Прежде чем обобщать дифференциальное исчисление, следует явно зафиксировать, что именно планируется обобщить. Итак, диффисчисление kartofanus vulgaris на R. Заранее сорри за все ляпы.

Определение R полагается известным. Все множества числовые, если не оговорено противное.
Пусть M - множество чисел, x - число.
Если для любого m из M верно, что m<x, то x называется верхней гранью M.
Если для любого m из M верно, что x<m, то x называется нижней гранью M.
Наименьшая верхняя грань называется супремум.
Наибольшая нижняя грань называется инфимум.

Интервалом от a до b называется множество всех таких чисел x, что a<x<b. Обозначается как (a;b).
Окрестностью точки x называется интервал, содержащий точку x.
Проколотой окрестностью точки x называется окрестность точки x, из которой исключена сама точка x.
ε-окрестностью точки x называется интервал (x-ε; x+ε), где ε - положительное число.

Последовательностью называется функция, определённая на множестве всех натуральных чисел. Образы называются точками последовательности. Натуральные числа - номерами.
Подпоследовательностью называется сужение последовательности на некоторое бесконечное подмножество натуральных чисел (перенумерованное по порядку).
Мы говорим, что некоторое утверждение верно для почти всех членов последовательности, если оно верно для всех её членов, начиная с некоторого.
Последовательность вещественных чисел сходится к точке x, если в любой окрестности x лежат почти все точки последовательности. Число x называется пределом. Обозначается lim xn = x.
Последовательность называется бесконечно-малой, если её предел равен нулю.
Последовательность чисел называется возрастающей, если в ней последующий член не меньше предшествующего.
Последовательность чисел называется ограниченной сверху, если существует некоторое число, большее каждого члена последовательности (оно называется верхней гранью последовательности).
Аналогично определяются убывающая последовательность, ограниченная снизу последовательность.
Если x1, x2, x3, ... и y1, y2, y3, ... - две последовательности, то последовательности {xn+yn}, {xn-yn}, {xn×yn} и {xn/yn} называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей. Частное определено лишь тогда, когда члены yn не равны нулю.

Отрезком от a до b называется множество всех таких чисел x, что a<=x<=b. Обозначается как [a;b].
Длиной отрезка [a;b] называется число b-a.
Если символом A обозначен отрезок, то символом |A| обозначена его длина.
Системой вложенных отрезков называется такая последовательность отрезков A1, A2, A3, ... , что A(n+1) - подмножество An.
Системой стягивающихся отрезков называется система вложенных отрезков, у которой последовательность длин |A1|, |A2|, |A3|, ... сходится к нулю.

Аксиома порядка. Для любых двух чисел p и q либо p<q, либо p=q, либо q<p.
Аксиома плотности. Если p и q - два числа такие, что p<q, то существует число r такое, что p<r<q.
Аксиома непрерывности. Любое непустое ограниченное сверху множество вещественных чисел имеет супремум. Любое непустое ограниченное снизу множество вещественных чисел имеет инфимум.
Аксиома Архимеда. Если c - вещественное число, то существует натуральное число n такое, что n>c.
Аксиома выбора. Если дана последовательность непустых числовых множеств, то из каждого множества можно выбрать число и получить последовательность чисел.

Теорема 0. Два разных числа обладают непересекающимися окрестностями.
Пруф. Пусть p и q - два разных числа, и пусть p<q. Существует число r такое, что p<r<q. Тогда (p-1;r) и (r;q+1) являются окрестностями соответственно p и q и не пересекаются.

Теорема 1. Если последовательность сходится, то она сходится к единственному пределу.
Пруф. Если последовательность сходится к двум разным пределам, то существуют два непересекающихся интервала U и V таких, что почти все члены последовательности лежат в U, и почти все члены последовательности лежат в V. Но почти все члены не могут лежать в V, так как вне U лежит лишь конечное количество членов.

Следствие. Пусть последовательности p1, p2, p3, ... и q1, q2, q3, ... сходятся к пределам соответственно p и q. Если последовательность p1, q1, p2, q2, p3, q3, ... сходится к пределу r, то p=q=r.
Пруф. В любой окрестности r лежат почти все точки p1, q1, p2, q2, ... .
Значит, в любой окрестности r лежат почти все точки последовательностей p1, p2, ... и q1, q2, ...
Значит, r - предел p1, p2, ...
Значит, r - предел q1, q2, ...
По единственности предела, r=p и r=q.

Теорема 2 (эпсилон-дельта формализм). Последовательность x1, x2, x3, ... сходится к пределу x тогда и только тогда, когда для всякого ε>0 существует натуральное число N такое, что для всех n>N верно, что |xn-x| < ε.
Пруф. |xn-x| < ε эквивалентно x-ε < xn < x+ε, то есть тому, что xn лежит в ε-окрестности точки x.

Следствие. Последовательность бесконечно-малая тогда и только тогда, когда все члены последовательности, начиная с некоторого, по модулю меньше любого наперёд заданного положительного числа.
Пруф. В этом случае x=0 и |xn-x| < ε превращается в |xn| < ε.

Пример 1. Последовательность 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... , 1/2^n, ... сходится к нулю.
Пример 2. Последовательность 0.1, 0,01, 0.001, ... , 10^-n, ... сходится к нулю.

Теорема 3. Сумма бесконечно-малых последовательностей есть бесконечно-малая последовательность.
Пруф. Он опирается на следствие теоремы 2.
Пусть {xn} и {yn} - две бесконечно-малые последовательности.
Пусть ε - некоторое положительное число.
Существует такое N1, что для любого n>N1 верно |xn|<ε/2.
Существует такое N2, что для любого n>N2 верно |yn|<ε/2.
Положим N = max(N1, N2).
Для двух вещественных чисел всегда верно |p+q| <= |p|+|q|.
Значит, для любого n>N верно, что |xn+yn| <= |xn| + |yn| < ε/2 + ε/2 = ε.
То есть в любой окрестности нуля лежат почти все члены последовательности {xn+yn}, начиная с N-го.

Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно-малую - бесконечно-малая последовательность.
Пруф. Он опирается на следствие теоремы 2.
Пусть {xn} и {yn} - соответственно ограниченная и бесконечно-малая последовательности.
Существует такое число M, что все члены xn по модулю меньше M.
Значит, существует такое натуральное число N1, что для всех n>N1 верно |xn|<M.
Пусть ε - некоторое положительное число.
Существует такое натуральное число N2, что для всех n>N2 верно |yn|<ε/M.
Положим N = max(N1,N2).
Для любого n>N верно, что |xn×yn|= |xn| × |yn| < M × ε/M = ε.
То есть в любой окрестности нуля лежат почти все члены последовательности {xn×yn}, начиная с N-го.

Теорема 5. Предел постоянной последовательности a, a, a, ... равен a.
Пруф. Для любого ε>0 все члены последовательности лежат в интервале (a-ε;a+ε).

Следствие 1. Если {xn} - бесконечно-малая, a - число, то {a×xn} - бесконечно-малая.
Пруф. Постоянная последовательность ограничена, воспользуемся теоремой 4.

Следствие 2. Разность бесконечно-малых - бесконечно-малая.
Пруф. Заменим вычитание {yn} на сложение с {-1×yn}, воспользуемся предыдущим следствием и теоремой 3.

Ясно, что результаты, установленные для суммы и произведения двух последовательностей, верны для суммы и произведения любого конечного числа последовательностей.

Теорема 6. Бесконечно-малая последовательность ограничена.
Пруф. Пусть ε - произвольное положительное число. Все члены последовательности, начиная с N-го, по модулю меньше ε. Пусть A - максимальное из чисел |x1|, |x2|, ... , |xN|, ε. Тогда все члены по модулю меньше A.

Теорема 7 (критерий сходимости). Чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить в виде суммы числа (т.е. постоянной последовательности) и некоторой бесконечно-малой последовательности. Это число будет пределом последовательности.
Пруф. Необходимость.
Пусть x1, x2, x3, ... - последовательность, сходящаяся к x.
Положим αn = xn-x, тогда xn = αn+x.
Последовательность αn бесконечно-малая, так как |xn-x|<ε означает |αn|<ε.
Достаточность.
Пусть xn = x + αn, и αn - бесконечно-малая последовательность.
Но αn = xn-x, и |αn|<ε означает |xn-x|<ε

Критерий сходимости позволяет свести свойства произвольной последовательности к свойствам бесконечно-малой последовательности.

Теорема 8. Сходящаяся последовательность ограничена.
Пруф. Пусть xn - сходящаяся к x последовательность.
По критерию сходимости, xn = x + αn, где x - число, αn - бесконечно-малая последовательность.
αn по теореме 6 ограничена некоторым числом M.
Значит, для любого номера n верно, что |xn|<x+M.

Следствие. Произведение двух бесконечно-малых - бесконечно-малая.
Пруф. Бесконечно-малая сходится и потому ограничена. Дальше теорема 4.

Теорема 9. Если lim xn = x, то lim c×xn = c × lim xn.
Пруф. c × xn = c×x + c×αn. Последовательность c×αn бесконечно-малая по следствию 1 из теоремы 5.

Теорема 10. Если xn и yn сходятся и lim xn = x, lim yn = y, то xn+yn, xn-yn, xn×yn и xn/yn сходятся, соответственно к пределам x+y, x-y, xy и x/y (с оговоркой об осмысленности частного).
Пруф. По критерию, xn = x+αn, yn = y+βn, где αn и βn - бесконечно-малые.
xn+yn = (x+αn) + (y+βn) = (x+y) + (αn+βn). Последовательность αn+βn бесконечно-малая по теореме 3.
xn-yn = (x+αn) + (-y-βn) = (x-y) + (αn-βn). Последовательность αn-βn бесконечно-малая по следствию 2 из теоремы 5.
xn×yn = (x+αn) × (y+βn) = x×y + x×βn + αn×y + αn×βn. Последовательности x×βn и αn×y бесконечно-малые по следствию 1 из теоремы 5. Последовательность αn×βn бесконечно-малая по следствию из теоремы 8. Поэтому последовательность (x×βn + αn×y + αn×βn) - бесконечно-малая.
Для частного доказывается многословнее. Оставим читателю.

Пример 3. Пусть A - число.
Последовательность A-0.1, A-0.01, ... , A-10^-n, ... сходится к A.

Теорема 11. Если xn сходится и для любого n верно, что xn≥a, то lim xn ≥ a.
Пруф. Пусть x = lim xn. Предположим, что x < a.
Положим ε = (x-a)/2. Тогда при достаточно больших n верно |xn-a| < (x-a)/2.
То есть (a-x)/2 < xn-a < (x-a)/2, откуда вытекает xn < (x+a)/2.
Учитывая предположение, получаем, что xn < a, что противоречит условию.

Следствие 1. Если xn≥ yn для всех n, то lim xn ≥ lim yn.
Пруф. Рассмотрим последовательность xn-yn.

Следствие 2. Если все xn > 0, то lim xn ≥ 0.
Гипотеза "xn> 0 ⇒ lim xn > 0" неверна, контрпримером будет 1/n.

Теорема 12. Если числа a и b входят в интервал U, то любое число x такое, что a < x < b, входит в интервал U.
Пруф. Очевидно.

Теорема 13 (о двух милиционерах).
Пусть xn, yn, zn - три последовательности.
Пусть для всех n верно xn ≤ yn ≤ zn.
Пусть xn и zn сходятся к A.
Тогда yn сходится к A.
Пруф. В любую окрестность числа A входят все точки последовательности xn, начиная с N1, и все точки последовательности zn, начиная с N2. По теореме 12, в эту окрестность входят все точки yn, начиная с max(N1,N2).

Теорема 14. В любой окрестности точки x есть числа, больше x, и числа, меньшие x.
Пруф. По определению интервала, существуют два такие числа a и b, что a < x < b. Дальше пользуемся плотностью.

Теорема 15. Если x - верхняя грань множества M, и если в некоторой окрестности U точки x нет точек из M, то любая точка из U является верхней гранью для M. Аналогично для нижней грани.
Пруф. В U есть число y, меньшее x. Если существует точка m из M такая, что y < m < x, то по теореме 12 эта точка m является элементом рассматриваемой окрестности U - но это противоречит условию. Значит, для любой точки m из M верно, что m<y. Аналогично для нижней грани.

Теорема 16. Любая окрестность супремума множества M содержит хотя бы одну точку из M.
Пруф. Пусть окрестность sup M не содержит точек M. По теореме 14 она содержит точку y, которая меньше sup M. По теореме 15 эта точка является верхней гранью M. Однако супремум - наименьшая из верхних граней.

Теорема 17 (Вейерштрасса о монотонности). Монотонно возрастающая ограниченная сверху последовательность сходится.
Пруф. Множество значений последовательности по условию ограничено. По аксиоме непрерывности оно имеет супремум, обозначим его x. Пусть U - произвольная окрестность точки x. По теореме 16, существует точка последовательности, лежащая в U, - то есть существует натуральное число N такое, что xN является элементом U. Тогда для любого n>N верно, что xN < xn < x. Воспользуемся теоремой о милиционерах.

Следствие. Монотонно убывающая ограниченная снизу последовательность сходится.
Пруф. Аналогично.

Теорема 18 (Коши-Кантора об отрезках). Для любой системы стягивающихся отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.
Пруф. Пусть [a1;b1], [a2;b2], [a3;b3], ... - последовательность стягивающихся отрезков.
Рассмотрим последовательность a1, a2, a3, ... . Она монотонно возрастает и ограничена сверху числом b1 (так как отрезки вложенные). По теореме 17 существует предел этой последовательности.
Рассмотрим последовательность b1, b2, b3, ... . Она монотонно убывает и ограничена снизу числом a1 (опять-таки, потому что отрезки вложенные). По следствию теоремы 17 существует предел этой последовательности.
По условию lim (bn-an) = 0.
По теореме 10 имеем lim bn - lim an = lim (bn-an).
Значит, lim bn = lim an.
Обозначим этот предел буквой c.
По следствию из теоремы 11 для любого n имеем: an≤с и c≤bn.
Значит, c принадлежит каждому из вложенных отрезков.
Если бы существовало число d, не равное c и принадлежащее всем отрезкам, то длина отрезков не могла бы стать меньше |d-c|, что противоречит тому, что они стягивающиеся.

Следствие. Просто зафиксируем то, что мы уже сказали.
Последовательность левых концов стягивающейся системы отрезков сходится к общей точке.
Последовательность правых концов стягивающейся системы отрезков сходится к общей точке.

Теорема 19. Если последовательность сходится, то любая её подпоследовательность сходится к тому же пределу.
Пруф. Если интервал содержит почти все точки последовательности, то он содержит почти все точки любой подпоследовательности, очевидно.

Теорема 20 (Больцано-Вейерштрасс). Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Пруф. Пусть последовательность x1, x2, x3, ... ограничена.
По условию, существует отрезок [a;b] такой, что для всех n верно a ≤ xn ≤ b. Обозначим его символом M0.
Для каждого n символом Mn обозначим ту из половин отрезка M(n-1), в которой лежит бесконечно много членов последовательности. Получим стягивающуюся систему отрезков. По следствию теоремы Коши-Кантора последовательности левых и правых концов отрезков этой системы сходятся к одному и тому же пределу c.
Любое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент. Это позволит построить подпоследовательность: из всех членов последовательности, входящих в Mn, выберем член с наименьшим номером и обозначим его как yn. Значит, an≤yn≤bn для любого n. По теореме о трёх милиционерах последовательность yn сходится, причём к пределу c.

Определение. Последовательность x1, x2, x3, ... называется фундаментальной, если для всякого ε>0 существует такой номер N, что для любого m>N и любого n>N верно, что |xm-xn|<ε.

