>>111503 Диаграммы Эйлера являются доказательством, не волнуйся.
Видимо, тебе предлагается не просто доказать теорему, а доказать её в бюрократическом формалистском стиле, то есть поупражняться в жонглировании символами. Например, "докажем" твою теорему.
#0. Множество A есть подмножество множества B, если для всякого элемента x из A верно, что x принадлежит B.
A ⊂ B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
#1. Множества A и B равны, если A есть часть B и B есть часть A.
A=B := A ⊂ B ∧ B ⊂ A
#2. A\B - такие x, что x принадлежит A и не принадлежит B.
A\B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
#3. A∪B - такие x, что x принадлежит A или x принадлежит B.
A∪B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
#4. A⋂B - такие x, что x принадлежит и A, и B.
A⋂B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Итак, доказательство.
x ∈ A\(B∪C)
⇔ x ∈ A ∧ x ∉ (B∪C) - по #2
⇔ x ∈ A ∧ ¬ x ∈ (B∪C)
⇔ x ∈ A ∧ ¬ (x ∈ B ∨ x ∈ C) - по #3
⇔ x ∈ A ∧ ¬ x ∈ B ∧ ¬ x ∈ C - закон де Моргана
⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∉ C
⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x∈A ∧ x ∉ C - закон идемпотентности
⇔ x ∈ (A\B)∧x∈(A\C) - по #2
⇔ x ∈ (A\B)⋂(A\C) - по #4
Для всякого x из того, что x принадлежит A\(B∪C), следует, что x принадлежит (A\B)⋂(A\C).
Доказывается прочтением цепочки рассуждений в прямом порядке.
A\(B∪C) - подмножество (A\B)⋂(A\C) по #0.
Для всякого x из того, что x принадлежит (A\B)⋂(A\C), следует, что x принадлежит A\(B∪C).
Доказывается прочтением цепочки рассуждений в обратном порядке.
(A\B)⋂(A\C) - подмножество A\(B∪C) по #0.
Следовательно, A\(B∪C) и (A\B)⋂(A\C) равны по #1.
Доказательство окончено. Пардон за возможные ошибки.
Это рассуждение не является ещё формальным доказательством, но близко к нему. Для того, чтобы сделать его формальным, нужно записать аксиомы логики и правило вывода, навешать, где надо, кванторы, и заменить словесные рассуждения формальными. Подробнее можешь посмотреть в какой-нибудь достаточно хорошей книжке по матлогике.
На мой взгляд, все эти игры в выстраивание цепочек символов бессмысленны, не советую ими увлекаться. Они не нужны, если есть более наглядный способ доказательства. Некоторые люди считают их почему-то "строгими" (как будто круги Эйлера менее строги, чем это занудство). Наверное, это потому, что на выстраивание таких цепочек нужно тратить много времени, лол.
Хотя уметь в формальные рассуждения и в рассуждения, близкие к формальным, конечно, надо.
