>>147383 Ну твой идеал - Матматоды Арнольда, глава про дифференциальные формы. (Или в других местах про них). Потратишь чуть больше времени, чтобы врубиться, зато потом не будет проблем, не нужно будет запоминать кучу ненужной хрени.
Если вкратце, то есть отличный метод обращения со всем этим делом. символы dx, dy, dz (1-формы) можно складывать, умножать, дифференцировать и интегрировать. Если есть интеграл int P dx + Q dy по кривой, то просто заменяешь x = x(u), y = y(u) и применяешь цепное правило, чтобы получить обычный интеграл \int (P dx/du + Q dy/du) du , когда есть двойной и старшие интегралы правило таково:
dx
dy = -dydx, в частности dx
dx = -dxdx = 0 (все дифференциалы антикоммутируют, это отражает смену ориентации в интеграле). Поэтому,например, замена координат x, y -> u, v Будет выглядеть так:
dx
dy = dx(u,v)dy(u,v) = (A du + B dv)
(С du + В dv) = AB dudv + CD dv
du = (AB - CD)dudv, то есть обычная формула замены координа в интеграле через якобиан.
Если есть вектор v = (P, Q, R), то \int P dy
dz + Q dzdx + R dx*dy = \int (v, dS) поэтому заменой координат x, y, z = x(u,v), y(u,v), z(u,v) приводится к обычному интегралу в плоскости u, v.
Можно заметить, что при x-координате вектора P стоят только дифференциалы dy, dz и так далее. Тут важно следить за порядком умножения дифференциалов.
Так же правило обобщается на большие размерности. (dx
dydz = -dy
dxdz = dy
dzdx)
Осталось вывести формулы Грина, Гаусса-Остроградского и Стокса.
Для этого нужно уметь дифференцировать формы (это обобщает градиент, ротор и дивергенцию).
d(sum
i vi dx
i) = sumi sum
j (dvi/dx
k) dxk*dx_i
d(f(x,y)dx) = (df/dx)^dx
dx + (df/dy)dydx = (df/dy)dy*dx. (Значок "d" на каждое слагаемое действует так: дифференцирует функцию, стоящую перед дифференциалами, вдоль каждого направления d/dx
i, и умножает дифференциалы на dxi. В частности дифференциал функции - обычный дифференциал функции. df(x, y) = df/dx dx + df/dy dy). Стоит заметить, что в продифференцированной форме на один дифференциал больше.
А теперь есть очень важная общая формула Стокса (обобщает формулы Грина, Гаусса-Остроградского, Стокса и другие).
!!\int d w = \int w!!, где слева интеграл идёт по поверхности (n мерной поверхности), а справа по её границе (n-1 мерной границе).
Докажем для разминки формулу Грина:
w = P dx + Q dy
dw = (dP/dx dx
dx + dP/dy dydx) + (dQ/dx dx
dy + dP/dy dydy)=
Приводим слагаемые, вспоминаем, что dx
dy = -dydx и dx
dx = dydy = 0)
= (dQ/dx - dP/dy) dx*dy. Если теперь навесить знак интеграла, то получится формула Грина.
Ну и есть такое правило (можно подумать почему именно так), что вектору v = (P, Q, R) можно сопоставить 1-форму и 2-форму:
P dx + Q dy + R dz
P dy
dz + Q dzdx + R dx*dy.
Если продифференцировать их, применить общую формулу Стокса, то получатся теоремы
Стокса и Гаусса-Остроградского соответственно (про циркуляцию и поток векторного поля через поверхность).
В частности ротор вектора v - это вектор, соответствующий дифференциалу 1-формы:
d(P dx + Q dy + R dz) = (dP/dy dy
dx + dP/dz dzdx) + (dQ/dx dx
dy + dQ/dz dzdy) + (dR/dx dx
dz + dR/dy dydz) = (dR/dy - dQ/dz) dy
dz + (dP/dz - dR/dx) dzdx + (dQ/dx - dP/dy) dx*dy = rot (v).
А дивергенция вектора - это число, которое получается при дифференциировании 2-формы:
d(P dy
dz + Q dzdx + R dx
dy) = dP/dx dxdy
dz + dQ/dy dydz
dx + dR/dzdx*dy =
(чтобы привести к виду A dx
dydz осталось заметить, что среди дифференциалов требуется 0 или 2 перестановки, значит знак не меняется: dy
dzdx = -dy
dxdz = dx
dydz)
= (dP/dx + dQ/dy + dR/dz)dx
dydz = div(v) dx
dydz
Как поймёшь это порешай любые задачки на криволинейные интегралы из гугла - проблем быть не должно. Тут вся наука сводится к паре простых и красивых правил.