Теорема 21 (критерий Коши). Чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Пруф. Необходимость.
Пусть x1, x2, x3, ... сходится к x.
Пусть ε - некоторое положительное число.
Существует такой номер N, что для любого n>N верно |xn - x| < ε/2.
Но тогда для любых m,n>N верно, что |xn - xm| = |xn - x + x - xm| ≤ |xn - x| + |xm - x| < ε/2 + ε/2 = ε.
Достаточность. Пусть ε - произвольное положительное число.
Существует такой номер N, что для любого m>N и любого n>N верно, что |xm-xn|<ε.
Зафиксируем m > N. Для любого n>N верно, что -ε + xn < xm < ε + xn.
Положим a = min(x1, x2, ... , xN, xm-ε), b = max(x1, x2, ... , xN, xm+ε).
Тогда для любого n верно a ≤ xn ≤ b.
Значит, последовательность xn ограничена.
По лемме Больцано-Вейерштрасса, из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность yn.
Обозначим lim yn буквой c.
Существует такое число N1, что для любого n>N1 верно |yn - c| < ε/2.
Существует такое число N2, что для любых m,n>N2 верно |xm - xn| < ε/2 - по условию.
Положим N3 = max(N1,N2). Пусть z - какая-нибудь точка xn с номером большим N3.
Тогда для любого n>N3 имеем:
|xn-c| = |xn-z + z-c| ≤ |xn-z| + |z-c| < ε/2 + ε/2 = ε.
Это означает, что xn сходится, причём к тому же пределу, что и yn.

Ещё порция определений.

Число y называется пределом функции f в точке x0, если частью любой окрестности y является образ хотя бы одной выколотой окрестности x0. Обозначается lim f = y при x→x0.

На эпсилон-дельта языке это звучит так.
Предел функции по Коши: число y называется пределом функции f в точке x0, если для любого ε > 0 существует такое δ>0, что для всех x таких, что 0<|x-x0|<δ верно |f(x) - y|<ε.

Предел функции по Гейне: число y называется пределом функции f в точке x0, если для любой последовательности x1, x2, x3, ... , сходящейся к x0, соответствующая последовательность f(x1), f(x2), f(x3), ... сходится к y.

Кроме того, бывают пределы слева и справа.
Предел справа: lim f = y при x→x0-0, если для любого ε > 0 существует такое δ>0, что для всех x таких, что 0< x-x0 <δ верно |f(x) - y|<ε.
Предел слева: lim f = y при x→x0+0, если для любого ε > 0 существует такое δ>0, что для всех x таких, что 0< x0-x <δ верно |f(x) - y|<ε.
Из свойств модуля ясно, что предел является пределом слева и пределом справа.

Теорема 22. Число y является пределом функции f в точке x в смысле Коши тогда и только тогда, когда оно является пределом в смысле Гейне.
Пруф.
Пусть y - предел f в x0 по Коши.
Пусть ε - произвольное положительное число.
Существует такое δ>0, что для всех x таких, что 0<|x-x0|<δ верно |f(x) - y|<ε.
Пусть x1, x2, x3, ... сходится к x0.
Существует такой номер N, что для всех n>N верно, что |xn - x0|<δ.
Тогда для всех n>N верно, что |f(x) - y|<ε.
Таким образом, y - предел f в x0 по Гейне. Теперь докажем в обратную сторону.
Пусть y - предел f в x0 по Гейне.
Предположим, что y не является пределом f в x0 по Коши.
Тогда существует положительное число ε такое, что для любого δ>0 существует хотя бы одно такое x,
что 0<|x - x0|<δ и |f(x) - y|≥ε. Множество таких x обозначим как x(δ).
Рассмотрим последовательность множеств M1=x(0.1), M2=x(0.01), ... , Mn = x(10^-n), ...
Воспользуемся аксиомой выбора и получим последовательность y1, y2, y3, ...
Эта последовательность сходится к x0, так как в каждом Mn лежат почти все её члены.
Но число y не является пределом последовательности f(y1), f(y2), f(y3), ...
Это противоречит тому, что y - предел f по Гейне.
Значит, предположение ложно и y является пределом f в x0 по Коши.

Определение предела функции по Гейне моментально переносит на функции некоторые результаты, установленные для последовательностей. В случае функций R→R определения Гейне и Коши эквивалентны по теореме 22, чем будем невозбранно пользоваться.

Теорема 23. Постоянная функция f(x)=c имеет пределом число c в любой точке.
Пруф. Постоянная последовательность сходится. Используем определение Гейне.

Теорема 24. Если функции f и g имеют предел в точке x0, то сумма, разность, произведение и частное (когда оно осмысленно) этих функций имеет предел в точке x0, равный соответственно сумме, разности, произведению или частному.
Пруф. Согласно Гейне, докажем, например, для суммы.
Пусть lim f = a при x→x0, lim f = b при x→x0.
Пусть последовательность x1, x2, x3, ... сходится к x0.
Последовательность f(x1), f(x2), f(x3), ... сходится к a.
Последовательность g(x1), g(x2), g(x3), ... сходится к b.
Последовательность f(x1)+g(x1), f(x2)+g(x2), ... сходится к a+b.

Теорема 25. Если f имеет предел в точке x0, то она ограничена в некоторой окрестности точки x0.
Пруф. Пусть lim f = y при x→x0.
Пусть ε - произвольное положительное число, например, ε = 1. Рассмотрим ε-окрестность точки y.
Согласно Коши, существует такое положительное число δ, что для любого x из δ-окрестности числа x0 верно, что число f(x) лежит в ε-окрестности точки y.
Это означает, что в δ-окрестности числа x0 значения f сверху ограничены числом y+ε, снизу числом y-ε.

Теорема 26. Если в некоторой окрестности U точки x0 для некоторого числа b верно, что f(x) ≥ b, то lim f(x) ≥ b при x→x0.
Пруф. Согласно Гейне, для любой последовательности x1, x2, x3, ... последовательность f-образов сходится к некоторому пределу y. По условию, любой член последовательности f(x1), f(x2), f(x3), ... больше или равен b. По теореме 11, число y больше или равно b.

Теорема 27 (Вейерштрасс о монотонности). Если f монотонно возрастает и ограничена сверху на множестве M таких точек x, что x<a, то существует предел lim f(x) при x→a-0.
Пруф. Рассмотрим произвольную последовательность x1, x2, x3, ... точек M, сходящуюся к a.
Последовательность f(x1), f(x2), f(x3), ... монотонно возрастает и ограничена.
По теореме 17 (Вейерштрасс для последовательностей), она сходится.
Значит, для любой последовательности точек M, сходящейся к a, последовательность f-образов сходится к некоторому числу. Осталось доказать, что любые две последовательности f-образов сходятся к одному и тому же числу.
Допустим, что есть две последовательности p1, p2, p3, ... и q1, q2, q3, ... , сходящиеся к a.
Последовательность p1, q1, p2, q2, p3, q3, ... сходится к a по следствию из теоремы 1.
Значит, по вышесказанному последовательность f(p1), f(q1), f(p2), f(q2), ... сходится к некоторому пределу y.
По теореме 19, последовательности f(p1), f(p2), ... и f(q1), f(q2), ... сходятся к y.
Значит, последовательности f-образов любых двух последовательностей, сходящихся к a, сходятся к одному и тому же пределу.

Следствие. Аналогичные теоремы можно сформулировать для монотонно убывающей функции, а также для пределов слева.
Пруф. Доказательство повторяется дословно.

Теорема 28 (критерий Коши для функций). Для существования предела f в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε существовала такая проколотая окрестность U числа x0, что для любых x1 и x2 из U выполнялось неравенство |f(x1)-f(x2)|<ε.

Пруф. Необходимость докажем по Коши, а достаточность по Гейне.
Необходимость. Пусть lim f = y при x→x0.
Пусть ε - произвольное вещественное число.
Существует проколотая окрестность U числа x0, f-образ которой содержится в (ε/2)-окрестности точки y.
Пусть x1 и x2 - две точки из U. Тогда верно, что |f(x1)-f(x2)| = |f(x1)-y+y-f(x2)| ≤ |f(x1)-y| + |f(x2)-y| < ε/2 + ε/2 = ε.

Достаточность. Пусть ε - произвольное вещественное число.
По условию теоремы, существует такая проколотая окрестность U числа x0, что для любых x1 и x2 из U выполняется неравенство |f(x1)-f(x2)|<ε.
Рассмотрим последовательность p1, p2, p3, ... , которая сходится к x0, причём члены последовательности не равны x0. В любой проколотой окрестности x0 лежат почти все точки этой последовательности.
Значит, в U лежат все точки этой последовательности, начиная с члена номер N.
Рассмотрим последовательность f-образов: f(p1), f(p2), f(p3), ...
Согласно вышесказанному, расстояние между любыми двумя её членами, начиная с N-го, меньше ε.
То есть она фундаментальна.
Значит, она сходится по критерию Коши для последовательностей.
Значит, для любой последовательности точек U, сходящейся к x0, последовательность f-образов сходится к некоторому числу. Осталось доказать, что любые две последовательности f-образов сходятся к одному и тому же числу.
Допустим, что есть две последовательности p1, p2, p3, ... и q1, q2, q3, ... , сходящиеся к x0.
Последовательность p1, q1, p2, q2, p3, q3, ... сходится к x0 по следствию из теоремы 1.
Значит, учитывая вышесказанное, последовательность f(p1), f(q1), f(p2), f(q2), ... сходится к некоторому пределу y.
По теореме 18, последовательности f(p1), f(p2), ... и f(q1), f(q2), ... сходятся к y.
Значит, последовательности f-образов любых двух последовательностей, сходящихся к x0, сходятся к одному и тому же пределу.
Согласно Гейне, это означает, что lim f = y при x→x0.

Теорема 29 (свойство Гейне-Бореля). Пусть A - отрезок, S - семейство интервалов и A - подмножество ∪S. Тогда существует такое конечное S'⊂S, что A - подмножество ∪S'.
Пруф. Теорема утверждает, что из любого покрытия отрезка интервалами можно выбрать конечное подпокрытие. Предположим, что теорема неверна: пусть A - отрезок, S - бесконечное множество интервалов, A является подмножеством объединения всех интервалов из S, но A не покрывается никаким конечным семейством интервалов из S. Применим к A метод деления пополам. Положим M0 = A, Mn - та из половин отрезка M(n-1), которая не покрывается никаким конечным семейством интервалов из S (на каждом шаге хотя бы одна из половин такова). Отрезки Mn образуют стягивающуюся систему. По теореме Коши-Кантора, существует точка c, принадлежащая всем Mn. Точка c покрывается хотя бы одним интервалом из S, обозначим его (a;b). Так как отрезки стягивающиеся, длины почти всех отрезков становятся меньше числа b-a, начиная с номера N. Но это значит, что все отрезки, начиная с N-го, покрываются всего лишь одним интервалом из N, - хотя по построению ни один из них никаким конечным множеством интервалов из S не покрывается. Значит, предположение было ложным и теорема верна.

Теорема 30. Если последовательность точек отрезка сходится, то её предел - точка отрезка.
Пруф. Предположим, что предел не является точкой отрезка. Тогда некоторая его окрестность не пересекается с отрезком. Но в ней должно лежать бесконечно много точек отрезка, что нелепо.

Теорема 29 утверждает, что отрезок "компактен".
Теорема 30 - что отрезок "секвенциально компактен".

Определение. Функция f называется непрерывной в точке x, если она определена в точке x и частью любой окрестности точки f(x) является f-образ некоторой окрестности точки x. В этом определении, в отличие от определения предела, речь идёт о невыколотой окрестности.

На эпсилон-дельта языке: функция f непрерывна в точке x0, если для любого ε > 0 существует такое δ>0, что для всех x таких, что |x-x0|<δ, верно |f(x) - f(x0)|<ε.

Функция непрерывна на множестве M, если она непрерывна во всех точках из M. Ясно, что если функция непрерывна на M, то она определена во всех точках M.

Теорема 31. Если функция f непрерывна в точке x0, то она имеет предел в этой точке и этот предел равен f(x0).
Пруф. Чтобы доказать теорему, достаточно заметить, что выколотая окрестность является подмножеством окрестности.

Теорема 32. Пусть функция f непрерывна в точке x0. Для любой последовательности, сходящейся к x0, соответствующая последовательность f-образов сходится к f(x0). Проще говоря, lim f(xn) = f(lim xn).
Пруф. Учитываем теорему 31, используем определение предела по Гейне.

Теорема 33. Если функция f непрерывна в точке x0, функция g непрерывна в точке f(x0), то функция g∘f непрерывна в x0. Проще говоря, композиция непрерывных функций непрерывна.
Пруф. Частью любой окрестности точки g(f(x0)) является g-образ некоторой окрестности U точки f(x0). Частью любой окрестности точки f(x0) является f-образ некоторой окрестности V точки x0. Тогда g∘f-образ множества V является частью U.

Теорема 34. Если f и g непрерывны в точке x0, то f+g, f×g и f/g непрерывны в x0 (частное - при условии, что в некоторой окрестности x0 функция g не обращается в нуль).
Пруф. Если функции непрерывны, то они имеют предел. Используем теорему 24.

Теорема 35 (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a;b] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков. Тогда существует точка c из этого отрезка, в которой f обращается в нуль, т.е. f(c) = 0.
Пруф. Пусть f(a) < 0, f(b) > 0.
Будем делить отрезок [a;b] пополам. M0 = [a;b], Mn - та из половин отрезка M(n-1), на левом конце которой функция f отрицательна, на правом положительна (если на очередном шаге на конце какого-то отрезка f равна нулю, то точка c найдена и доказательство окончено). Mn - стягивающаяся система отрезков. По свойству Коши-Кантора, у этих отрезков есть единственная общая точка c. Рассмотрим последовательность левых концов отрезков и последовательность правых концов. По следствию из теоремы Коши-Кантора, они сходятся к c, тогда по теореме 32 последовательность f-образов левых концов и последовательность f-образов правых концов сходятся к f(c). Так как каждый левый конец отрицателен, по теореме 11 заключаем, что f(c)≤0. Так как каждый правый конец положителен, заключаем, что f(c)≥0. Это возможно только тогда, когда f(c) = 0.
Аналогично рассуждаем, когда f(a) > 0, f(b) < 0.

Теорема 36 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a;b]. Для любой точки y такой, что f(a)<y<f(b) существует точка x из отрезка [a;b] такая, что f(x) = y.
Пруф. Рассмотрим постоянную функцию h(x) = y. Ясно, что она непрерывна. Рассмотрим функцию g, определённую так: g(x) = f(x)-y. По теореме 34 она непрерывна как разность непрерывных. На концах отрезка [a;b] функция g принимает значения разных знаков. По первой теореме Больцано-Коши, в некоторой точке с она обращается в нуль. Значит, g(с) = f(с)-y=0. Но это означает, что f(c)=y.

Теорема 37 (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда она ограничена на этом отрезке.
Пруф. Предположим, что функция f не ограничена сверху. Тогда для любого натурального числа n существует такая точка xn из [a;b], что f(xn)>n. То есть f(x1)>1, f(x2)>2, f(x3)>3 и т.д. Последовательность xn - ограниченная, так как все xn принадлежат отрезку. По теореме Больцано-Вейерштрасса, из последовательности xn можно выбрать сходящуюся подпоследовательность y1, y2, y3, ... Пусть y - предел yn. По теореме 30, y тоже является точкой отрезка. Значит, f непрерывна в y. Так как yn сходится к y, согласно теореме 32 утверждаем, что последовательность f(y1), f(y2), f(y3), ... сходится, причём к f(y). По теореме 8, последовательность f(yn) является ограниченной - то есть существует такое положительное число M, что все члены последовательности меньше M. Однако это невозможно. В самом деле, по аксиоме Архимеда существует натуральное число N, большее M. По построению для любого n>N верно, что f(xn) > n > N>M, значит, лишь конечное число членов f(xn) меньше M. Значит, почти все члены f(yn) больше M. Противоречие означает ложность предположения.
Аналогично доказывается ограниченность снизу.

Теорема 38 (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a;b]. Пусть M - f-образ отрезка [a;b]. Тогда существуют такие точки p и q из отрезка [a;b], что f(p) = sup M, f(q) = inf M. Проще говоря, супремум и инфимум непрерывной функции достигаются на этом отрезке.
Пруф. Существование супремума и инфимума M следует из первой теоремы Вейерштрасса и аксиомы непрерывности.
Определим последовательность левых ε-окрестностей sup M:
U1 = (sup M - 0.1; sup M), U2 = (sup M - 0.01; sup M), ... , Un = (sup M - 10^-n; sup M), ...
По теореме 16, в любой Un содержится образ хотя бы одной точки из [a;b].
Пусть Vn - множество всех точек из [a;b], образы которых лежат в Un.
Пользуясь аксиомой выбора, выберем из Vn последовательность x1, x2, x3, ...
Пользуясь теоремой Больцано-Вейерштрасса, выберем из xn сходящуюся подпоследовательность yn.
Пусть y = lim yn. По теореме 30, y - элемент отрезка [a;b].
По теореме 32, последовательность f(yn) сходится к числу f(y).
Так как каждый член f(yn) < sup M, имеем, что y ≤ sup M.
Согласно примеру 3, последовательность {sup M - 10^-n} сходится к sup M.
Так как каждый член f(yn) > sup M - 10^-n, по теореме о трёх милиционерах lim f(yn) равен sup M.
Аналочно для инфимума.

