Объяснение на пальцах (надеюсь).
Моделью числа являются десятичные дроби. Их можно разделить на два класса: периодические и непериодические. Так вот, любое рациональное число представимо в виде периодической дроби, а любое иррациональное число в виде непериодической. Действительно, то же pi: 3.1415926535897932... Никакого периода нет и в помине. То есть можно предположить, что период есть, просто мы его еще не увидели целиком, но существует доказательство, показывающее, что периода действительно нет (которое я оставляю за рамками этого объяснения). В качестве другого примера можно взять пресловутый 2^(1/2): 1.4142135623730950488... И снова, периода нет.
Немного менее понятно обстоит ситуация с рациональными числами. Действительно, для какой-нибудь 1/3 вышесказанное ясно и понятно, 1/3 представима в виде 0.(3), то есть та самая периодическая дробь. Кстати говоря, такое представление позволяет отождествить некоторые числа, например, 0.(9) действительно равно 1, и вовсе не обязательно понимать в данном случае период, как предел (хотя так будет правильнее, но коль скоро объяснение на пальцах), а можно сказать иначе, 0.(9)=1 потому, что 0.(9) во всех ситуациях ведет себя точно так же, как и 1. И это весьма справедливо, так как десятичные дроби - модель чисел, то есть мы сами определяем, что справедливо, а что нет. Таким образом, снова можно сказать, что 1 - это периодическая дробь. Ну да, раз уж 1=0.(9). Однако можно мыслить и иначе. 1=1.(0), то есть нуль стоит в периоде. Снова, бесконечная периодическая дробь. Такая же ситуация и с числами, которые мы привыкли записывать в виде конечной десятичной дроби. То, что мы их так записываем, не значит, что их нельзя представить в виде бесконечной десятичной дроби. 0.25=0.25(0), 0.6=0.6(0) etc.
Если у ньюфагов есть вопросы, задавайте. Если у гуру есть поправки (что будет весьма справедливо), говорите. Оставляю за собой право никак не отвечать на вопросы отдельных товарищей, посчитав их слишком толстыми.
