16а.
> B \ ((A ∪ B) \ A) ≠ ∅
Но почему? Бэкслэш - это ведь разность. A\B - это те элементы, которые принадлежат A и при этом не принадлежат B.
(A ∪ B) \ A = B
B \ B = ∅
> B ∖ ((A ∪ B) ∖ A) = {c ∣ ((c ∈ A) ∧ (c ∉ B)) ∨ ((c ∉ A) ∧ (c ∈ B))};
Вот здесь у тебя справа на самом деле написано (A\B)∪(B\A). Это называется "симметрическая разность": А без Б, объединенное с Б без А. Эта операция обозначается треугольничком, похожим на большую букву дельта.
A Δ B := (A\B)∪(B\A).
> ((c ∈ A) ∧ (c ∉ B)) ∨ ((c ∉ A) ∧ (c ∈ B)) ⇒ ((c ∈ A) ∧ (c ∈ B))
Рекомендую проверять подобные упражнения с помощью диаграмм Эйлера. Вот для того, что ты написал, для симметрической разности, картинка выглядит как пикрелейтед. Видно, что c принадлежит вовсе даже не пересечению. Диаграммы Эйлера (в США называются диаграммами Венна) - это мощный инструмент доказательства таких вот ерундовинок, рекомендую пользоваться диаграммами, когда это разумно. Символы скучные же, диаграммы нагляднее.
16б. Ты написал убедительный аргумент, но в придачу к нему написал много странных слов вроде "непреодолимое противоречие" и "к сожалению". Непонятно вот, о чём именно ты сожалеешь и почему сожалеешь. Ок, пока засчитано, но к этой задаче мы, даст Бог, ещё вернёмся, когда закончим основной курс.
15а. Очень хорошо, что ты говоришь о новых понятиях. Я поощряю это весьма сильно. Чем больше терминов ты знаешь, тем лучше. Был бы ты рядом, угостил бы тебя чем-нибудь вкусным.
Однако то, что ты назвал мощностью, лучше всё-таки в нашем конкретном случае называть площадью.
Мощность - это другое, это количество точек во множестве. Количество точек в конечном множестве, в общем, вопросов не вызывает, элементы конечного множества можно пересчитать. А вот с количеством элементов в бесконечных множествах уже есть тонкости. В стандартных фигурах школьной геометрии бесконечно много точек. Причём есть чрезвычайно интересный факт, что во всех отрезках, в прямых, в плоских фигурах, в объёмных телах и даже во всём пространстве R^3 одно и то же количество точек, континуум. В двух отрезках длины 5 и 8 одно и то же количество точек, несмотря на то, что длины отрезков различны. Причём точек в отрезке так много, что их больше, чем натуральных чисел, и таким образом точки отрезка нельзя занумеровать. Совсем скоро мы это докажем.
Понятие, которое ты использовал, называется мерой. Мера множества - это то, частными случаями чего являются длина отрезка, площадь фигуры и объём тела. О мерах мы тоже скоро поговорим.
> Внутренние многоугольники суть фигуры, имеющие в качестве своей площади некий кусочек площади описывающей фигуры
Геометрические фигуры - множества точек. Обсуждаются именно сами фигуры как множества. Здесь идёт речь об отношении подмножества, об A ⊂ B. Мера множества и множество - разные понятия. Площадь - это одно-единственное число, сопоставленное множеству.
> множество всех попугаев
Площадь - это вещественное число. Однако приятно, что ты работаешь сразу с абстрактными объектами вроде попугаев. Я это учту.
Доказательство не доведено до конца. К тому же, на мой вкус, ты всё слишком усложнил. Здесь же просто предлагается вспомнить, что площадь объединения равна сумме площадей, если фигуры не пересекаются; потом немного подумать о площадях пересечения и пойти от противного. Смотри указания же, которые я оставил. И ещё подсказка - вспомни, что если a<1 и b<1, то a+b < 2.
б) Противоречия нет. Да, в фигуру площадью четыре запихнули семь многоугольников единичной площади. Если бы многоугольники не пересекались, то площадь фигуры была бы равна 7. Это не так, значит, многоугольники пересекаются. Выглядит примерно как вторая прикреплённая картинка.
Пойду составлю тебе следующий листочек. План работы, вкратце, таков. Сначала мы ещё немного поработаем с определением множества, потом будет понятие функции и целая россыпь сопутствующих теоретико-множественных понятий, потом пара слов о математической индукции и о числах, потом отдельным пунктом доказательство теоремы Кантора-Бернштейна-Шрёдера как мощного инструмента установления равномощности множеств, потом основные алгебраические структуры, потом мера, потом интеграл Леб
ега, потом снова множества - аксиома выбора, лемма Цорна, теорема Церм
ело. Дальше теоретико-множественная топология и теория метрических пространств, последовательности, ряды, строгое определение элементарных функций и между прочим тригонометрические тождества, выведенные не как в школе, а нормально. Потом несколько традиционных слов о линиях - Ферма, Больцано, Вейерштрасс, Ролль-который-вынес-мозг-Лейбницу, Коши, Лагранж и их теоремы. Потом немного о линейной алгебре и фундаменте для квантовой механики, потом пристальный взгляд на школьную геометрию и её внезапный кошмарный оскал. Всё это обязательно одним комком, потому что тут всё взаимосвязано. Потом, может быть, скажу несколько слов о современной геометрии и об анализе на многообразиях.