Определение. Функция f называется равномерно непрерывной на множестве M, если для любого положительного ε существует такое положительное δ, что для любых x и x' из множества M таких, что |x-x'|<δ, верно, что |f(x)-f(x')|<ε/2.

Теорема 39 (Кантор-Гейне). Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на нём.
Пруф. Рассмотрим отрезок [a;b], на котором непрерывна функция f.
Пусть ε - произвольное положительное число.
Для любой точки x из [a;b] существует такое положительное δx, что для любых двух точек отрезка x и x' из |x-x'|<δx вытекает |f(x)-f(x')|<ε.
Каждой точке x из [a;b] сопоставим интервал (x-(δx)/2; x+(δx)/2) - радиусом в половину соответствующей дельты.
Эти интервалы образуют покрытие [a;b]. По теореме Гейне-Бореля, из них можно выбрать конечное подпокрытие - интервалы U1, U2, ... , Un c радиусами r1, r2, ... , rn. Пусть r - наименьший из этих радиусов.
Пусть x и x' - такие точки из отрезка, что |x-x'|<r. Точка x должна принадлежать какому-то Uk - интервалу радиуса rk с центром в некоторой точке y. Тогда |y-x'| = |y-x + x-x'| ≤ |y-x| + |x-x'| < rk + r < 2rk = δy.
По определению символа δy, отсюда следует, что |f(x) - f(x')| = |f(x) - f(y) + f(y) - f(x')| ≤ |f(x) - f(y)| + |f(y) - f(x')| < ε/2 + ε/2 = ε.
Итак, требуемым для доказательства теоремы δ будет r.

Определение. Функция f называется разрывной в точке x, если она не является непрерывной в точке x.
Пусть f разрывна в x.
f имеет в x разрыв первого рода, если правый и левый пределы функции f в точке x существуют, но не равны друг другу.
f имеет в x разрыв второго рода, если хотя бы один из этих пределов не существует.

Теорема 40. Пусть f определена и монотонна на отрезке [a;b]. Тогда f не может иметь на этом отрезке разрывы второго рода.
Пруф. Функция f ограничена сверху числом f(b), снизу - числом f(a). Используем теорему Вейерштрасса о монотонности.

Теорема 41. Для того, чтобы монотонная функция f, определённая на [a;b], была непрерывной на [a;b], необходимо и достаточно, чтобы её значения заполняли отрезок [f(a); f(b)] сплошь - т.е. для любого y из [f(a); f(b)] существовал x из [a;b] такой, что f(x)=y.
Пруф. Необходимость. Пусть функция f монотонна на [a;b] и заполняет [f(a);f(b)] сплошь; для определённости монотонно возрастает. Предположим, что f не непрерывна. Тогда она имеет разрыв в хотя бы одной точке x0, причём по теореме 40 - первого рода. Рассмотрим интервал (lim f при x→x0-0; lim f при x→x0+0). В силу монотонности, f не заполняет этот интервал, что противоречит тому, что она заполняет [f(a);f(b)] сплошь.
Достаточность. Пусть монотонная функция f непрерывна на [a;b]. Тогда она заполняет отрезок [f(a); f(b)] сплошь: f(a) и f(b) достигаются по второй теореме Вейерштрасса, промежуточные значения достигаются по второй теореме Больцано-Коши.

Теорема 42. Пусть функция f определена, непрерывна и строго монотонно возрастает на отрезке [a;b]. Тогда на отрезке [f(a);f(b)] определена функция f', которая непрерывна, строго монотонно возрастает и является обратной к f.
Пруф. По теореме 41, f заполняет [f(a);f(b)] сплошь, т.е. для любого y из [f(a); f(b)] существует x из [a;b] такой, что f(x)=y. В силу строгой монотонности, такой x единствен. Положим f'(y) = x.
Пусть y1<y2. Это значит, что y1=f(x1), y2=f(x2) и x1 < x2. То есть f'(y1)<f'(y2), что и означает монотонность f'.
Так как значения f' заполняют [a;b] сплошь, по теореме 41 функция f' непрерывна.

>>932387
Определение. Производной от функции f, непрерывной в точке a, называется предел функции (f(x+a)-f(a))/x при x→0.
Он обозначается f'(a).

Теорема 43. (cf)'(a) = c(f'(a)), где c - число, f имеет производную в a.
Пруф. lim (сf(x+a)-сf(a))/x = с lim (f(x+a)-f(a))/x при x→0.

Теорема 44. (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a), где f и g имеют производную в a.
Пруф. lim((f+g)(x+a) - (f+g)(a))/x = lim(f(x+a) - f(a))/x + lim(g(x+a) - g(a))/x = при x→0.

Теорема 45. (fg)'(a) = f'(a)×g(a) + f(a)×g'(a).
Пруф. Доказывается аналогично, простым вычислением. В числителе прибавим и вычтем f(a+x)g(a).

Теорема 46. (f/g)'(a) = (f'(a)×g(a) - f(a)×g'(a)) / (g(a))^2.
Пруф. В числителе прибавим и вычтем f(x)g(x).

Теорема 47. Пусть f имеет производную в a, g имеет производную в f(a). Тогда g∘f имеет производную в a и она равна g'(f(x))×f'(x).
Пруф. Положим Δx = x, Δf(x) = f(a+Δx) - f(a), Δg(x) = g(f(a) + x) - g(f(a))
Тогда f(a+Δx) = Δf(x) + f(a). При Δx→0 верно, что Δf→0.
Значит, (g∘f)'(a) =
= lim (g(f(a+Δx)) - g(f(a)) )/Δx при Δx→0
= lim (g( Δf(x) + f(a) ) - g(f(a)) )/Δx при Δx→0
= lim (g(f + Δf) - g(f))/Δx при Δx→0
= lim ((g(f + Δf) - g(f))/Δf × Δf/Δx) при Δx→0
= lim (g(f + Δf) - g(f))/Δf при Δf→0 × lim Δf/Δx при Δx→0
= g'(f(x)) × f'(x)

Теорема 48. Если g - обратная для f, то g'(x) = 1/f'(g(x)).
Пруф. Положим y = g(x). Если приращение x есть Δx, то приращение y есть Δy = g(x+Δx) - g(x).
Значит g'(x) =
= lim (g(x+Δx) - g(x))/Δx при Δx→0
= lim Δy/Δx при Δx→0
= lim 1/(Δx/Δy) при Δx→0
= 1/(limΔx/Δy при Δx→0)
= 1/f'(y) = 1/f'(g(x)).

Функция f имеет в точке c экстремум, если в некоторой окрестности c для всех x верно либо f(c)<f(x), либо f(c)>f(x).
Это называется соответственно "имеет минимум" и "имеет максимум".

Теорема 49 (Ферма). Пусть функция f непрерывна на [a;b] и в точке c такой, что a<c<b, имеет экстремум. Тогда если f имеет производную в c, то f'(c)=0.
Пруф. Пусть f имеет в c максимум. Пусть f имеет производную в c. Тогда, учитывая теорему 26, предел f в a слева больше или равен нулю, предел f в a справа меньше или равен нулю. Значит, предел f в a равен нулю.

Теорема 50 (Ролль). Пусть f имеет производную в каждой точке отрезка [a;b] и f(a)=f(b). Тогда существует точка c из отрезка такая, что f'(c) = 0.
Пруф. По первой теореме Вейерштрасса, f ограничена на [a;b], по второй теореме Вейерштрасса, f достигает минимума и максимума в точках p и q. Если f(p)=f(q), то функция постоянна на отрезке, а производная постоянной функции, очевидно, равна нулю во всех точках. Если f(p)<f(q), то хотя бы одно из чисел p и q является внутренней точкой отрезка; обозначим это число r. В r, таким образом, экстремум, и, по лемме Ферма, f'(r) = 0.

Теорема 51 (Коши). Пусть f и g имеют производные во всех точках отрезка [a;b], причём производная g ни в какой точке не равна нулю. Тогда существует точка c из [a;b] такая, что (f(b)-f(a)) / (g(b)-g(a)) = f'(c) / g'(c).
Пруф. Числа g(a) и g(b) не равны друг другу, иначе бы по теореме Ролля существовала точка, в которой производная g равна нулю, а это противоречит условию. Обозначим число ((f(b)-f(a)) / (g(b)-g(a))) буквой K. Рассмотрим специальную функцию F(x) = f(x) - f(a) - K(g(x) - g(a)). Для неё выполнены все условия теоремы Ролля. Тогда существует c из [a;b] такая, что F'(c) = f'(c) - Kg'(c) = 0. Но тогда в точке c выполняется f'(c)/g'(c) = K.

Теорема 52 (Лагранж). Пусть f имеет производные во всех точках отрезка [a;b]. Тогда существует точка c из [a;b] такая, что (f(b)-f(a)) / (b-a) = f'(c).
Пруф. Это частный случай теоремы Коши. Достаточно положить g(x) = x.

Снова определения.
f называется бесконечно-малой в точке x0, если lim f(x) = 0 при x→x0.

f называется o-малой для g в точке x0, если lim f(x)/g(x) = 0 при x→x0.
Обозначается f = o(g).

f называется бесконечно-малой k-го порядка в x0, если lim f(x)/(x-x0)^k = c при x→x0, c - ненулевое число.
Обозначается f(x) = c(x-x0)^k + o((x-x0)^k).
c(x-x0)^k называется главным членом.

Функция f называется дифференцируемой в a, если её приращение можно представить в виде Δf(a) = AΔx + o(Δx), где A - некоторое число. Главный член, т.е. AΔx, называется дифференциалом, обозначается df(x). A называется коэффициентом дифференциала.

Теорема 53. Чтобы f была дифференцируемой в a, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке f имела производную. При этом коэффициент дифференциала равен производной.
Пруф. Необходимость.
Пусть f дифференцируема в a. Тогда Δf(a) = AΔx + o(Δx). Отсюда Δf(a)/Δx = A + o(Δx)/Δx.
Значит, lim Δf(a)/Δx, Δx→0 = A + lim o(Δx)/Δx, Δx→0 = A.
То есть f'(a) = A.

Достаточность. Пусть f имеет производную в a. Значит, f'(a) = Δf/Δx + α, где α - бесконечно-малая функция.
То есть Δf = f'(a)Δx - αΔx. Но -αΔx = o(Δx), что означает Δf = f'(a)Δx + o(Δx).

Следствие 1. Дифференциал независимой переменной x равен Δx.
Следствие 2. df(x) = f'(x)dx.

Теорема 54. Арифметические свойства дифференциала таковы.
dcf = cdf; d(f+g) = df + dg; d(fg) = gdf + fdg; d(f/g) = (gdf - fdg)/g^2; d(g∘f) = g'(f)df.
Пруф. Из формулы df = f'dx и свойств производной.

Теорема 55. Пусть функция f задана неявно: x = p(t), y = q(t), где a≤t≤b. Тогда y'(x) есть p'(t)/q'(t).
Пруф. dx = p'(t)dt. dy = q'(t)dt. y'(x) = dy/dx = p'(t)dt/q'(t)dt = p'(t)/q'(t).

Определение. Вторая производная f - это производная f'. Третья производная f - это производная второй производной. f'(nраз)' - это производная от f'(n-1раз)'.

Теорема 56 (формула Тейлора для многочлена). Пусть f - многочлен общего вида от x степени n, то есть f(x) = d + c(x-x0) + b(x-x0)^2 + ... + a(x-x0)^n. Тогда f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + (f''(x0)/2!)(x-x0)^2 + ... + (f'(nраз)'(x0)/n!)(x-x0)^n.
Пруф. Сосчитаем первую производную, вторую производную, ... , n-ю производную от f. Положим x=x0.

Определение. Пусть f - функция, у которой в точке x0 существует первая производная, вторая производная, ... , n-я производная. Сумма f(x0) + f'(x0)(x-x0) + (f''(x0)/2!)(x-x0)^2 + ... + (f'(nраз)'(x0)/n!)(x-x0)^n называется рядом Тейлора этой функции в точке x0. Разность f и её ряда Тейлора называется остаточным членом. Ясно, что остаточный член имеет n производных в точке x0, и они равны нулю.

Теорема 57 (остаточный член в форме Пеано). Если функция r такова, что r(x0) = r'(x0) = ... = r'(nраз)'(x0) = 0, то в некоторой окрестности точки x0 верно, что r(x) = α(x)(x-x0)^n, где α - бесконечно-малая.
Пруф. Индукцией по n. Пусть n=1.
Тогда r'(x0) = lim (r(x)-r(x0))/(x-x0) при x→x0. Но r(x0) = r'(x0) = 0.
Значит, при x→x0 lim r(x)/(x-x0) = 0. Тогда α(x) = r(x)/(x-x0) - бесконечно-малая, и r(x) = α(x)(x-x0).
Индуктивный переход многословен, он доказывается с использованием теоремы Лагранжа.

Следствие. Пусть f - функция, у которой в точке x0 существует первая производная, вторая производная, ... , n-я производная. Тогда в некоторой окрестности x0 верно, что f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + (f''(x0)/2!)(x-x0)^2 + ... + (f'(nраз)'(x0)/n!)(x-x0)^n + o((x-x0)^n).

Теорема 58 (правило Лопиталя). Пусть f и g имеют производную в каждой точке (a;b], причём производная g нигде не равна нулю. Пусть lim f(x) = lim g(x) = 0 при x→a. Пусть lim f'(x)/g'(x) = c при x→a, c - ненулевое число. Тогда lim f(x)/g(x) при x→a существует и равен c.
Пруф. Переопределим функции f и g, положив f(a)=g(a)=0. Для любого x из (a;b], по теореме Коши, f(x)/g(x) = f'(c)/g'(c), где a<c<x. Поскольку по условию ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x 0<|x-a|<δ ⇒ |f'(x)/g'(x) - c|<ε, имеем, что ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)/g(x) - c|<ε.

Теорема 59. Пусть f имеет производную во всех точках отрезка [a;b]. Чтобы f была постоянной, необходимо и достаточно, чтобы производная во всех точках была равна нулю.
Пруф. Необходимость очевидна.
Достаточность следует из теоремы Лагранжа.
В самом деле, пусть p и q - две точки [a;b]. Тогда f(p)-f(q) = f'(c)(p-q)=0, откуда, с учётом f'(c)=0, следует f(p)=f(q).

Теорема 60. Пусть f имеет производную во всех точках отрезка [a;b]. Чтобы f была монотонно возрастающей, необходимо и достаточно, чтобы производная во всех точках отрезка была неотрицательной.
Пруф. Необходимость очевидна (достаточно присмотреться к определению производной).
Достаточность следует из теоремы Лагранжа. Если p<q, то f(p)-f(q) = f'(c)(p-q) ≥ 0, откуда f(p) ≥ f(q).

Следствие. Чтобы f была монотонно убывающей, необходимо и достаточно, чтобы производная во всех точках отрезка была неположительной.

Теорема 61. Пусть f во всех точках некоторой окрестности точки a имеет производную, причём в a производная равна нулю. Тогда если в левой полуокрестности точки a производная положительна, а в правой полуокрестности производная отрицательна, то в a - локальный максимум.
Пруф. По теореме 60, функция f возрастает в левой полуокрестности a и убывает в правой полуокрестности. Значит, в a максимум.

Следствие. Если в левой полуокрестности точки a производная отрицательна, а в правой полуокрестности производная положительна, то в a - локальный минимум.
Пруф. Очевидно.

