>>129151 Функция f - это множество пар чисел (x;y) таких, что для любого числа x есть одно-единственное число y, образующее с ним пару. Если (x;y) - некоторая пара из f, то y называется значением функции f в точке x.
Функцией, обратной к f, называют такое множество пар (y;x), что (y;x) принадлежит функции, обратной к f, тогда и только тогда, когда (x;y) принадлежит f. То есть если y - значение функции f в точке x, то x - значение обратной к f функции в точке y. Не у всех функций есть обратные.
Пусть дана функция f и число x. Интересно спросить, чему равно значение функции f в точке x. Вообще говоря, нет другого способа узнать это, кроме как найти в функции пару, начинающуюся с x.
Школьные функции вроде возведения в степень, извлечения корня и т.п. - это множества пар чисел. Эти множества нельзя просто перечислить, потому что чисел бесконечно много. Нужно задать эти множества как-то иначе.
Обычно, на основе классических воззрений XIX века по подготовке прикладных математиков, делают так.
Сначала получают множество вещественных чисел R со сложением, умножением и порядком. Вещественные числа обычно определяют аксиоматически, но их можно и построить. Сначала определить натуральные числа; потом целые числа; потом рациональные числа; потом сечения в области рациональных чисел; и потом вещественные числа. Далее вводятся операции сложения и умножения. Далее вводится порядок. Таким образом вещественные числа получаются определены, и можно определять класс "элементарных функций" на них.
Далее определяют показательную функцию a^x. Смысл определения показательной функции в том, чтобы описать множество пар (x;a^x). То есть для всяких двух чисел x и a объяснить, как получить число a^x. То есть ответить на вопрос "какая функция называется показательной".
Показательную функцию сначала определяют для натуральных чисел; потом для аликвотных дробей - так называемые корни; потом для положительных дробей; потом для произвольных рациональных чисел. Далее с помощью того или иного принципа непрерывности определяют показательную функцию и для иррациональных чисел, и таким образом показательная функция оказывается определена для всех вещественных чисел.
Далее доказывают, что показательная функция имеет обратную. Эту функцию называют логарифмической. Или, точнее, функция, обратная к показательной функции x^a, называется логарифмической функцией с основанием a. Логарифм числа y по основанию a - это такое число x, что a в степени x есть y.
Далее довольно очевидным образом, опираясь на показательную функцию, вводят степенную функцию. Далее вводят многочлены. Далее вводят последовательности и ряды.
Далее вводят тригонометрические функции - синус, косинус, тангенс. Их определяют как некоторые конкретные ряды. То есть показывают ряд и говорят, что этот ряд будет называться синусом, например.
И таким образом класс элементарных функций оказывается построенным. Но работать с этим классом неудобно, потому что определения довольно абстрактны. Поэтому далее доказывают несколько теорем, нужных для вычислений.
Далее приступают к исследованию функций произвольного вида. Эти функции обычно довольно сложно определены. Правила, по которым для произвольного икса образуется пара (x;y), могут быть весьма сложны. Но оказывается, что поиск y для данного x во многих случаях можно облегчить. Вводится дифференцирование и интегрирование как основной инструмент исследования функций. Вводится теория разложения произвольных функций в ряд и даются признаки сходимости рядов.
Далее полученные результаты обобщаются на поле комплексных чисел и иногда на более абстрактные структуры.
Затем переходят к изучению способов получения функций. Разбираются дифференциальные уравнения, интегральные уравнения. Функциональные уравнения вообще. Вводится специальный аппарат численного решения уравнений. Далее изучают, как записывать уравнения, нужные некоторой произвольной науке, вроде экономики или физики. Наконец, математик выбирает себе какую-нибудь науку, пишет в ней уравнения, изучает их и своими результатами обогащает эту науку.
Вот, рассказал про функции.
