систем: enwiki://Proof_assistant , но они все запутанные, и ни один нельзя использовать с удовольствием.

> есть еще и множество путей сказать одно и то же

Это не баг, это фича.

>>135056
Так ведь я знаю про пруф-ассистанты, потому и сделал акцент на возможности писать конспекты в такой нотации. То бишь от руки и быстро.

> Это не баг, это фича.

А меня раздражает и мешает сосредоточиться на смысле. К тому же что ж это за фича, которая не несет дополнительной выгоды?

>>134998

> Сумасшествие
> маниакально-депрессивный психоз

facepalm.jpg.

>>135058
Я не встречался с тем из этого, что могло бы быть удобным для конспектов. Спрашивал, но мне сказали, что ничего подходящего нет. Но тщательно я не искал, кто-нибудь другой может знать.
Смысл - слишком неясная категория. Есть более конкретные штуки - интенсионал и экстенсионал. Возможность выбирать из интенсионала разные наборы признаков, определяющие один и тот же экстенсионал, даёт возможность совершенствовать язык - то есть даёт главную выгоду любого теоретизирования.

>>135062
Ок, я имел в виду более простые кейсы (каждый vs любой и подобное).

>>135115
Еноты - няшки.

>>135116
Да.

Анончик, скажи мне, что я справлюсь, а то я очень нерничаю. Умом понимаю, что вполне могу затащить, если буду стараться, но всё равно страшно.

>>135157
Ты справишься, бокскаттер-кун.

>>135159
Спасибо!!!

Помогите, молю!
Откуда они берут закон изменения скорости?

>>135199
Эм, взяли производную от x(t)? Т.е., v(t) = x'(t). Производная второго порядка дала бы уже ускорение, например. Нет?

>>135199
Производная от координаты же.

>>135199
Я, конечно, не эксперт, но, по-видимому, из определения.
ruwiki://Скорость

>>135202
>>135203
>>135204
Спасибо вам большое! А почему в производной координаты мы получаем t, а не 1/2*t?

>>135206
Я, конечно, не эксперт, но, по-видимому, из определения.
ruwiki://Производная_(математика)

>>135206
См. правила дифференцирования там, где указал >>135207. В частности, случай (f/g)'.

>>135208
Ме. Дико извиняюсь. Не там, а в ruwiki://Производная_функции на самом деле. Мне почему-то подумалось, что обе ссылки ведут на одну статью.

фикс

>>135206

> мы получаем t, а не 1/2*t?

Ну это пиздец, товарищи. Извините

Как подобные решаются?

Поясните по хардкору, как на практике используются производные, тригонометрия и прочие мифические штуки.

>>135230 → >>134836 две трети книги посвящены именно этому. коротко: задачи математического моделирования физических явлений

>>135232
А пределы тоже преследуют эту цель? В голове не укладывается.

>>135235 пределы - инструмент исследования. далеко не всегда очевидно, что будет, если произвольно шатать аргументы функции. с другой стороны красивые функции существуют только в учебниках, а на практике не всегда возможно подставляя значение аргумента узнать, чему равно значение функции. функции в интересующей точке может и не существовать, или она слеплена из кусков нескольких разных

>>135226
Навскидку, это сравнение разлагается на сравнение по модулю пять и сравнение по модулю шесть: чтобы выражение от х в левой части делилось на 30, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на пять, и на шесть. Эти сравнения решаются перебором, дальше применяется китайская теорема об остатках.
Более правильный и быстрый метод решения(который я не помню) изложен, скажем, в книжке Нестеренко "теория чисел".

>>135230
Никак. Бред сумасшедшего.

>>135230
Если ты занимаешься бухгалтерией, то можешь проинтегрировать увеличение объёма оборотных средств с течением времени например.
Но это всё выполняется машинами. Намного быстрее и эффективнее, если уметь пользоваться тем же экселем.

Ну и так, на практике можно забивать все эти интегралы/производные/диффуры в маткад/матлаб и моделировать сложные процессы.
Мы вот моделировали давление флюидов в толще пласта на разном количестве скважин. Температуру там считали, при равной скорости выкачивания нефти. Интересно в общем.

Правда это не хардкорный матан, а эмпирические формулы в сферическо-вакуумном виде, без учёта целой кучи факторов, изменяющегося напора, целого ряда технических трудностей. Но кому это интересно?

>>135244
Я из этого вообще ничего не понимаю... У Несетеренко ничего похожего тоже на нашел. А экзамен уже очень близко. Научите, пожалуйста...

>>135264
Я как и тот товарищ, ничего конкретного тебе не могу сказать, могу только привести решение конкретно того уравнения. Как решать, чтобы прямо многочлен сколь угодно большой степени, я не знаю. Другое дело, что сравнительно небольшую степень по сравнительно небольшому модулю можно решить как я показал, ну, или если у тебя уравнение вида x^n = a (mod m) и так хорошо совпало, что есть первообразный корень, ты знаешь что делать.