Теорема 61. Пусть f во всех точках некоторой окрестности точки a имеет производную, причём в a производная равна нулю. Пусть в точке a функция f имеет производные всех порядков до n-го, причём лишь производная n-го порядка отлична от нуля. Тогда если n - чётное число, то в a локальный экстремум; если n-я производная отрицательна, то локальный максимум, если положительна, то локальный минимум. Если n - нечётное число, то в a нет экстремума.
Пруф. Рассмотрим формулу Тейлора для функции f в a.
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f'nраз'(a)(x-a)^n/n! + o((x-a)^n).
С учётом условия теоремы, f(x) = f(a) + f'nраз'(a)(x-a)^n/n! + o((x-a)^n).
Ясно, что если n чётное, то график f есть график обобщённой квадратичной функции и напоминает параболу с вершиной в f(a). Если производная больше нуля, то ветви параболы направлены вверх и в a минимум, если отрицательна, то ветви параболы направлены вниз и в a максимум.
Если n нечётное, то график f есть график обобщённой кубичкской функции и напоминает кубическую параболу, имеющую в a изгиб. Ясно, что экстремума там нет.

Определение. Функция f называется выпуклой на отрезке [a;b], если для любых двух p и q из отрезка [a;b] и для любого числа λ, 0≤λ≤1, верно, что f(λp + (1-λ)q) ≤ λf(p) + (1-λ)f(q).
Функция f называется вогнутой на отрезке [a;b], если для любых двух p и q из отрезка [a;b] и для любого числа λ, 0≤λ≤1, верно, что f(λp + (1-λ)q) ≥ λf(p) + (1-λ)f(q).

Теорема 62. Пусть f имеет производную в каждой точке отрезка [a;b]. Чтобы f была выпуклой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы её производная была монотонно возрастающей функцией.
Пруф. Для удобства я буду пользоваться бесскобочной нотацией, т.е. писать fx вместо f(x). Заметим, опустив выкладки на полстраницы, что условие выпуклости эквивалентно (fx - fp) / (x-p) ≤ (fq - fx)/(q-x) для любого x из (p;q).
Необходимость. Сделав два предельных перехода при x→p и x→q и опустив ещё полстраницы выкладок, получим, что f'p≤f'q. Так как p<q, это означает, что f' возрастает.
Достаточность. Пусть f' монотонно взрастает. По теореме Лагранжа, (fx - fp) / (x-p) = f'(c1) и (fq - fx)/(q-x) = f'(c2), где c1 - точка из (p;x), c2 - точка из (x;q). Так как c1<c2, f'(c1)≤f'(c2), что и означает выпуклость функции.

Следствие 1. Для того, чтобы f была выпуклой на [a;b], необходимо и достаточно, чтобы её вторая производная была неотрицательной на [a;b].
Пруф. По теореме 61.

Следствие 2. Для вогнутой аналогично.

Определение. Точка a называется точкой перегиба, если в одной полуокрестности точки a функция выпукла, а в другой - вогнута.

Теорема 63. Чтобы точка a была точкой перегиба для f, необходимо, чтобы вторая производная f равнялась нулю в точке a.
Пруф. По следствиям из теоремы 62, в одной полуокрестности точки a вторая производная неотрицательна, в другой - неположительна. Это возможно лишь тогда, когда в a вторая производная равна нулю.

Теорема 64. Чтобы точка a была точкой перегиба для f, достаточно, чтобы в некоторой окрестности точки a функция f имела производные всех порядков до n-го и все производные кроме n-й были равны нулю. Если n - нечётное число, то a - точка перегиба.
Пруф. Как в доказательстве теоремы 61, воспользуемся формулой Тейлора. Станет ясно, что график f напоминает кубическую параболу с изгибом в a.

Ряды.

Пусть f - функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел; назовём её общим членом ряда.
Символ f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)+... назовём рядом.
n-й частичной суммой для общего члена f назовём сумму f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n).
Таким образом, задана последовательность, n-м членом которой является n-я частичная сумма.
Суммой ряда называется предел последовательности частичных сумм.
У ряда может не быть суммы: последовательность частичных сумм может быть расходящейся.

Элементарные функции.

Пусть a - положительное число большее единицы. Логарифм числа x по основанию a, обозначающийся как log(a,x), есть функция f, определённая на множестве положительных чисел и обладающая свойствами:
1. f(xy) = f(x) + f(y)
2. f(a) = 1
3. из x<y следует f(x)<f(y).

По теореме о существовании у монотонных возрастающих функций обратных заключаем, что из существования логарифма вытекает существование обратной к нему функции. Эта функция называется экспоненциальной, или показательной, или возведением постоянного числа a в переменную положительную степень x. Обозначается как a^x.

Если a - положительное число, меньшее единицы, то логарифмом по основанию a называется логарифм по основанию 1/a.
Соответственно определяется экспонента.

Число e определяется как сумма ряда 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...
Общий член этого ряда есть 1/n!. Этот ряд, как можно доказать, сходится.
Логарифм числа x по основанию e называется натуральным и обозначается как ln(x).

Пусть a - положительное вещественное число. Функция f(x) = e^(a ln(x)), определённая на множестве положительных вещественных чисел, называется степенной, или возведением переменного числа x в постоянную степень a.

Синусом и косинусом называется соответственно пара функций f и g, определённых на множестве всех вещественных чисел и обладающая свойствами:
1. f^2(x) + g^2(x) = 1
2. f(x+y) = f(x)g(y) + g(x)f(y)
3. g(x+y) = g(x)g(y) - f(x)f(y)
4. 0 < f(x) < x < f(x)/g(x).
Повторю, что f есть синус, g есть косинус.

Эти определения, после некоторых символьных манипуляций, позволяют установить непрерывность элементарных функций и наличие у них производных.

Теорема (без доказательства). Логарифм, синус и косинус существуют.
Следствие. Показательная и степенная функции существуют.

Так. Пока всё.

ОП, давно хотел спросить, а зачем ты это делаешь?

Ты лучший! Мне сильно такого не хватало в первом семестре.

>>932390
Много причин. Оценить объём того, что помню. Сделать себе наглядную стеночку, чтобы было легко вспоминать, как все эти топосы с локалями выглядят на более низком уровне абстракции. Просто ради лулзов, наконец.

>>932392
Учиться лучше по учебникам, если что.

Ещё одна версия Herr Mannelig.
https://www.youtube.com/watch?v=u1held3PDOE

Сегодня я видел картинку, на которой была изображена якобы средневековая Русь. На ней скоморохи плясали с медведями и играли на треугольных балалайках с тремя струнами. Нелепость этой картинки в том, что балалайка была создана лишь в 1883 году конкретным человеком - Андреевым, поэтому средневековые медведи в принципе не могли на ней играть.

Обзывай богов плохими словами
@
Иди пешком через арктику

А потом зрители удивляются, чего это она синяя.

Пустой конструкт - это анимированный конструкт, у которого все органы чувств работают, все конечности функционируют, но сознание которого пусто. Из всех субъектов анимации, имеющих право создавать записи в двигательном ядре анимированного конструкта, записи создаёт только ядро фонового поддержания жизнедеятельности. Если прикоснуться к конечности пустого конструкта раскалённой иглой, то в его рецепторном ядре появится запись о боли, но в его двигательном ядре никаких новых записей не возникнет. Появление записей об истощении хранилищ ресурсов также не приведёт к каким-либо действиям, и без внешнего вмешательства пустой конструкт со временем придёт в негодность. Пустой конструкт - универсальный материал для творения всех более сложных конструктов.

Очень сложно сидеть и учить страницу за страницей. Крайне сложно.

>>935162
А что именно учить?

>>935166
Топологию. Совокупно ~2100 страниц.

>>935168
Писать их должно быть ещё сложнее.

>>935172
Нет, пожалуй. Проще.

Заменил фильтр в кувшине. Запишу, чтобы не забыть.

Когда я читаю книгу, я часто ловлю себя на ощущении, что я не понимаю то, что читаю. Тогда я останавливаю чтение и пытаюсь сформулировать, что именно я не понимаю, причём сформулировать явно и конкретно, одним словосочетанием. Если это удаётся, то мне остаётся лишь ответить на полученный вопрос и продолжить чтение. Однако иногда я понимаю, что я не понимаю, как сформулировать вопрос. Тогда мне приходится повышать уровень рекурсии, а потом, если нужно, ещё на ступеньку повышать, и ещё. Иногда бывает так, что стек переполняется, и я забываю, что именно я хотел понять изначально. Приходится читать заново.

Давайте рассмотрим робота, который умеет повторять одно и то же действие. Это идеальный робот, он может работать вечно. Он никогда не перегреется, у него никогда не сядут батарейки.

Предположим, что робот работает с постоянной скоростью: одно действие в секунду. Тогда за десять секунд робот совершит десять однотипных действий, за тысячу секунд - тысячу действий. За две секунды такой робот совершит ровно два действия.

Предположим теперь, что робот работает с переменной скоростью. Первое действие он совершает за секунду, второе - за половину секунды, третье - за четверть секунды и так далее. Наш робот идеальный, он может как угодно ускоряться, для него нет никаких ограничений. Поэтому за две секунды такой робот совершит бесконечно много действий.

В дальнейшем будем работать только с такими вот ускоряющимися роботами.

1. Пусть наш робот красит дощечку. Изначально дощечка белая. На каждом очередном шаге робот делает дощечку на 1% чернее. Тогда дощечка будет становиться всё чернее, и чернее, и чернее. Когда пройдут две секунды и робот совершит бесконечно много действий, дощечка станет абсолютно черной. Это ясно.

2. Пусть теперь наш робот снова красит дощечку, но по-другому. Изначально дощечка белая. На каждом шаге робот перекрашивает дощечку в черный цвет, если она была белой, и в белый цвет, если она была черной. Какого цвета будет дощечка, когда пройдут две секунды? В этой ситуации определенного ответа не может быть.

Математически эти роботы формализуются с помощью так называемых последовательностей. То, что получается у робота, когда он совершает бесконечно много действий, называется пределом последовательности.

Предположим, что 0 - это чёрный цвет, 1 - белый цвет, а числа между единицей и нулём - все оттенки серого.

Первая ситуация формализуется с помощью последовательности 1, 0.99, 0.9801, 0,970299, ... . Эта последовательность сходится. Её пределом будет число 0.

Вторая ситуация формализуется с помощью последовательности 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...
Эта последовательность будет расходящейся. У неё нет предела. Поэтому об окончательном цвете дощечки ничего нельзя сказать.

Последовательностей бывает довольно много. У каких-то последовательностей пределы есть, у каких-то - нет. О каждой последовательности можно думать как о роботе, который что-то делает. Крайне часто используются идеальные роботы, которые рисуют геометрические фигуры; весь классический матанализ построен на таких роботах. Вот один пример. Пусть есть окружность. Пусть робот умеет вписывать в эту окружность правильные многоугольники. Сначала он впишет треугольник, потом сотрёт его и нарисует квадрат, потом - пятиугольник, и так далее. Причём пускай он не просто вписывает эти многоугольники. Пусть он ещё и вычисляет периметр многоугольника, который нарисовал. На каждом шаге у него получается, таким образом, число. Так вот, то число, которое получится после совершения роботом бесконечного количества действий, называется длиной окружности, это её строгое научное определение. Длина окружности - это предел последовательности периметров вписанных в неё правильных многоугольников.

Вообще-то этих ускоряющихся роботов из-за их исключительных свойств и совершенно пренебрежительного отношения к законам физической реальности следовало бы называть демонами, но у демонов не самая хорошая репутация. Поэтому пускай они будут роботами.

Предельный переход был известен ещё древним грекам, но, конечно, не в современной формулировке. Пределы активно использовал Архимед. По-видимому, даже первому известному учёному нашей цивилизации, Фалесу Милетскому, предельный переход уже был знаком.

>>936434

> следовало бы называть демонами, но у демонов не самая хорошая репутация. Поэтому пускай они будут роботами.

Мне нравится.

>>936561
Ртуть, ей.

>>936434
Мне казалось, длина фигуры не совсем так определяется. Скорее по верхним и нижним пределам Дарбу (если есть такие для длин) или через Жордана.

>>936795
Это историческое определение длины окружности, которое восходит к книге Архимеда "Об измерении круга", написанной 22 века назад. https://en.wikipedia.org/wiki/Measurement_of_a_Circle
Вместо правильных многоугольников можно было бы использовать какие-нибудь другие, но древние греки любили правильность.

В типичных учебниках матана длина произвольной кривой определяется почти так же, кстати. Вот для примера Фихтенгольц семидесятилетней давности.

>>936815
Мдя. Превью такая превью.

Мертвые дети Вселенной.
https://www.youtube.com/watch?v=7Jh2f5pLkoU

>>936923
Ужас из глубин времен.
https://www.youtube.com/watch?v=-D02111Z4k4

поймал некрона
@
накатил на него убунту

>>936923>>936927
Тупые говнари не понимают смысла молотка с его гимнами Императору и молитвенными речёвками Орденов, не понимают и даже не представляют себе искусство и атмосферу других рас, ибо могут только лабать говно на басухе под уёбищную барабанную дробь.
Лучшее, что придумали из музыки к молотку это саундтреки к играм. Оно и не удивительно, чтобы передать его атмосферу нужно обладать недюжинным музыкальным слухом.
https://www.youtube.com/watch?v=Pf9AaTV4-yw
Из инди-поделок самая лучшая, пожалуй, не в плане вокала
https://www.youtube.com/watch?v=4N0D3HBqRqU

>>937537
https://www.youtube.com/watch?v=jGSdphg5Pp8
И вообще martial industrial в этой вселенной очень даже смотрится.

Небольшое замечание.
Пусть A и B - два множества.
Разностью A и B называется множество A\B, состоящее из тех элементов A, которые не являются элементами B.
Симметрической разностью A и B называется множество AΔB, определённое так: AΔB = (A\B)∪(B\A).

Пусть M - множество. Каждому его подмножеству биективно соответствует характеристическая функция M→{0,1}, равная 1 на тех элементах, которые входят в подмножество, и 0 на остальных.

Пусть A и B - подмножества в M. Пусть fA и fB - их характеристические функции.
Поточечно сложим эти функции по модулю 2.
Получившаяся функция, оказывается, будет характеристической для AΔB.
В самом деле, если x не принадлежит ни A, ни B, то fA(x) + fB(x) = 0+0 = 0.
Если x принадлежит лишь одному из множеств, то fA(x) + fB(x) = 0+1 = 1.
Если же x принадлежит и A, и B, то fA(x) + fB(x) = 1+1 = 0.

Отсюда тривиально вытекает ассоциативность симметрической разности, (AΔB)ΔC = AΔ(BΔC).
Ибо сложение по модулю 2 ассоциативно.

Также верно следующее утверждение.
Пусть есть n множеств типа A и n множеств типа B (т.е. два n-элементных семейства).
Тогда (A1⋂A2⋂...⋂An)Δ(B1⋂B2⋂...⋂Bn) ⊂ (A1ΔB1)∪(A2ΔB2)∪...∪(AnΔBn).
В самом деле, пусть X = A1∪A2∪...∪An∪B1∪...∪Bn.
Подмножества X можно рассматривать как трансфинитные строки из нулей и единиц.
Само X будет строкой из всех единиц.
Каждому элементу x из X соответствует один конкретный ординал.
Поэтому о каждой точке x из X можно думать как о месте в трансфинитной строке.
Если точка x из X принадлежит левой части, то во всех строках типа A на месте x стоят единички и хотя бы в одной строке типа B (пусть её номер j) на месте x стоит нуль, или наоборот, в B все единички, а в Aj нуль.
Но тогда x является элементом множества AjΔBj.
По-видимому, это рассуждение работает даже тогда, когда n - не конечное, а запредельно-бесконечное число.
Надо бы проверить.

>>937537
Поддерживаю, экмдс - говнари из говнарей. Даже нарезка фраз из игры больше передаёт суть вахаммы.

https://www.youtube.com/watch?v=HSR9W8g6ak8

>>938128

> Ибо сложение по модулю 2 ассоциативно.

А в общем случае по модулю n?

>>938128
То есть пусть у нас есть n колец власти типа A и n колец власти типа B. Кольца образуют нумерованные пары. Множество существ, неподвластных i-му кольцу типа X, обозначим как Xi. Множество существ, неподвластных одному и только одному кольцу i-й пары, назовём индиго уровня i. Объединение по всем i даст множество всех индиго всех уровней. Множество существ, неподвластных ни одному из колец типа A, назовём атлантами. Множество существ, неподвластных ни одному из колец типа B, назовём борейцами. Множество существ, являющихся атлантами или борейцами, назовём титанами. Множество существ, являющихся и атлантами, и борейцами, назовём лемурами. Доказанное утверждение означает, что все титаны, за исключением лемуров, являются индиго как минимум одного какого-нибудь уровня.

