>>108257 Во многих разделах человеческой деятельности возникает понятие функции. Эти функции обладают разнообразными свойствами, которые требуется изучать. Приложения математики в основном касаются именно изучения функций.
Функции делятся на непрерывные и не непрерывные. Непрерывные функции - это хорошие функции, с ними просто работать, у них много примечательных свойств. Если функция непрерывна, то отрезок она переводит в отрезок, например. Оказывается, многие свойства не непрерывных функций можно открыть при изучении соответствующих им непрерывных функций, найденных с помощью операции
предельного перехода. Сперва я расскажу про предел, а потом про производную.
Пусть f - это числовая функция. Число f(x) называется
образом точки x при отображении f, число x называется
прообразом точки f(x) при отображении f.
Пример. sin(pi/2)=1.
1 есть образ точки pi/2 при отображении sin.
pi/2 есть прообраз точки 1 при отображении sin.
Образ всегда только один. Прообразов может быть несколько. Совокупность всех прообразов называется полным прообразом. Полный прообраз 1 при отображении sin можно найти, решив соответствующее тригонометрическое уравнение.
Образ множества X при отображении f - это множество всех f(x), где x пробегает множество X.
Прообраз множества Y при отображении f - это множество всех x таких, что f(x) лежит в Y.
Пример. f(x) = x^2.
Образ множества (-5;5) при отображении f - это множество (0;25).
Прообраз множества (0;16) при отображении f - это множество (-4;4).
Окрестностью точки называется интервал, содержащий эту точку. У точки, вообще говоря, может быть много окрестностей.
Пример. Интервалы (0;10) и (4.99; 5.01) являются окрестностями точки 5.
Функция f называется
непрерывной в точке x, если существует хотя бы одна окрестность точки x, образ при отображении f которой целиком лежит в некоторой наперёд заданной окрестности точки f(x) (это определение хорошо бы выучить). То есть какой бы интервал вокруг точки f(x) мы не взяли, в нём будут лежать образы нескольких точек, достаточно близких к x. То есть образы соседних точек лежат рядом. В твоём учебнике алгебры, возможно, есть определение этого же самого на эпсилон-дельта языке.
Для доказательства, что некоторая функция f непрерывна в точке x, требуется указать правило, по которому всякой окрестности точки f(x) сопоставляется некоторая отображающаяся в неё окрестность точки x. Таких правил можно найти много, но для их поиска требуется некоторая фантазия. В общем случае доказательство непрерывности функции в точке на основе определения непрерывности в точке является весьма непростой задачей.
Простой пример.
Докажем, что функция f(x) = x+10 непрерывна в точке 5.
Образ точки 5 при отображении f равен 5+10 = 15.
Нам нужно для любой окрестности числа 15 указать некую отображающуюся в неё окрестность числа 5.
Решение.
Любой интервал, содержащий точку 15, обозначим как (a;b) где a < 15 < b.
Включим воображение, возьмём интервал (a-10; b-10) и попробуем доказать, что он нам подходит.
1. Он содержит точку 5, потому что a-10 < 15-10 < b-10, то есть a-10 < 5 < b-10.
2. Покажем, что образ любого числа z из интервала (a-10;b-10) лежит в (a;b).
Имеем неравенство a-10 < z < b-10.
Прибавим 10 ко всем частям неравенства: a < z+10 < b
Но z+10 и есть f(z). То есть a < f(z) < b.
То есть образ любой точки из интервала (a-10;b-10) лежит в интервале (a;b), а это нам и нужно.
Итак, функция f(x) непрерывна в точке 5, потому что для любой окрестности (a;b) числа f(5) существует целиком отображающаяся в неё окрестность (a-10;b-10) числа 5.
Решение закончено.
Проколотой окрестностью точки x называется окрестность точки x, из которой исключили саму эту точку.
Пример. Интервалы (0;5)∪(5;10) и (4.99;5)∪(5;5.01) являются проколотыми окрестностями точки 5.
Теперь наконец-то введём операцию предельного перехода. Число y называется пределом функции f в точке x, если существует хотя бы одна проколотая окрестность точки x, образ при отображении f которой целиком лежит в некоторой наперёд заданной окрестности y. Это определение почти дословно повторяет определение непрерывности в точке, только мы исключили из рассмотрения саму точку x, оставив лишь точки вокруг неё. При предельном переходе сама точка нас не интересует, нам важна только её окрестность. Функция даже может быть не определена в точке x, но иметь в ней предел.
Пусть нам дана функция f и число x0. Сконструируем новую функцию g так.
g(x) = f(x), если x != x0.
g(x) = y, если x = x0.
Для того, чтобы доказать, что функция f(x) в точке x имеет своим пределом число y, нам нужно доказать, что функция g непрерывна в точке x0.
Важный факт о непрерывных функциях. Если функция непрерывна в точке, то её значение в этой точке равно её пределу в этой точке.
Простой пример.
Докажем, что предел функции f(x) = x+10 в точке 5 равен числу 15.
Для этого нужно доказать, что функция g
g(x) = f(x) = x+10, если x != 5
g(x) = 15, если x = 5
непрерывна в точке 5. Но функция g совпадает с функцией f, а непрерывность f в точке 5 мы уже доказали. Вот и всё доказательство.
Более сложный пример.
Предел функции (sin (x))/x в точке 0 равен 1, хотя сама функция в точке 0 не определена, потому что деление на 0 не определено.
Доказательство этого факта опирается на некоторые сведения из геометрии.
Не у всякой функции есть предел в конкретной точке. Функция sin (1/x) не имеет предела в нуле, например. Существуют даже такие монстры как функция Дирихле, которые вообще ни в одной точке предела не имеют.
Предельный переход - основная операция математического анализа функций. Предельный переход позволяет перейти от анализируемой функции к соответствующей ей непрерывной функции. Важные теоремы анализа позволяют заявить, что у этих двух функций имеются общие свойства, поэтому изучение соответствующей непрерывной функции даст много сведений об исходной функции.
Задавай свои вопросы, а потом я продолжу.
