>>98101 Математика изучает абстрактные объекты. Всякий объект вводится с помощью
определения. Изначально о рассматриваемом объекте мы знаем лишь то, что он обладает заявленными в определении свойствами. Эти первоначальные свойства мы называем
аксиомами. На основе аксиом с помощью
логики выводятся другие свойства - таким образом мы
исследуем объект. Не всякий объект может быть признан существующим. Существующим мы считаем тот объект, свойства которого не противоречат друг другу; объект с противоречивыми свойствами мы считаем несуществующим.
Примеры математических объектов: множество, натуральные числа, геометрия Евклида, евклидово пространство, функция и т.п.
Суть математики - исследование математических объектов. Вычисления не являются сутью математики.
Математические объекты исследуются так: сперва мы делаем утверждение об объекте, а затем ищем доказательство этого утверждения. Доказательством утверждения мы называем логически правильное рассуждение, отправляющееся от определения объекта и заканчивающееся оным утверждением.
Если мы докажем, что исследуемый объект обладает неким свойством, то это ещё не даст нам повода утверждать, что объект не обладает противоположным свойством: исследуемый объект может быть противоречив. Однако очевидно, что если объект существует, то его свойства не противоречат друг другу. И потому как только мы докажем, что существующий объект обладает неким свойством, мы этим же самым докажем, что оный объект не обладает противоположным свойством.
Утверждение, что рассматриваемый нами объект обладает неким конкретным свойством, мы называем теоремой (если оно доказано) или гипотезой(если оно и не доказано, и не опровергнуто).
Леммой мы называем вспомогательное утверждение, нужное для доказательства теоремы и неинтересное само по себе.
Нужно заметить, что обывательские представления об аксиомах не совпадают с математическими. Для неспециалиста аксиома - это утверждение, которое не нуждается в доказательстве. Для математика аксиома - это часть определения; мысль о том, чтобы доказывать
определение, несколько бредова.
Пример.
Полагаем натуральные числа и их умножение определёнными и известными.
Определение 1. Квадратом натурального числа n называют натуральное число `
n*n. Будем обозначать квадрат n как n^2.
Определение 2. Число n - чётное, если существует такое число k, что
n = 2*k.
Определение 3. Кракозяброй мы называем всякое натуральное число, квадрат которого - чётное число.
Теорема 1. Если число n - чётное, то оно - кракозябра.
Доказательство. Пусть n - чётное число.
По определению 2 существует такое число k, что
n=2*k.
Квадрат n есть
n^2 = n*n = (2*k)*(2*k) = 2*(2*k*k) - по определению 1 и свойствам умножения натуральных чисел.
Обозначим
2*k*k как z.
Тогда
n^2=2*z и по определению 2
n^2 есть чётное число.
Следовательно, по определению 3 число
n есть кракозябра.
Теорема доказана.
Этот пример иллюстрирует типичное математическое рассуждение. Здесь мы ввели три объекта: квадрат натурального числа, чётное число и кракозябру. Мы задали их свойства и затем в ходе доказательства теоремы 1 опирались на них.
Мы открыли новое свойство чётных натуральных чисел: все они - кракозябры.
Нужно заметить, что мы не стали доказывать существования этих объектов, и потому научная ценность нашего рассуждения под вопросом.
Натуральные числа чаще всего определяются как множество, обладающее пятью свойствами, называемыми "аксиомы Пеано".
Множество - это абстрактный объект, обладающий свойствами, называемыми "аксиомы Цермело-Френкеля".
Важно различать сам абстрактный объект и его модель. Моделью абстрактного объекта x мы называем любой объект, обладающий перечисленными в определении x свойствами. То есть, например, комплексными числами может быть признан любой объект, в числе свойств которого содержатся, между прочим, аксиомы комплексных чисел. Это могут быть матрицы специального вида; это могут быть упорядоченые пары действительных чисел; это могут быть точки координатной плоскости и т.п. В некотором смысле всё перечисленное - один и тот же объект.
Важно также не давать слишком большую волю воображению. Мы работаем с абстрактными объектами, и нужно об этом помнить. Не стоит воображать алгебраическое кольцо как золотую безделушку: это безосновательное приписывание объекту лишних свойств. Об объекте мы знаем лишь то, что заявлено в определении, и то, что мы доказали. Больше мы не знаем ничего. На первых порах вообще можно считать математику игрой пустыми словами. Интуитивное понимание приходит с опытом.
В склонности работать с абстракциями есть минусы. Так, математический ум не может начать исследовать объекты, пока эти объекты не определены. Например, математик не начнёт рассуждать о душе, пока не получит её определения - поскольку не имеют свойств, из которых будет делать выводы. Однако в этой склонности есть и свои плюсы. Например, математик может начать читать книгу по алгебраической топологии, не изучая всю математику от Евклида до Клейна, поскольку все необходимые определения обязательно вводятся в самой книге. Лишь самые фундаментальные понятия вроде множества или топологического пространства авторы обычно не считают нужным определять.
Ближе к телу.
Для учебника Зорича не нужна никакая подготовка, кроме совсем тривиальной. Нужно владеть арифметикой и иметь небольшое представление о рациональных числах. Аксиомы рациональных чисел есть в вики и, как ни странно, у Фихтенгольца. Ещё нужна таблица умножения. Также нужно уметь складывать дроби, решать простенькие уравнения вроде x+2=5 и знать, как возводить число в рациональную степень.
Учебник же Демидовича написан не для математиков, а для... э-э... Лол, не знаю, для кого, неважно. Суть в том, что написан он преотвратно и может быть использован лишь в качестве справочника для людей, вынужденных учиться в рашковузе. Все используемые в учебнике Демидовича термины вроде синуса и тангенса нужно смотреть в википедии.
Стандартные школьные учебники с их "точками сгущения" читать
вредно.
http://yadi.sk/d/vDaa8D_E0W-rL - Фихтенгольц. Можно читать только первый параграф, дальше читать
нельзя.
http://yadi.sk/d/dPI2g4Ct0xFMk - учебник, официально предваряющий книгу Зорича. Именно он тебе нужен.