>>938142
И в общем случае тоже. Классы вычетов по модулю n являются на самом деле элементами факторкольца Z по идеалу (n), очевидно двустороннему, причём Z и это факторкольцо гомоморфны и ядром гомоморфизма являются числа, сравнимые с n. В кольце сложение всегда ассоциативно.

>>938151
Зачем тогда эта смущающая деталь и замечание конкретно о случае, когда n = 2?

>>938152
Характеристические функции подмножеств - это функции со значениями в кольце вычетов по модулю 2. Поскольку я думал об этом кольце, я и написал конкретно про это кольцо.

>>938154
Дело в том, что по сложению там получается группа вычетов. Верно? Групповая операция ассоциативна по определению группы, а такое внимание к конкретному случаю сразу же вызывает вопрос, что не так при n = 2? И да, зачем вообще сразу кольцо?

>>938155
А зачем в случае целых чисел ограничиваться группой вычетов, если можно, не усложняя конструкцию, получить сразу кольцо? У меня нет причин говорить о группе вычетов, если я сразу могу говорить о кольце. Поточечное умножение функций со значениями в этом кольце к тому же очевидно соответствует пересечению множеств, что сразу позволяет говорить о кольце подмножеств с симметрической разностью в качестве суммы и пересечением в качестве умножения. А n=2, потому что характеристические функции же, ну. Элемент множеству либо не принадлежит, либо принадлежит. Если n=3, то это будут уже характеристические функции не множеств, а каких-то таких штуковин, которым элементы либо принадлежат, либо не принадлежат, либо, гм, делают что-то третье.

>>938157
А зачем сразу кольцо и мочему не модуль? :cf:

> А n=2, потому что характеристические функции же

Это не важно. Суть в том, что выделение второстепенного факта сразу активирует режим поиска подвоха.

>>938158
Потому что у меня нет кольца внешних операторов, на которые я бы естественно мог умножать характеристические функции; по той же причине я говорю не об алгебре, а всё-таки просто о кольце. И этот факт не второстепенный, а очень даже значимый. Я сразу сказал, что рассматриваю функции со значениями в {0,1}, в этом вся суть доказательства ассоциативности симметрической разности.

>>938159
Дело в том, что я как раз недавно читал гайд Халмоша о том, как (не стоит) писать текст и вдруг вот вижу такое, понимаю, что Халмош-то не дурак и решаю доебаться. Дело авторского стиля, конечно, но вопрос возникает.

> а всё-таки просто о кольце

Ну хорошо, а где вторая операция? Я вижу только множество функций и определённое на этом множестве сложение, например.

>>938161
Я тоже читал этот гайд и я понял, что ты его читал.
Я не говорил, что на множестве функций я ввёл вторую операцию. В моём доказательстве функции не образуют кольцо, а принимают значения в кольце. Но вообще-то ясно, что эти функции всё-таки можно, и притом совершенно естественно, сделать кольцом, вдобавок к поточечному сложению определив умножение, тоже поточечное.

>>938163

> Я тоже читал этот гайд и я понял, что ты его читал.

:3

>>938165
В общем, я не вижу ничего плохого в том, чтобы говорить о кольце вычетов и о сложении по модулю 2.

>>938166
А по-моему это лишнее. Не вижу тут просто никакой необходимости в кольце. Но тебе виднее.

>>938167
Необходимость тут есть только в магме на ординале 2 с операцией +, которая оказывается (в этом суть утверждения) полугруппой. Но зачем мне говорить о магме, если кольцо вычетов является гораздо более известным и интуитивным объектом? Не нужно ослаблять утверждения до такого абсурда.

>>938168
Честно говоря, мне всё-таки непонятен это довод. Он кажется мне странным. Но я не буду развивать эту тему.

>>938170
Когда я вижу зебру, я говорю "я вижу зебру". Я не говорю "я вижу объект, с моей текущей точки зрения выглядящий как половинка зебры".

>>938172
Совсем напротив, в этом контексте ты, похоже, любые полоски называешь зеброй и это мне не очень понятно.

>>938173
Почему любые? Речь про конкретное кольцо.

>>938574
Именно так.

>>938574
Компактнее.

>>938597
На фото не все тома.

– О боги, – пробормотал он, ни к кому особенно не обращаясь.
Это восклицание было столь нехарактерным для тролля, что Дуббинс, конечности которого уже начали неметь от холода, в изумлении уставился на своего напарника.
– Кажется, – сказал Детрит, – я действительно обрел способность мыслить. Как интересно!
– Что ты имеешь в виду?
Детрит почесал затылок, с тролльей головы градом посыпался лед.
– Ну конечно! – воскликнул он, воздев гигантский палец. – Сверхпроводимость!
– Что?
– Понимаешь, кремний в мозгах, но нечистый. Проблема рассеивания тепла. Дневная температура слишком высокая, скорость обработки данных замедляется, если погода становится жарче, мозг совершенно прекращает работу, тролли превращаются в камень до наступления ночи, зато если становится холодней, температура падает, мозгначинаетфункционироватьбыстрееи…

Детрит сидел на полу, и от него валил пар. Он чувствовал голод, однако есть не хотелось, хотелось думать. По мере того как температура понижалась, повышалась эффективность работы его мозга. Ему необходимо было чем-то заняться.
Он подсчитал количество кирпичей в стене, сначала в двоичной системе, потом в десятичной и, наконец, в шестнадцатеричной. Числа возникали в мозге и проходили сквозь с него с ужасающей послушностью. Он открыл для себя умножение и деление. Затем придумал алгебру – на пару минут это его заняло. А потом он почувствовал, как отступает туман чисел и являются далекие сверкающие вершины многосложных исчислений.
Тролли эволюционировали на возвышенностях, в горной местности, которая прежде всего была холодной. Их кремниевые мозги привыкли работать при низкой температуре. А тепло сырых низменностей замедляло скорость работы мозга и делало троллей бестолковыми. О, тролли, решившие переселиться в город, зачастую были весьма умны, но, оказавшись там, становились тупыми.
Детрита считали слабоумным даже по городским тролльим стандартам. Но это объяснялось лишь тем, что мозг его оптимально работал при температуре, которой не могла похвастать даже самая холодная анк-морпоркская зима.
Однако сейчас температура его мозга приближалась к идеальной. К сожалению, эта температура была лишь незначительно выше той, при которой тролля ждет верный Смерть.
Часть мозга задумалась над решением данной проблемы. Вероятность спасения существовала, причем шансы были достаточно велики. Но ему придется покинуть склад. А это означало, что он снова поглупеет, и это было так же точно, как E = mc^2.
Значит, стоит поторопиться.
Он вернулся в мир чисел, настолько сложных, что у них не было значения, только промежуточная точка зрения. И продолжал замерзать в ожидании Смерти.

Когда главные ворота наконец открыли, вокруг уже собралась целая толпа зевак. По камням мостовой со звоном запрыгали льдинки, и на улицу вырвался сверххолодный воздух.
Иней покрывал пол и ряды туш, следующих из настоящего в будущее. Тем же инеем была покрыта огромная, вмерзшая в пол глыба, очертаниями напоминающая Детрита.
Совместными усилиями глыбу вытащили на солнечный свет.
– А его глаза так и должны то зажигаться, то гаснуть? – осведомился Достабль.
– Детрит! – закричал Дуббинс. – Ты меня слышишь?
Детрит заморгал. По мостовой запрыгали льдинки.
Он чувствовал, как рассыпается в его сознании чудесная вселенная чисел. Температура, повышаясь, сжирала его мысли, как пламя огнемета – сугроб.
– Скажи же что-нибудь! – закричал Дуббинс.
Башни интеллекта, высящиеся в мозгу Детрита, горели и рушились.
– Эй, посмотрите-ка сюда! – воскликнул один из мясников-практикантов.
Внутренние стены склада были исписаны числами. По оледеневшим камням змеились уравнения, сложные, как нервная система. В какой-то момент математик перешел с чисел на символы, но вскоре и этого оказалось недостаточно. Скобки, словно клетки, заключали гигантские формулы, но сравнивать их с обычными математическими формулами было бы все равно что сравнивать город с картой.
По мере приближения к цели они становились все проще, однако за этой простотой скрывалась неимоверная, поистине спартанская сложность.
Дуббинс, не отрываясь, смотрел на ряды чисел и непонятных знаков. Он знал, что не сможет разобраться в них и за сотню лет.
Иней таял на теплом воздухе.
Когда стены закончились, уравнения переместились на пол. Змеящаяся дорожка шла к тому месту, где обнаружили тролля. Здесь все вычисления свелись к нескольким формулам, которые, казалось, двигались, сверкали и жили собственной жизнью. Это была математика без чисел, незамутненная, чистая, как молния.
В конце дорожки уравнений стоял очень простой знак: «=».

Рассмотрим алфавит A, B, C, D, ... , Z. Будем говорить, что чем буква ближе к началу алфавита, тем она меньше. Например, буква O меньше чем буква W.

Возьмём три буквы: A, B и C. Рассмотрим строки A, B, C, AB, BC, AC, ABC. В каждой строке наблюдается некоторая закономерность: меньшая буква всегда идёт перед большей. Попробуем обобщить эту закономерность.

Для начала от конкретного латинского алфавита перейдём к алфавиту из n букв. Его буквы мы будем обозначать как X1, X2, ... , Xn.

Теперь формализуем строки из двух символов, обладающие нашей закономерностью: это будут все строки вида XiXj, где индексы i и j пробегают числа от 1 до n, причём подчиняясь условию i<j.

Теперь формализуем строки из трёх символов, обладающие нашей закономерностью: это будут все строки вида XiXjXk, где i<j<k.

Теперь формализуем строки из m символов. Пусть i1, i2, ... , im - m штук индексов, которые пробегают числа от 1 до n. Тогда нужными нам строками будут строки вида Xi1Xi2...Xim, где i1 < i2 < ... < im.

Символ пикрелейтед обозначает тогда сумму всех строк длины 2, обладающих нашей закономерностью. Если n=5 и X1=A, X2=B, X3=C, X4=D, X5=E, то символ пикрелейтед обозначает ``AB + AC + AD + AE + BC + BD + BE + CD + CE + DE``.

>>939200
Теперь рассмотрим одно приложение этой штуки. Пусть у нас есть некоторый алфавит из n букв. Сумму всех строк длины m, обладающих нашей закономерностью, мы обозначим как [m]. Символ [0] будет обозначать, по определению, число 1.

Тогда оказывается, что (1-X1)(1-X2)...(1-Xn) = [0] - [1] + [2] - [3] + ... = Σ(-1)^i × [i], где i пробегает от 1 до n.
Пользуясь этим фактом, можно легко доказать формулу включений-исключений.

>>939212
Эк тебя в производящие функции занесло.

Алсо зловещая латынь.

>>939612
Брожу, что поделать.

https://math.berkeley.edu/~kpmann/Well-ordering.pdf
А вы уже ввели полный порядок на ℝ? Тогда мы идём к вам шатать основы.
https://arxiv.org/abs/1111.6991

Фильм "Шломо и Лёва против Гитлера" расскажет о том, как целая Европа оказалась под властью Гитлера — не беря в расчет одно местечко под Прагой, в котором проживают евреи-ашкеназы. Их невозможно победить, а все благодаря волшебной маце, которую готовит ребе Бецалель. После изгнания немецких сборщиков налогов Шломой и Лёвой, Гитлер решает проучить непослушных и направил на деревушку зондеркоманду. Хитрый Дитриханс, являющийся советником фюрера, нашел способ побороть евреев. Для этого Дитриханс похитил Бецалеля, когда проходил ежегодный съезд раввинов. Теперь волшебную мацу делать некому, а запасов хватит ненадолго. Однако у Дитриханса более амбициозный план: он желает узнать секрет мацы и использовать её при захвате власти в Рейхе. Шломо и Лёва решили спасти друга. Одевшись как немецкий штурмовик, Лёма приводит будто бы плененного им Шлому в лагерь немцев. За это Дитриханс сделал Лёву своим помощником. Шломо и Бецалель пекут мацу, которую собираются съесть и убежать из плена. Однако Дитриханс перехватывает мацу. Теперь он обладает огромной силой и совместно с Лёвой свергает Гитлера. Дитриханс принял решение избавиться от евреев при помощи гладиаторских игр. Поворотливый Шломо проходит через ловушки с крокодилами и пауками, и доходит до трибуны диктатора, дабы сказать Лёве, чтобы тот выходил из роли. Совместно друзья доходят до выхода, взяв с собой неизвестного пленника в маске и с чёлочкой...

>>939837
Полный порядок на ℝ не обязан быть согласованным с арифметическими действиями на ℝ. Не вижу проблемы.

>>939904
А в принципе полный порядок на ℝ ты хоть раз видел?

>>940004
Нет, хотя я и понемногу читаю литературу о дескриптивной теории множеств, чтобы понять, насколько конкретным можно сделать определение такого порядка. Зато я могу доказать, что такой порядок существует.

>>940017
Уверен, что можешь? За язык никто не тянул. Доказывай.

>>940019
В прошлом треде доказывал. Нужна бюрократия? Пожалуйста.

Символ <a,b> обозначает упорядоченную пару. Слова "часть" и "подмножество" - синонимы.
Если A - множество упорядоченных пар, то pr1(A) обозначает множество всех левых компонент этих пар.

Определение 1. Пусть M - множество. Назовём его упорядочиваемым, если существует хотя бы одно такое подмножество Φ в M×M, которое обладает следующими свойствами (будем говорить, что Φ упорядочивает множество M):

W1. Антирефлексивность.
∀m∈M : <m,m>∉Φ

W2. Транзитивность.
∀a∈M ∀b∈M ∀c∈M : (<a,b>∈Φ ∧ <b,c>∈Φ) → <a,c>∈Φ

W3. Любые два различных элемента M сравнимы.
∀a∈M ∀b∈M : <a,b>∈Φ ∨ <b,a>∈Φ ∨ a=b

W4. Если подмножество X множества M непусто, то в нём есть наименьший элемент.
∀X : (X⊂M ∧ X ≠ ∅) → (∃a: (a∈X ∧ (∀b∈X : <a,b>∈Φ)))
Этот наименьший элемент, в нашей формуле он a, будем обозначать как lb X.

Определение 2. Если Φ упорядочивает множество M, m - элемент M, то символом Φ[m) мы будем обозначать множество всех таких a∈M, что <a,b>∈Φ. В частности, если x = lb X, то Φ[x) = ∅.

Лемма 1. Пустое множество упорядочиваемо.
Лемма 2. Пустое множество является подмножеством любого множества.
Лемма 3. Для любого множества M множество всех его упорядочиваемых подмножеств непусто.

Аксиома. Пусть S - множество непустых множеств. Тогда существует функция f: S→∪S такая, что для любого s из S верно, что f(s)∈s.

Определение 3. Пусть M - произвольное множество. Пусть f - функция выбора на множестве его непустых подмножеств.
Назовём подмножество N множества M хорошим, если существует хотя бы одно подмножество Φ в N×N, обладающее свойствами W1-W4 и сверх того свойствами W5 и W6:
W5. ∀b∈N : f(M\ Φ[b))∈N
W6. ∀b∈M : Φ[b) = Φ[ f(M\ Φ[b)))
Ясно, что хорошая часть a fortiori является упорядочиваемой. Будем говорить, что Φ упорядочивает хорошую часть N и обозначать это как NΦ - хорошая часть с фиксированным порядком.

Лемма 4. У любого непустого множества существуют хорошие подмножества.
Доказательство. Пусть M - непустое множество. Пусть f - функция выбора на множестве его непустых подмножеств.
Пусть μ = f(M). Рассмотрим множество N = {μ}. Положим Φ = ∅.
Свойства W1-W4 очевидно выполняются.
Проверим свойство W5. Ясно, что Φ[μ) = ∅. Тогда M\ Φ[μ) = M. Так как μ = f(M) и μ∈M, свойство W5 выполняется.
Свойство W6 очевидно. Φ[μ) = Φ[ f(M\ Φ[μ))) = ∅.
Таким образом, {μ} - хорошая часть, упорядоченная с помощью Φ.

Определение 4. Пусть NΦ и KΘ - две хорошие части множества M. Пусть x∈N и y∈K. Если Φ[x) = Θ[y), то мы будем говорить, что N и K имеют общий начальный отрезок. Под этим отрезком будем понимать множество Φ[x), равное множеству Θ[y). Оно может быть пустым.