>>135264
Можешь скинуть сюда программу твоего экзамена? Я немного знаю литературу по теории чисел, могу подсказать.

>>135264

> У Несетеренко ничего похожего тоже на нашел.

Плохо искал. Алгоритм решения сравнений по простому модулю начинается со стр. 118, по составному - стр. 123 в издании 2008 года.

>>135269
Хм. Ну, теперь я как минимум приблизительно знаю, чего я не знаю...
>>135271
Увы, нету. Могу только задачки семинаров и к.р. скинуть, и надеяться, что что-нибудь такое и будет.
>>135274
И правда. Я слепой значит.

Спасибо за ответы, аноны...

Кхак я понял, весь курс школьной математики можно по Khan Academy изучить, если знать английский? Просто там реально объясняют раз в тысячу лучше, чем все учебники мира.

>>135305
Угу. Лично мне он привил, помимо прочего, любовь к математике. Научил видеть её красоту, что ли. Показал, что математика — это в первую очередь логические доказательства, выводы, а не просто какие-то наборы циферок и буковок, которые нужно зазубрить. С другой стороны, чтоб быть математиком нужны некоторые скиллы, которые у него не примешь. А именно, задачи у него все на понимание и вычисление. Он не учит исследовать самостоятельно, делать доказательства. Вернее учит, но пассививно, собственным примером. Опять же, скилл этот нужен далеко не каждому.

>>135308
Это да, я сейчас начинаю понимать, откуда что берется, к примеру. Но не думаю, что буду любить математику прям до ужаса, гуманитарный склад ума не пропьешь, епт.

>>135297
Гм, если ты прямо совсем ничего из этого не знаешь, а экзамен близко, то тебе придётся тяжко. Вот пара книжек, где, как я помню, всё это есть, также помочь может "алгебра" Ван Дер Вардена.

>>135310
Ну, теорию я большей частью знаю, но критически не хватает опыта решения задач. Наверное, половину из этих заданий смогу решить, но некоторые не понимаю совсем. Наверное, придется найти добрую душу (ирл), которая поможет со всем этим разобраться.

>>135309
Всем, кто к математике теплых чувств не испытвает, а хочет только сдать экзамены и забыть навсегда, я рекоммендую «Математику абитуриенту» Ткачука.

Доброчан, помоги. Можешь ли научить на пальцах определять по тексту задачи в теории вероятности, какую из четырёх основных формул комбинаторики использовать?

>>135316
Я скорее испытываю к математике некоторое уважение из-за её логичности.

>>133509
Что подразумевается, когда говорится о "собственном векторе матрицы A", без упоминания векторного пространства?

>>135333
Ну как бы раз есть матрица, векторное пространство уже есть R^n (C^n). Более того, в нём даже выбран базис!
(1, 0, 0, ... , 0), ... , пространство - его линейная оболочка. Потому, что матрица (понимаемая как оператор) это запись оператора в базисе.

>>135334
О, спасибо, ясно.

Вот сижу я. Дрочу всю эту теорию. Любое доказательство запомнить, понять, повторить - пожалуйста. Тем не менее скилл решения нестандартных задач все хуже и хуже. Куда катится мир..

>>135385
Saem shit here, bro.

>>135385
Действуй по-венгерски: решай задачи.

>>135407
Какая мысль! Какое решение!
Тем не менее, других по этому поводу я никогда и не слышал. Хорошо.

Ненавижу это дерьмо. В левой части должно быть х^3*у'', ЧТО Я КАК ВСЕГДА ДЕЛАЮ НЕ ТАК?

>>135385
Ну не зря же говорят, что понятая теория - это набор хорошо разобранных и осознанных примеров, а не теоремы и доказательства. Ну то есть ИМХО когда встречешь проблему, ты думаешь не "Ааа, по теореме ^%$#& тут должно быть так", а понимаешь, как оно на самом деле и почему. Теория лежит не дискретным набором теорем, а чем-то вроде общей непрерывной среды. Смысл решения задач не в вспоминании разобранных теорем (что по-моему вполне может снижать способность к решению интересных задач), а именно в мыслительном процессе с учётом понятых теорий, которые работают почти на автомате, как интуиция.
inb4 наркоман.

>>135428
Хорошо доказанная теорема - это и есть грамотно разобранный пример.

>>135430
Удваиваю.
Я апаю скилл решения задач из-за плохой памяти. Выучил теорему, забыл теорему, сам доказал, забыл, опять доказал.

Решил так письменный экзамен не прикасаясь к задачам месяц, только читая учебник.