>>829986 Пусть M - многообразие. Пусть x - его карта. Пусть m - его точка.
Мы говорим, что карта x содержит точку m, если местность карты содержит точку m.
Коллектор карты x будем называть ещё координатным отображением карты x.
Теперь я, вдобавок ко всему, определю многообразие с границей, этим определением я буду время от времени пользоваться.
Пусть у нас есть пространство R^n. Определим в нём верхнее полупространство H^n.
H^n - это множество всех таких точек (x1, x2, ... , xn) из R^n, что x1≥0, x2≥0, ... , xn≥0.
В случае n=2 H^n называется верхней полуплоскостью.
Внутренность H^n, обозначаемая Int H^n - это когда x1>0, x2>0, ... , xn>0.
Граница H^n, обозначаемая ∂H^n - это когда x1=0, x2=0, ... , xn=0.
Открытое множество в R^n называется внутренним, если оно не пересекается с H^n, и граничным в противном случае.
Пусть M - второе счётнобазное хаусдорфово топологическое пространство, n - целое положительное число.
Внутренняя карта на M есть пара (U, f) такая, что U - открытое связное подмножество M, f - гомеоморфизм U на внутреннее подмножество R^n.
Граничная карта на M есть пара (U, f) такая, что U - открытое связное подмножество M, f - гомеоморфизм U на граничное подмножество R^n.
Коллектор, коколлектор, местность и план определяются аналогично.
M называется многообразием с краем, если каждая её точка содержится в какой-то карте.
Точка многообразия называется внутренней, если она содержится во внутренней карте.
Точка многообразия называется граничной, если она содержится в граничной карте, отображающей её в ∂H^n.
Граница многообразия M, обозначаемая символом ∂M, - это совокупность всех его граничных точек.
Внутренность, Int M - совокупность всех внутренних.
Теорема: внутренность и граница многообразия M образуют разбиение, то бишь дизъюнктивное покрытие, M.
Это значит, что каждая точка M является либо внутренней, либо граничной, но не оба варианта сразу.
Под термином "многообразие без края" мы будем понимать многообразие в предыдущем смысле, не осложнённом всякими там полупространствами.
Под термином closed manifold мы будем понимать компактное многообразие без края.
Под термином open manifold мы будем понимать некомпактное многообразие без края.
Алсо
теорема Перельмана-Пуанкаре. Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.
На многообразиях с краем можно ввести гладкую структуру почти так же, как на многообразиях без края.
Пусть U - открытое подмножество H^n, f - отображение U→R^m.
Пусть для любой точки x из U существуют
V - открытое подмножество R^n, содержащее точку x,
и g - гладкое отображение V→R^m, которое совпадает с f на пересечении V и H^n.
Тогда f называется гладким отображением.
Причём сужение f на пересечение U и Int H^N - гладкое отображение в обычном смысле.
По непрерывности, значения всех частных производных f на точках U⋂∂H^n однозначно определены их значениями на U⋂Int H^n.
Атлас на многообразии с краем называется гладким, если его синколлекторы гладкие в описанном смысле.
Гладкая дифференциальная структура и максимальный атлас определяются дословно так же.
Гладкое многообразие с краем - это многообразие с краем, снабжённое дифференциальной структурой.
Замечу, что каждое гладкое многообразие можно рассматривать как гладкое многообразие с краем.
>>830021 Итак, у нас есть определение гладких отображений R^m→R^n, но нет определения гладких отображений произвольных многообразий.
Определим их.
Пусть M - гладкое дифференциальное многообразие.
На нём задана гладкая дифференциальная структура.
Эта структура содержит один-единственный максимальный по включению атлас (сие есть теорема).
Карты из этого атласа называются гладкими.
Пусть есть функция f: M→R^n.
Мы говорим, что f - гладкая, если для любой точки m из M найдётся такая содержащая её гладкая карта x, что
композиция коколлектора x с f есть гладкое отображение x-плана на R^n.
В случае многообразия с краем рассматриваем окрестность x-плана.
Символом C^Inf(M) обозначено множество всех гладких функций M→R. Я буду обозначать C^Inf(M) символом C∞(M).
Ясно, что C∞(M) - векторное пространство.
Пусть есть функция f: M→R^n и карта x.
Функцию g, являющуюся композицией f и коколлектора x и отображающую x-план в R^n, будем называть координатным представлением f.
f гладкая тогда и только тогда, когда её координатное представление гладкое в любой карте.
Пусть есть два дифференциальных многообразия M и N и функция f: M→N.
Пусть для любой точки m из M существуют такие карты x и y на соответственно M и N, содержащие соответственно x и f(x),
что f-образ x-местности является подмножеством y-местности,
и композиция y-коллектора, f и x-коколлектора является гладкой функцией, отображающей x-план на y-план.
Если M и N - многообразия с краем, то гладкость f определяется, как и ранее, в предположении,
что функция, определённая на подмножестве H^n, гладкая, если она допускает продолжение до гладкой функции в окрестности каждой точки,
а функция, принимающая значения в подмножестве H^n, гладкая, если она гладкая как функция в R^n.
Пусть M и N - два дифференциальных многообразия. Отображение f: M→N называется диффеоморфизмом, если оно гладкое, биективное и обратное к нему тоже гладкое.
M и N диффеоморфны, если между ними есть диффеоморфизм.
Пусть M - гладкое многообразие, с краем или без.
Линейное отображение C∞(M) в R называется производной в точке x, если v(fg) = f(x)vg + g(x)vf для любых f и g из C∞(M).
Множество всех производных в точке x называется касательным пространством в x и обозначается TxM.
Элементы касательного пространства называются касательными векторами.
Пусть M и N - два гладких многообразия, и f - функция между ними.
Отображение касательных пространств Dxf : TxM → Tf(x)N называется дифференциалом f в точке x, если оно удовлетворяет следующему свойству.
Пусть v - произвольная производная из TxM. Dxf(v) - её образ. Этот образ сам является производной, уже из Tf(x)N.
Потребуем, чтобы для любой функции g из C∞(N) было верно свойство, что Dxf(v)(g) = v(g∘f).
Это требование корректно, ибо g∘f принадлежит классу C∞(M).
По-хорошему, тут следовало бы диаграммку нарисовать, а то на словах как-то громоздко это всё.