Лемма 5. Любые две хорошие части имеют хотя бы один общий начальный отрезок.
Доказательство. Пусть NΦ и KΘ - две хорошие части. Пусть x = lb N, y = lb K.
Тогда Φ[x) = ∅, Θ[y) = ∅. Значит, Φ[x) = Θ[y).

Лемма 6. Объединение всех общих отрезков двух хороших частей равно по крайней мере одной из этих хороших частей.
Доказательство. Пусть NΦ и KΘ - две хорошие части.
Пусть X - объединение их общих начальных отрезков.
Докажем, что X равно по крайней мере одному из множеств N, K.
Предположим, что X не равно N. Множество N\X не пусто. Тогда определён элемент x = lb N\X. Тогда X = Φ[x).
Так как N является хорошим, то по свойству W6 заключаем, что x = f(M\X).
Предположим, что X не равно K. Множество N\K не пусто. Тогда определён элемент y = lb N\X. Тогда X = Θ[y). Так как K является хорошим, то по свойству W6 заключаем, что y = f(M\X).
Значит, x = y. Положим X' = X ∪ {x} и x' = lb N\X', y' = lb K\X'. Таким образом X' = Φ[x') = Θ[y') и потому является общим отрезком N и K. Но X' не является подмножеством X, хотя должно по определению X. Таким образом, хотя бы одно из предположений неверно. Поэтому X=N или X=K.

Лемма 7. Из двух хороших частей по крайней мере одна является подмножеством другой.
Доказательство. Пусть NΦ и KΘ - две хорошие части. По лемме 5, они имеют по крайней мере один общий отрезок.
Значит, мы можем рассмотреть объединение X их общих отрезков, причём X⊂N и X⊂K.
Кроме того, по лемме 6 X=N или X=K. Значит, либо N⊂K и Φ⊂Θ, либо K⊂N и Θ⊂Φ.

Лемма 8. Объединение всех хороших частей непустого множества само является хорошей частью.
Доказательство. Пусть X - объединение всех хороших частей произвольного непустого M.
Объединив порядки, которыми упорядочены эти хорошие части, по лемме 7 получим порядок, который упорядочивает X.

Теорема. Любое множество - упорядочиваемое.
Доказательство. Пусть M - множество. Если оно пусто, то оно является упорядочиваемым по лемме 1.
Пусть M непусто. По лемме 4, у него есть хорошие подмножества. Пусть X - объединение всех его хороших подмножеств.
По лемме 8, X является хорошей частью. Пусть Φ - порядок, которым упорядочена эта хорошая часть.
Предположим, что M\X непусто. Положим m = lb M\X.
Пусть Φ1 = pr1(Φ). Положим Ψ = pr1(Φ)×{m} ∪ Φ. Тогда Ψ - порядок, и, как нетрудно проверить, множество X∪{m} с порядком Ψ обладает свойствами W1-W6, то есть является хорошим. Это противоречит тому, что X - объединение всех хороших частей. Значит, предположение ложно, M\X пусто и M=X. Так как всякая хорошая часть упорядочиваема, M=X упорядочиваемо.

Следствие. Множество вещественных чисел - упорядочиваемое.

Отсутствие ошибок/опечаток не гарантирую.

>>940119

> всех таких a∈M, что <a,m>∈Φ

Опечатка в определении 2.

В ожидании чудес, невозможных чудес
Я смотрю в темноту, но не вижу прогресс.
Я хочу быть убийцей, я хочу быть живым,
Мне осталось всего лишь дожить до седин.
https://music.yandex.ru/album/3558837/track/29576142

Нейросеть пишет рок.

>>940674
Кстати о роке, мне тут симпатичная версия "In-A-Gadda-Da-Vida" попалась.
https://www.youtube.com/watch?v=6PnbOysCF6o

Решение пикрелейтед в общем случае.
http://mi.mathnet.ru/umn6498

>>940258

> Файл: 146714513227303.jpg

Двери на таких петлях и с таким сильным наклоном очень скоро отваляется. А ещё судя по интерьеру и качеству фото, оно делалось в России. Какой некро-фрик захотел себе такой шкаф?
Хотя не уверен, я вроде бы вижу на полу вентиляцию.

>>941283
Эксперт-мебельщик в треде, все в столярку! Ещё и страну по фотографии стены определил, лол.

>>941283

> некро-фрик

Эй!

И сказал Айболит: "Не беда!
Подавай-ка его сюда!
Я пришью ему новые ножки,
Он опять побежит но дорожке".

Айболит добрый, да. Вот только откуда он берёт эти новые ручки да ножки, в стихотворении не раскрыто.

>>941421
А я знаю откуда.

>>941529
В самом деле.

Нотация математики будущего будет похожа на нотную грамоту и на электрические схемы одновременно. В ней будут линии, изображающие переменные, и линии, изображающие операции; эти линии будут хитро пересекаться друг с другом, и смысл формул будет именно в пересечениях. Возможно, теория узлов и теория кос в будущем станут элементарным фундаментом общеиспользуемой логики. Буквы исчезнут, останутся лишь пересечения тонких линий, напоминающих одновременно и вечерние улицы, по которым течёт поток электрических огней, и бесконечный гриф Guitar Hero. Математические теории станут плетениями.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Алгебра_Темперли_—_Либа
https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_graphical_notation
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_кос

>>941715
А вдруг это будут стрелки, а не косы?

>>941716
В диаграммах теории категорий уже сейчас можно разглядеть просто переплетение нитей, если присмотреться.

>>941715
По-моему все эти косы и узлы можно легко заменить гиперпространственной таксономией. Вроде той, что использовал Доккинз для классификации биоморфов. Да, не так наглядно, зато вычисления намного проще и данные легко ложатся в матрицу. Самое то для компьютеров.

>>941743
Можно поподробнее?

Во-первых, у меня час назад развалился шкаф. Просто хрустнул, потом ещё хрустнул, а потом треснул и из него всё выпало. Во-вторых, я обнаружил забавную ссылку, которую можно связать с теологическим нонкогнитивизмом. https://ru.wikipedia.org/wiki/Заумь

Кругом индуисты.

>>944734
А меня умиляет этот карго-культ у погромистов. Вот все выучим монады и начнём писать идеальный, безошибочный код!

>>944899
Всмысле про ФП?
Я вообще думал, что это такой троллинг ньюфагов, как и рекомендации пойти выучить хаскель.

>>944899
И ладно бы они были хорошими, грамотными культистами, так ведь нет же.

>>932386
Друзья, я неплохо знаю общеупотребительную математику и великолепно ориентируюсь в некоторых узких как писичка землеройки темах. При этом половина ваших постов мне кажется фантазиями псилоцибиновых наркоманов. Успокойте меня, скажите, что это норма, а не то я на всё лето засяду за учебники, только чтобы не чувствовать себя тупым на анонимной имиджборде. Долбаная идиосинкразия.

>>944989

> При этом половина ваших постов мне кажется фантазиями псилоцибиновых наркоманов.

Просто не читайте.

>>944989
ОП тут. Сформулируй свой вопрос конкретнее.

>>945033
Ты его напугал, страшный некромант.

>>944989
Намёк ясен?

>>944989
А можно конкретные примеры псилоцибиновых фантазий? Заинтриговал.

>>945327
Толсто.

По основной теореме арифметики, любое целое число может быть единственным образом разложено на произведение простых множителей.

Пусть p - фиксированное простое число. Тогда любое целое число a однозначно представляется в виде p^n×a', где a' не делится на p, n - натуральное число. В самом деле, разложим a на простые множители. Если в разложение входит p в какой-то степени, то теорема очевидна. Если же p не входит в разложение (т.е. a не делится на p), то будем считать, что a умножено на p^0 (т.е. на единичку).

Таким образом, каждому целому числу сопоставлена степень, с которой в его разложение входит наше p.

Далее. Пусть x - ненулевое рациональное число. Оно может быть представлено в виде дроби a/b, где a и b - целые числа.

Разложим a и b на множители, представим x как произведение этих множителей (то есть множители от b входят с отрицательными степенями). Например, пусть x = 15/16. Тогда x = 3×5×4^-2.

Пусть p - фиксированное простое число. Тогда каждое рациональное число, аналогично вышерассмотренному примеру, может быть однозначно представлено в виде p^n×a', где a' не делится на p, n - теперь уже целое число. Просто представим x в виде произведения простых чисел в положительных и отрицательных степенях, потом вынесем p в степени (возможно, в нулевой) за скобку.

Таким образом, каждому рациональному числу сопоставлена степень n, с которой в его разложение входит наше p. Обозначим это как n(p). Сразу заметим, что для любых x и y верно, что n(xy) = n(x)+n(y).

Определим p-адическую норму рационального числа x как 1/p^n, где n=n(p). То есть как p^(-n).

Например, пусть x = 140/297. Тогда x = 2^2 × 5 × 7 × 3^-3 × 11^-1.

Тогда 2-адическая норма x есть 1/4,
3-адическая норма x есть 27,
5-адическая норма x есть 1/5,
7-адическая норма x есть 1/7,
11-адическая норма x есть 11.

Определим наконец, что p-адическая норма нуля есть нуль.

Докажем, что p-адическая норма действительно является нормой. Пык: https://proofwiki.org/wiki/P-adic_Norm_is_Norm

Пусть x и y - два рациональных числа. Определим p-адическое расстояние между ними как p-адическую норму числа x-y. Таким образом, всякая p-адическая норма задает одну конкретную p-адическую метрику на множестве рациональных чисел. Пополнение Q относительно этой метрики называется p-адическими числами. p-адические числа никак не связаны с вещественными числами. p-адические числа - самостоятельные неведомые зверушки, которые содержат как подполе рациональные числа, но имеют вообще-то ещё и другие элементы.

В теории чисел доказана теорема Островского. Всякая норма на поле рациональных чисел либо тривиальная (т.е. равна 0 в нуле и 1 во всех остальных точках), либо обычная (т.е. обычный модуль), либо p-адическая для некоторого простого p, и других норм нет.

Приложения p-адических чисел описаны вот тут, например. http://www.mi.ras.ru/~kozyrev/p-adicMF1.pdf
Оказывается, кто-то даже построил на них p-адическую квантовую механику.

За окном какие-то уроды пришли с собаками, принесли кошку и заставили собак её разорвать. Кошка жутко кричала, люди смеялись.

>>946394
Ментов надо было вызывать.
1. Жестокое обращение с животными, повлекшее их гибель или увечье, если это деяние совершено из хулиганских побуждений, или из корыстных побуждений, или с применением садистских методов, или в присутствии малолетних, -
наказывается штрафом в размере до восьмидесяти тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев, либо обязательными работами на срок до трехсот шестидесяти часов, либо исправительными работами на срок до одного года, либо ограничением свободы на срок до одного года, либо арестом на срок до шести месяцев.
(в ред. Федеральных законов от 08.12.2003 N 162-ФЗ, от 27.12.2009 N 377-ФЗ, от 06.05.2010 N 81-ФЗ, от 07.12.2011 N 420-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
2. То же деяние, совершенное группой лиц, группой лиц по предварительному сговору или организованной группой, -
(в ред. Федерального закона от 08.12.2003 N 162-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
наказывается штрафом в размере от ста тысяч до трехсот тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период от одного года до двух лет, либо обязательными работами на срок до четырехсот восьмидесяти часов, либо принудительными работами на срок до двух лет, либо лишением свободы на тот же срок.
(в ред. Федерального закона от 07.12.2011 N 420-ФЗ)

>>946452
Я не верю в полицию.

>>946452
Субъектом права является лицо. Собака не является лицом.

>>947006
Закон есть.

Если взять шприц и резко набрать в него кровь из вены возле локтевого сгиба, то сначала не произойдет ничего. Через некоторое время по спине и лицу начнёт течь холодный пот, всё быстрее и быстрее. Вскоре волосы станут совершенно мокрыми. Примерно в это же время придёт страх - такой, какой в обычной жизни почти не появляется. Зрачки расширятся. Сердце начнет бешено стучать, его стук будет отдаваться в ушах. Конечности побледнеют, лицо станет вампирским, пальцы начнут слегка дрожать. Воздуха станет не хватать, в глазах слегка потемнеет. Захочется зевать, зевать без остановки. Интенсивность страха уменьшится уже через минуту, остальное будет исчезать примерно полчаса, тогда же появится неутолимая жажда. На том месте, где в тело входила игла, расплывется большой синяк, который через несколько дней из синего станет лиловым, а полностью пройдет через месяц с небольшим. Крошечный шрам-бугорок останется, видимо, на всю жизнь. Тексты, написанные необработанной кровью, сохраняются на протяжении года (чернеют через сутки), потом начинают осыпаться. Кровь, смешанная с лимонной кислотой, держится дольше, если не сгибать бумагу слишком часто.

>>947397
Какие нечестивые, богохульные действа. Я слышал, Саддам Хусейн регулярно жертвовал кровь для переписывания корана. Значит он тоже должен был осыпаться?

>>947401
Кровавый коран написан не чистой кровью, а специально разбодяженной.

>>947402
А что ты такое пишешь кровью? :3

>>947403
Это шесть лет назад было. Ерунду всякую.

>>947282

> пик

До чего пидорский шмот.

>>948066
Настоящий мужык должен быть уродлив. Красивые вещи - для геев.

>>948077

> Красивые вещи - для геев.

Но ведь это не красивые вещи. Это безвкусная хрень.

>>948081
Когда-то давно они были красивыми.

Продолжая тему музыкантов.

Omg, I think the speaker is actually proving ABC right now. There's an inequality that looks suspiciously like what we want.
https://twitter.com/math_jin

С мотидзуковской конференции.
#IUTsummit

В фантастических и оккультных книгах часто есть идея о многих планах существования, которые как бы отражают друг друга. Действия на одном плане соответствуют действиям на другом плане, сущности одного плана соответствуют сущностям другого плана. Широко известным примером является сумрак из "дозоров" Лукьяненко - несколько параллельных слоёв реальности, где каждый последующий отражает предыдущий.

> На первом слое рельеф местности почти совпадает с земным. Практически все объекты из нашего мира там сохраняются. В этом слое видна истинная суть вещей, видны места давних сражений, можно увидеть следы смерти (смерть вообще очень сильная магия — оставляет след на всех слоях Сумрака). К примеру, если взглянуть из Сумрака на газетную статью, можно прочитать то, о чём на самом деле думал или что подразумевал автор.

...

> Мы были на втором слое Сумрака. Дома стали деревянными. Очень странно выглядят деревянные дома в девять-десять этажей, честное слово. Дорога превратилась в проселок, извилистый и покрытый кочками. Люди почти исчезли, со второго уровня они плохо различимы. Все стало серым. Вместо машин над дорогой висели облачка пара – будто выдохнули полной грудью в холодный день…

Всевозможные астралы относятся сюда же. У другого российского фантаста, Перумова, эта идея выражена немного по-другому. Когда маг Ракот начал свою войну против богов, во всех мирах местного мультиверса начались аналогичные войны, не инициированные Ракотом непосредственно, но являвшиеся локальными отражениями его глобальной войны. Видимо, и Лукьяненко, и Перумов вдохновлялись Розой Мира, прямо или опосредованно.

Эту идею следует ввести в солидный дискурс, поскольку уже сейчас есть как минимум два параллельных мира, отражающих первичный. Я говорю о бюрократическом мире и об интернете.

Бюрократический мир бумажек - это колдовской мирок, камень за камень созданный для контроля над реальностью на манер кукол вуду. Реальный мир управляется высшими бюрократами посредством бумажек. Бумажки с печатями, всевозможные реестры и архивы - всё это сложная магическая система символов, с помощью которой направляются умы людей. В этой реальности, бюрократической, обитает чудовище по имени государство - эгрегор бюрократов. Объекты реального мира существуют для государства постольку, поскольку они отражены в бумажках. Для бюрократов мир бумаг гораздо более ценен, чем реальный мир. Многим рядовым бюрократам на реальность наплевать, они взаимодействуют только через бумажки и посредством бумажек, вся их жизнь порождена потоком бумаг, проходящим через них. Для многих из них человек буквально не существует, если у него нет подтверждающих его существование бумажек, например паспорта. Они могут смотреть на человека и не видеть его.

Интернет - это (почти что самозародившаяся) альтернативная реальность, в которой постепенно создаются астральные проекции реальных вещей. Интернет существует уже давно, и появился класс людей, которые в виртуальности живут больше, чем, собственно, в реальности, и ассоциируют себя в первую очередь со своей манифестацией в виртуальности, а не с материальным телом. Для таких людей объекты реального мира и объекты бюрократического мира существуют постольку, поскольку они отражены в интернете, причём к бюрократическому миру требования строже. Эти люди допускают гипотезу о существовании географических объектов реального мира, но для них буквально не существует, скажем, фирм, не имеющих сайтов. Взаимодействие с реальным миром эти люди осуществляют посредством специальных интернет-сервисов. Для многих из них человек буквально не существует, если он не пользуется интернетом. Жизнь, которую ведут не представленные в виртуальности люди, интернетчики совершенно себе не представляют. Виртуальные образы реальности изливаются в виртуальность через особые места - для простоты назовём их блогами, хотя блоги являются лишь малой частью.

В последнее время бюрократы пытаются построить отражение виртуальности в мире бумажек. Непосредственно ворваться в виртуальность бюрократы не могут, в интернете бумажки теряют смысл. Поэтому бюрократы воздействуют на интернет опосредованно, через реальность-прайм. Безмозглые человекоорудия бюрократов, эти управляемые бумажками зомби с трухой вместо собственной воли, пытаются взять под контроль материальные корни интернета - железо и блоггеров.

>>949073
Видимо, называть эту штуку нужно термином "гомоморфная реальность".

>>949073

> Интернет - это (почти что самозародившаяся) альтернативная реальность

Надо пересмотреть "Серийные эксперименты Лэйн".

Статья в умн о пространствах Тейхмюллера теперь в общем доступе.
http://mi.mathnet.ru/umn9517

>>949156
Возможно.

>>949870
Так она же не новая.

>>949922
Не новая. Но доступ открыли недавно.

>>949067
Mochizuki is “less isolated than he was before the process got started”, says Kiran Kedlaya, a number theorist at the University of California, San Diego. Although at first Mochizuki's papers, which stretch over more than 500 pages1–4, seemed like an impenetrable jungle of formulae, experts have slowly discerned a strategy in the proof that the papers describe, and have been able to zero in on particular passages that seem crucial, he says.

And Jeffrey Lagarias, a number theorist at the University of Michigan in Ann Arbor, says that he got far enough to see that Mochizuki’s work is worth the effort. "It has some revolutionary new ideas,” he says.

Still, Kedlaya says that the more he delves into the proof, the longer he thinks it will take to reach a consensus on whether it is correct. He used to think that the issue would be resolved perhaps by 2017. “Now I'm thinking at least three years from now.”

Others are even less optimistic. “The constructions are generally clear, and many of the arguments could be followed to some extent, but the overarching strategy remains totally elusive for me,” says mathematician Vesselin Dimitrov of Yale University in New Haven, Connecticut. “Add to this the heavy, unprecedentedly indigestible notation: these papers are unlike anything that has ever appeared in the mathematical literature.

http://www.nature.com/news/monumental-proof-to-torment-mathematicians-for-years-to-come-1.20342

Ещё один интересный диссер.
http://vak.ed.gov.ru/az/server/php/filer.php?table=att_case&fld=autoref&key[]=63342001

>>952890
Ты думаешь, кому-то интересны твои диссеры?

>>952502
http://posic.livejournal.com/1333791.html
Мне кажется, или Мочидзука начинает примерять на себя наряд пророка без отечества?

>>952890
Какой-то дикий алгем.

>>952928
Хороший вопрос.

>>952937
Я слишком мало знаю о Мотидзуке. Он и его коллеги секретничают что-то. Даже видео с конференции не выложили. Может, начинает, а может и нет.

> дикий алгем

Доктор Богомолов чему попало оппонировать не будет.

https://www.youtube.com/watch?v=dg1_PKHxbIc
К теме гомофобии.

>>953554

> согласен с вами, но удалю - Ноосферу пора уже чистить!

> Ноосферу

Шта. Эти мартышки всерьёз считают Интернет за некое волшебное пространство вокруг Земли?

>>953571
Я тоже его им считаю.
мимо

>>953571
Кто знает, что они считают. Может, рашейтудей заправляет секта Рерихов. Может, просто наукообразное словечко где-то подцепили.

Люди из квартиры сверху играли на гитаре. В полночь. Однообразно повторяя один и тот же такт, раз за разом. Поднялся к ним и задоминировал всю их компанию мрачной небритой рожей и низким басом. Теперь тишина, уют.

Хорошо быть некромантом.

>>954027
лол
Действительно.

>>954044
Угу.

Кстати, тут недавно европейский конгресс завершился. http://www.7ecm.de/program/plenary_talks.html
Доклад http://www.7ecm.de/download/talks_abstracts/23871.pdf делает разговоры о наличии разных математических школ вполне респектабельными. Раньше это было всё-таки на уровне фольклора, а теперь - факт.

Ознакомился с сюжетом новой книжки про Поттера.
Феерический. Пиздец.

>>954225
А какой там сюжжет?

>>954226
В этом треде действует запрет на спойлеры.
Очень плохой.

>>954226
Поттер прошёл тактическую подготовку у своего еврейского дядюшки и захватил мир. С помощью смекалки, плаща невидимки и маховика времени.

Это к теме теоремы Цермело. Скрины из Александрова.

Хм. Саму аксиому забыл. Вот она.

Мдя. Превьюшки, конечно, выглядят пугающе.

17:05, 28 июля 2016

Северокорейский студент, принимавший участие в математической олимпиаде на территории Гонконга, сбежал в консульство Республики Корея и попросил политического убежища. Об этом сообщает The South China Morning Post.

Как сообщает издание, сами соревнования завершились 15 июля, а подросток пропал в ночь на 17 число. Спустя два дня делегация покинула Гонконг без него, и тогда стало известно, что он обратился в местное консульство Южной Кореи и попросил политического убежища.

В дипломатическом представительстве от комментариев отказались, однако в здании, где оно расположено, были значительно усилены меры охраны. В консульстве КНДР также не стали говорить с журналистами издания.

Эксперты The South China Morning Post полагают, что молодой человек может провести на территории представительства несколько лет, пока будут улажены все дипломатические формальности.

Хоть я боюсь и не понимаю математику, но эти странички выглядят мило и лампово.

>>954260
Теория множеств не очень сложная.

>>954261
На первый взгляд.

>>954398
А что в ней сложного?

>>954400
Как обычно в случае с матёшкой - контринтуитивность и абстрактность, сопряжённые с тотальной бесполезностью ИРЛ, а значит и с отсутствием наглядных моделей.

>>954401
Не аргумент. IRL бесполезно всё, кроме сосисок: сосиски можно сварить и съесть. Любое знание бесполезно IRL. И не только знание. Книги, фильмы, игры, научные статьи, секс, доброчан - всё бесполезно.

>>954405
А еще я

>>954405
Нет, не любое. Можно опустить особенности метаболизма метанола в формальдегид системой алкогольдегидрогеназы/ацетальдегиддегидрогеназы и токсичность последнего, хотя и это может иногда спасти от фатальных последствий, если знать, что этанол конкуретно связывается ADH, но в целом знание о токсичности метанола может спасти жизнь и сохранить здоровье :3 Фильмы обычно снимают не о бесконечностях со странными свойствами, хотя фильм фильму рознь вообще, и т.д. и т.п..

>>954407
А ты кто?

>>954408
Недавно один фильм сняли про Рамануджана.

>>954411
Интересный? А про Харди там есть?

>>954414
Как посмотреть. https://www.kinopoisk.ru/film/841613/
Есть.

>>954415
Вот что значит ауру ужаса прокачать.

Алсо забавного гномьего бога откопал. http://ru.rpg.wikia.com/wiki/Урдлен
Гномы - это не которые dwarves, а которые карлики.

>>954417
Не нашёл что за мерзость у них там на кинопоиске - не писать оригинальное название и даже русское - только в заголовке вкладки/окна, чтобы не скопипастить

>>954446
В смысле, в фильме про Сринивасу есть.

>>954449
Я понял. Но сам фильм нигде не раздают вроде и название пришлось руками писать, а оригинального я вообще не увидел

>>954451
Пока ещё не раздают, да.

В последнее время всё чаще появляются фильмы и книги, у которых рекламная кампания лучше их самих. Пока идёт реклама, все в восторге и в сладком предвкушении. Когда выходит фильм, восторг исчезает. Это проблема. У неё есть очевидное решение: надо сделать рекламную кампанию бесконечной, а фильм вообще не выпускать.

>>956437
см. также: Half-Life 3.

>>956440
У халфы слишком мало рекламы.

Старики с улицы, на которой я в детстве жил, продолжают умирать. Третьего дня умер один дедушка, у которого я в детстве "катался" на мотоцикле, и который помогал мне накачивать колёса велосипеда. Сегодня умерла старушка, жившая возле водоразборной колонки.

Предположим, что нам нужно вывести рациональную формулу для синуса na, где a - угол, n - натуральное число.
Это значит: выразить sin na как рациональную комбинацию sina и cosa.
Для этого будем пользоваться формулой Эйлера: e^iф = cosф + isinф.
Ещё понадобится бином Ньютона.

Положим x := cosa, y := sina.
По формуле Эйлера это будет означать e^ia = x + iy,
по основному тригонометрическому тождеству y^2 = 1-x^2 и x^2 = 1-y^2.

Итак, считаем.
e^ina =
= e^ia × e^ia × ... {n раз} × e^ia
= (x + iy)×(x + iy)×... {n раз} ×(x + iy)
=: П.
Полученное произведение П просто раскладываем по биному, учитывая, что i^2 = -1.
Тогда cosna = Re(e^ina) = ReП, sinna = Im(e^ina) = ImП.

Например, посчитаем синус и косинус тройного угла.
e^i3a = x^3 + 3x^2iy - 3xy^2 - iy^3.
sin 3a = 3x^2y - y^3 = 3y - 3y^3 - y^3 = 3y - 4y^3 = 3sina - 4(sina)^3
cos 3a = x^3 - 3xy^2 = x^3 - 3x + 3x^3 = 4x^3 - 3x = 4(cosa)^3 - 3sina

Из этих формул легко следует иррациональность многих чисел.
Например, докажем, что sin20° - иррациональное число.
Заметим, что sin3×20° = sin60° = √3/2.
Пусть x := sin20°. Тогда по формуле тройного угла 3x - 4x^3 = √3/2.
Если x рационально, то √3/2 - рациональное число как рациональная комбинация от x.
Но √3/2 иррационально.

Не люблю олимпиадные задачки. Их решение напоминает декомпозицию целого числа на простые множители вручную. Нагенерировать олимпиадные задачи до смешного просто, а вот распутать их проблематично.

Медитативная картинка.

>>957609
Зло редко похоже на зло.

Новое достижение Ковена Триниморфизма! После двух лет напряжённой работы архимаг Пацюковский вырастил на голове архимага Бобанова лопух. Свершение архимагов было отмечено почётной медалью Ковена и занесено в Анналы.

* Ковен Триниморфизма - неортодоксальный магический орден. В его ряды принимают за небольшой взнос всех желающих, нарекая их сразу архимагами. Членство в этом ордене воспринимается ортодоксальными магами как наипозорнейшее пятно на репутации.

Как теперь уже известно, новый глава администрации президента - ебанутый сумасшедший псих.
http://law-journal.ru/files/pdf/201204/201204_42.pdf
https://ru.wikipedia.org/wiki/Нооскоп

Однако если погуглить мыло OET2004@yandex.ru, указанное в контактах, то можно увидеть кучу дополнительных лулзов.

>>960167
Ебать пиздец. Так скоро петрик министром образования станет.

>>960200
Не исключено.

>>960167
А осилил ли ты всю статью, юный падаван? Я вот осилил. И даже понял, что он хотел сказать. Тащемта, у мужика действительно или шизофрения в лёгкой форме, или он просто шизотипик. А нооскоп, как я понял из его тл;др это нечто вроде усовершенствованной ОГАС.

>>960215
Да, это я к тому, что пациент, конечно, деградант. Но те, кто сейчас с него проигрывают деградаты в большей степени, ибо им смешно не потому, что они с чем-то не согласны, а потому, что они вообще не поняли, что там написано.

> Однако если погуглить мыло OET2004@yandex.ru, указанное в контактах, то можно увидеть кучу дополнительных лулзов.

Это служебное мыло университета или чего-то вроде - там стандартные ВАК-овские статьи выдаются.

>>960215
Конечно осилил. Принцип Гейзенберга, теорема Гёделя, солипсизм, марксизм, постмодернизм, гегельянство, ноосфера, синергетика - всё как я люблю. Ещё бы православие добавить.

>>960219
Чтобы с текстом можно было соглашаться или не соглашаться, необходимо нужно, чтобы оный текст имел смысл. Текст этого психа смысла лишён.

>>960247

> Чтобы с текстом можно было соглашаться или не соглашаться, необходимо нужно, чтобы оный текст имел смысл. Текст этого психа смысла лишён.

Ну, понятно. Если ты чего-то не понимаешь, значит там нет смысла. Стандартное мышление рашкована.

>>960251
Ты предлагаешь диспут? Хорошо. Почему ты думаешь, что в этом тексте есть смысл? Одна из причин, которые заставляют меня считать этот текст бессмысленным, - изложение теоремы Гёделя. Ты не увидел ничего странного в пункте про эту теорему?

>>960251
Чтобы установить отсутствие смысла в тексте, нужно его понять.

>>960253
Совсем не обязательно. Не нужно понимать "родился на улице Герцена" или лекцию о броме, чтобы признать их бессмысленными.

>>960254
Взрослому и образованному человеку.

>>960290
Стоя на такой позиции, можно сказать, что в "родился на улице Герцена" есть смысл, просто, мол, вы все слишком маленькие и глупые, чтобы этот смысл уразуметь.

Хотя вот и православие откопалось, сорт оф.

>>960167
Когда я думал о свободности свободного рынка, у меня была схожая идея. Не шучу.

>>960374
Какая идея была у тебя?

>>960375
Предсказывать движения невидимой руки с помощью исследования человеческих потребностей и самих людей, прогнозируя оптимальную инвестицию для конкретного состояния рынка. Маняфантазии, короче.

>>960376
Но небо на землю ты не проецировал?

>>960377
Я могу немного пофантазировать на эту тему - смысл сам найдется.

>>960389
Пофантазируй, пожалуйста. Мне теперь интересно.

>>960394
Фантазировать ИТТ - как ссать в туалете среди 5 мужиков, которые на тебя пялятся.
Сложно.

Можно проецировать небо на землю сводя небо и землю к символическому означаемому. Тогда проекция неба на землю будет означать реализацию неба в земле путем какого-либо заимствования у неба со стороны земли. Проекция неба на землю будет означать частичное превращение второй в первую. Поскольку земля - не небо, самое похожее на превращение земли в небо - проекция неба на землю, ведь земля никогда не сможет стать небом. Архитектура является земной, но можно попробовать с её помощью спроецировать небо с помощью правильных и православных геометрий. Как прожектор светит на белую доску, так архитектор занимается масонством. Можно вспомнить о евреях-иудеях, которые желают построить третий зиккурат^W храм. Единственная разумная цель их желанию - проецировать небо на землю. Коллективный разум иудеев доказывает что проекция неба на землю - не хуита, потому что в обратном случае строительство третьего еврейского храма - хуита.

Но это не фантазия, потому что эти мысли неслучайны.

>>960395-кун

>>960395
А мне норм.

>>960397
Ну вот, в этом посте тоже ничего не понял.

>>960461

> А мне норм.

Потому что ты гей.

>>960494
Возможно.

>>960494
Я тоже ничего не понял. Теперь я тоже гей?

На моих глазах спавшая на диване бабушка неудачно повернулась и упала на пол. Больше часа помогал ей подняться. Она не могла встать, порывалась куда-то ползти, ругалась. Потом просто взял её на руки и посадил обратно; старушки тяжёлые, у меня круги перед глазами теперь. Фух. Она посидела, посмотрела в пустоту, потом заплетающимся языком заявила, что это её домовой скинул. Укрыл её пледом, теперь спит сидя. Во сне бормочет "уйди-уйди-уйди".

Сломавшиеся биологические объекты выглядят удручающе.

>>960961
А у меня вот дед умер вчера. И родня даже не особо горюет, потому что с ним было много проблем и возни, он был старый и плох и физически и ментально.
Надеюсь, я умру до того, как превращусь в ходячую/лежачую/ползучую проблему для окружающих и всех заебу.

Хотя как ты умудрился час потратить на такую задачу как помочь подняться бабуле, мне не оче понятно

>>960962
Я не знал твоего деда. Но я думаю, что он, скорее всего, не хотел умирать. Он не один такой. Сейчас где-то на этой планете умирает ещё один похожий человек. И ещё один. И ещё. И ещё. И они тоже не хотят умирать - но они умрут. Если ты хочешь остановить эту извечную боль, то стань имморталистом.

Ей больно двигаться. Я боюсь к ней прикасаться, чтобы что-нибудь нечаянно не сломать. Помогал повернуться, давал подушку, приносил попить, успокаивал, уговаривал не ругаться на меня, в общем, всё сложно.

>>960966

> стань имморталистом.

Это те, кто ищут бессмертия? Ну во-первых, этим должны заниматься те, кто имеет отношение к соответствующим наукам. И я уверен, они над этим работают, потому что идея слишком очевидна, никто не хочет умирать. Все остальные "имморталисты" - лгуны и шарлатаны, они обманывают и себя и окружающих, даря ложную надежду.

Пусть будет в этом треде http://www.tylervigen.com/spurious-correlations

>>960966
Вечность жизни поднимет цену смерти. Я считаю что это плохо.

>>960977
Это те, кто работает над его созданием. Нет, идея на самом деле совсем не очевидна. Это хорошо иллюстрируется ситуацией с космосом. Люди считают перелёты, занимающие сотни лет, неприемлемо продолжительными. Люди пытаются придумать сверхсветовые двигатели и всевозможные системы анабиоза, чтобы перелеты не были такими длинными. Люди не пытаются увеличить продолжительность своей жизни до миллионов лет, чтобы сделать сроки в сотни лет относительно короткими.

Если тебе нужно бессмертие, то стань ученым и сделай его сам.

>>960962

> Надеюсь, я умру до того, как превращусь в ходячую/лежачую/ползучую проблему для окружающих и всех заебу.

И я хочу такого же для себя.
>>960966

> Если ты хочешь остановить эту извечную боль, то стань имморталистом.

Или похуистом.

Сдал бабушку в больницу. Точнее, сначала пришёл с ней к доктору, доктор посмотрел анализ крови и тупо вызвал скорую. Сначала возился со смотровыми, потом устраивал бабушку в палате и покупал всякую дребедень. Потратил весь день. Устал как покойник.

>>961185
Люди не перестанут умирать из-за того, что ты станешь похуистом.

>>961407

> Люди не перестанут умирать из-за того, что ты станешь похуистом.

И? Боль-то остановится.

>>961407
Люди не перестанут умирать. Период.

>>961114

> Люди не пытаются

А ты сам-то, прости, биолог/медик? Почему ты думаешь, что люди не пытаются? Люди бьются над тем, как лечить отдельные болезни, временами успешно, временами нет. Как вообще можно говорить о бессмертии, если людю не научились лечить все болезни? Старение и смерть намного более глобальная проблема, чем поражение отдельных органов.

> Если тебе нужно бессмертие, то стань ученым и сделай его сам.

Во-первых, я нигде не сказал, что мне лично нужно бессмертие. Во-вторых, я и так уже почти учёный (хуёвый, конечно, ну не суть). Из абсолютно другой области. Я не такой наивный, чтобы думать, что я вот сейчас резко стану биологом и через два года на земле наступит рай и вечная жизнь.
Не наступит.
Может, понадобятся сотни лет и работа тысячи людей. И я не буду одним из них, потому что у меня есть своё дело.
По-детски наивные, в общем, какие-то слова ты говоришь.
Только пришёл с похорон деда

>>961646

> А ты сам-то

Нет, я не медик, но не только медики могут работать над бессмертием.

> Почему ты думаешь, что люди не пытаются?

Много ли ты знаешь фильмов, в которых люди бессмертны? Книг, анимешек? Ведь отовсюду же прёт идея, что смерть - это хорошо и правильно, и так мол и должно быть.

> По-детски наивные

Так они стояли у окна и глядели на снег. Звёзды светили над крышей виллы «Курица». Там живёт Пеппи. Она всегда там будет жить. Как это замечательно! Пройдут годы, но Пеппи, Томми и Анника не станут большими. Конечно, если чудесные пилюли не утратили своей силы! Настанет новая весна, а потом придут лето и осень, и снова наступит зима, а они всё будут играть и играть. Завтра они построят снежный дом и соорудят лыжный трамплин с крыши, а когда настанет весна, они заберутся на старый дуб, на котором растут бутылки лимонада, и будут играть в секлетаря, и будут кататься верхом на лошади, будут сидеть в чулане и рассказывать друг другу разные истории.

>>961723

> Нет, я не медик, но не только медики могут работать над бессмертием.

А кто ещё? Философы? Что конкретно ты предлагаешь делать?

> отовсюду же прёт идея, что смерть - это хорошо и правильно, и так мол и должно быть.

Смерть - это естесственно и в порядке вещей. Ты не приближаешь бессмертия, закрывая глаза на этот факт. Идею бессмертия встречал прилично в том же аниме, и поверхностный гугл говорит, что можно найти намного больше. Думаю, ничуть не меньше чем про полёты в космос.

> Так они стояли у окна и глядели на снег.

К сожалению, играться и мечтать это одно, но науку тянут уже совсем не дети. Можно говорить "бла-бла-бла, учёные всё такие же дети внутри, они мечтают бла-бла", но по факту, по большей части этим занимаются более чем реалисты, и они знают, что нужно ебошить как краб, а не мечтать. И может тогда твоя область науки сделает небольшой шажок, лично с твоей помощью.

>>961723

> Много ли ты знаешь фильмов, в которых люди бессмертны? Книг, анимешек? Ведь отовсюду же прёт идея, что смерть - это хорошо и правильно, и так мол и должно быть.

Ну неправда. Ни одно из этих утверждений не может быть признано истинным.
Не говоря о том, что это сложно представить себе технически, с точки зрения той же биологии, можно задуматься ещё вот над чем. Постоянно идут какие-то поиски и исследования в направлении терапии раков, СПИДа и всё такое. Есть, как будто, довольно перспективные идеи и даже их реализации. В животных моделях. Это считается просто этически неприемлемым, применять непроверенные методики и лекарства на людях. Де факто - испытывать их на людях. И хоть тем временем продолжают умирать пациенты, процедура остаётся непреложной, а между первой идеей и внедрением могут проходить десятилетия. Увы, нравится это или нет, но таково положение дел, которое сложилось отнюдь не на пустом месте. Были прецеденты, когда всесторонним тестированием никто не заморачивался. Тысячи людей, рождённых калеками, вряд ли теперь скажут спасибо. Но бессмертие, если даже на секунду допустить его реальность, это нечто куда глобальнее. Тут есть другая этическая проблема. Кому и за какие заслуги оно будет доступно? А что, простите, делать с демографией и как потом всю эту бессмертную ораву кормить? Или вся надежда на "сингулярность", что бессмертные вмиг передумают плодиться? А может их принудительно стерилизовать в обмен на бессмертие? Тоже тот ещё выбор. Всерьёз этот вопрос даже рассматривать нельзя.
Смерть - это непоправимая трагедия и личная драма каждого человека, ничуть не менее драматичное явление, чем гибель Вселенной. И как с гибелью Вселенной мы, похоже, ничего не в силах сделать. Анон прав, зарыть голову в песок и тешить себя мечтами - не метод. Но не надо путать такую позицию с пропагандой смерти. Она мало кому нравится, безотносительно, кто и во что верит.

Ах, да. Вот с чем всё же можно согласиться, так это с тем, что насильственная смерть перестала быть чем-то драматичным. Тут действительно СМИ каждый день сообщают о терактах, катастрофах, убийствах и обыватель уже просто десенсибилизирован к тому, что где-то прямо сейчас умирают люди. Более того, это порождает даже какое-то принятие этого, а в худшем случае и поощрение, притом, что люди и раньше-то не особо были терпимы друг к другу. Прежде чем решать проблемы бессмертия, хорошо бы решить проблему смертности хотя бы в таком плане. Как это сделать и можно ли, проигнорировав это обстоятельство, начинать торговать бессметрием? Уже эта задача видится совершенно невыполнимой.

>>961775
Для начала я намерен получить ученую степень в приличном месте.

> Смерть - это естесственно и в порядке вещей.

Смерть - это противоестественно, смерть должна быть уничтожена. У людей, которые хотят жить вечно, должна быть возможность жить вечно.

>>961816

> Всерьёз этот вопрос даже рассматривать нельзя.

Вот видишь - и ты тоже не можешь даже просто подумать о бессмертном человечестве.

> Кому и за какие заслуги оно будет доступно?

Всем и безусловно. Право на жизнь уже сейчас есть у каждого человека.

> ничуть не менее драматичное явление, чем гибель Вселенной

На самом деле куда как менее драматичное. Люди обычно не склонны огорчаться, узнавая о смерти других людей. Они говорят, что соболезнуют, но на самом деле это просто бездушное соблюдение социального протокола.

> мы, похоже, ничего не в силах сделать

Мы можем сделать. Мы сделаем.

>>961852

> Всем и безусловно.

И как это будет выглядеть? Жить вечно захочет большинство какое большинство? Ещё раз уместно вспомнить о неравномерности развития разных уголков мира, которая вряд ли исчезнет куда-то в ближайшем будущем

> Право на жизнь уже сейчас есть у каждого человека.

Но никто до сих пор не рассматривал право на вечную жизнь в буквальном смысле.

> Люди обычно не склонны огорчаться, узнавая о смерти других людей. Они говорят, что соболезнуют, но на самом деле это просто бездушное соблюдение социального протокола.

В большинстве случаев, но не всегда. Ну и особенно сейчас, как уже было сказано, в наше интересное время, когда люди даже желают смерти другим. Я имел в виду не смерть вообще, а осознание собственной смертности или смерть близкого человека.

> Для начала я намерен получить ученую степень в приличном месте.

Выглядит как план :3

>>962112
Это будет выглядеть очень хорошо. Всеобщее бессмертие предполагает, например, устранение голода и эпидемий, а также авто- и авиакатастроф.

Кстати, репрессии против врагов народа называются https://ru.wikipedia.org/wiki/Моральная_паника

— Ты ничто без своей магии! Сразись со мной голыми руками, будь мужчиной! — сказал герой злодею.
— Ты ничто без твоих рук, — ответил злодей, и оторвал герою руки.
— Ты ничто без твоих ног, — и оторвал герою ноги.
— Ты ничто без твоей головы, — и оторвал герою голову.
А потом злодей сказал:
— Ну и кто победил?
Но победил всё равно герой, потому что пока злодей трепался, герой успел вызвать орбитальную бомбардировку. Злодея разнесло дезинтегрирующими бомбами.

Обнаружил листовку. Сектанты отакуэ.

>>962848
Мне вот в Подмосковье уже не меньше трёх месяцев регулярно в почтовый ящик срут рекламой дианетики от саентологов. А у станции метро, которое стоит рядом у автобусной остановки, у которой останавливается автобус, привозящий меня из моего городишко в Москву, около года регулярно вижу бабку, которая пытается прохожим всучить книгу какого-то поехавшего пророка, о том, что болезни - это дар(или кара, не помню) от Бога.

>>962940

> около года регулярно вижу бабку, которая пытается прохожим всучить книгу какого-то поехавшего пророка, о том, что болезни - это дар(или кара, не помню) от Бога.

Какая почтенная мадам.

Джоан Роулинг опубликовала свои собственные иллюстрации к "Гарри Поттеру".

>>963875
Хм. Прикольно. У неё определённо талант.

>>963875
>>963876
Я не раз говорил, что в мире Гарри Поттера смехотворно огромное количество вещей, воздействующих на разум. Это и очевидный империус, и конфундус, который делает почти то же самое, но абсолютно легален, и приворотные зелья, и обливиэйт, и легимеленция, и возможность вкладывать в голову другим фальшивые воспоминания. С учётом этого, любой волшебник, имеющий хотя бы бит воображения, должен постоянно подозревать, что его жена, с которой он уже двадцать лет живёт, на самом деле поит его приворотным зельем, что все его воспоминания о жизни и его личность были внушены ему пять минут назад, что если в округе на днях произошло убийство - то возможно, что кто-то наложил на него империус, заставил его совершить убийство, а потом стёр память. Тогда общество волшебников будет группой нежизнеспособных параноиков, которые будут кидать кедавру от любого шороха, опасаясь, что любой подошедший может взять их в пожизненное рабство. А про магглов я вообще не говорю. В эпилоге Рон, получая права и забывая вещь, которая очевидно даже маггловскому пятилетнему ребёнку, берёт под контроль психику человека, выдающего права и заставляет ему их отдать, хотя очевидно, что из него с такими знаниями выйдет опасный для других и себя водитель. И этот поступок, хотя и омерзителен с этической точки зрения, но никем не осуждается и не вызывает интереса у магической полиции(у них же должна быть какая-то полиция?). Тогда видно, что ничто не мешает любому волшебнику подойти к любому магглу, наложить империус, приказать убить своего отца, изнасиловать свою мать и покончить с собой, после чего не понести никакого наказания. Словом, будь я магглом в вселенной ГП, я бы приложил огромное количество усилий к тому, чтобы все до единого волшебники в мире были убиты, или, по крайней мере, большинство было бы убито, а немногочисленные выжившие были бы отправлены в тюрьмы. окружённые блокаторами магии.

>>963905

> будь я магглом в вселенной ГП, я бы приложил огромное количество усилий к тому...

Но ведь ты и так маглл во вселенной ГП, глупышка. Упс, обливейт тхат.

>>963905

> любой волшебник, имеющий хотя бы бит воображения, должен постоянно подозревать

Есть разные амулеты – защитные и (наверняка такие есть) предупреждающие владельца об опасности применения к нему нехорошего колдунства. Есть целая наука по защите от тёмных искусств. И хороший маг сможет определить наличие зелья в еде-питье.

> возможно, что кто-то наложил на него империус, заставил его совершить убийство, а потом стёр память

В мире магии есть своя полиция, так что не волнуйся, они разберутся.

> общество волшебников будет группой нежизнеспособных параноиков, которые будут кидать кедавру

За аваду кедавру пожизненно упекают в не самое приятное место на Земле – Аль... Азкабан. Где охранники – не самые приятные существа на свете (и на тьме).

> видно, что ничто не мешает любому волшебнику подойти к любому магглу, наложить империус, приказать убить своего отца, изнасиловать свою мать и покончить с собой, после чего не понести никакого наказания.

Не все волшебники такие же психопаты как ты.
Надеюсь, ты не ОП.

>>963905
Срочно рекомендуется к прочтению "ГП и методы рационального мышления".

>>963875

> 147202226369222.jpg

Дадлик похож на разжиревшего Редклиффа.

>>963975

> Есть разные амулеты – защитные и (наверняка такие есть) предупреждающие владельца об опасности применения к нему нехорошего колдунства

При этом держащий их на столе Лже-Грюм считается параноиком.

> В мире магии есть своя полиция, так что не волнуйся, они разберутся.

Которая прозевала, что важная шишка в магическом правительстве держится под пси-контролем одним из слуг местного Хитлера(я про Крауча). Или же не снимает виновности с человека, подставленного местным Гитлером, даже спустя много лет после того, как его невиновность стала очевидна(я про Хагрида). Или разрешает богатому мажору убить(точнее, совершить покушение на убийство) одноклассника без причины(я про Сириуса). Словом, уровень её компетенции очевиден.

> И хороший маг сможет определить наличие зелья в еде-питье.

То есть, он должен кастовать соответствующие спеллы на каждую еду и питьё? Ты представляешь, в какой паранойе должен жить волшебник в такой ситуации?

> Не все волшебники такие же психопаты как ты.

Я не психопат, просто если у людей есть возможность совершать злодеяния, не боясь, что их за это покарают - они будут их совершать.

> а аваду кедавру пожизненно упекают в не самое приятное место на Земле – Аль... Азкабан.

Мне интересно, а дают ли такое же, если я человеку редукто на голову скастую?

> Надеюсь, ты не ОП.

Нет, не Оп.
>>964051
Симпатичный.

В этом треде запрещены спойлеры.

Давайте лучше театры Ходжа обсуждать.