>>860210 Теперь обещанное доказательство ассоциативности декартова произведения множеств, да и вообще произведения. Тоже в трёх частях. Я докажу, что
A×(B×C) и
(A×B)×C изоморфны: между ними есть изоморфизмы. Напомню, что X и Y изоморфны, если есть такой морфизм
f:X→Y и такой морфизм
g:Y→X, что верны оба равенства
fg = idY и
gf = idX.
Итак, предположим, что, вместе с некоторыми каноническими проекциями,
A×(B×C) - произведение объектов
A и
(B×C),
(A×B)×C - произведение объектов
(A×B) и
C,
A×B - произведение объектов
A и
B, и, наконец, объект
B×C - произведение объектов
B и
C. Проекции обозначим буквами p,q,r,s с соответствующими индексами. Изобразим это на первой из картинок. Как вы можете видеть, на ней есть не только сами морфизмы, но и композиции морфизмов, например
q2∘s2. Напомню, что композиция морфизмов - это тоже вполне себе морфизм.
Далее мы будем пользоваться определением произведения объектов. На второй картинке мы фокусируем внимание на
A×B и
B×C.
Сначала рассмотрим
A×B в свете предыдущей диаграммы. В роли объекта X - объект
A×(B×C). Как мы можем видеть, из
A×(B×C) есть морфизм в A и морфизм в B - это, соответственно,
s1 и
q1∘s2. Поэтому, по определению произведения объектов, существует такой морфизм
h1, что верны равенства
p1∘h1 = s1 и
q1∘s2 = p2∘h1.
Теперь рассмотрим
B×C в свете, опять же, диаграммы произведения двух объектов. В роли объекта X - объект
(A×B)×C. Из него есть морфизм в B и морфизм в C - соответственно,
p2∘r1 и
r2. Поэтому существует такой морфизм
h2, что верны равенства
q2∘h2 = r2 и
p2∘r1 = q1∘h2.
Теперь перейдём к третьей картинке. На ней мы фокусируем внимание на
A×(B×C) и
(A×B)×C.
Сначала рассмотрим
(A×B)×C. Это - произведение двух (а не трёх, как могло бы показаться) объектов, первый есть
(A×B), второй есть
C. Снова воспользуемся диаграммой произведения двух объектов. В роли X будет объект
A×(B×C). Из объекта
A×(B×C) есть морфизмы в объекты
(A×B) и
C, соответственно
h1 и
q2∘s2. Поэтому, по определению произведения, существует такой морфизм f, что
h1 = r1∘f и
r2∘f = q2∘s2.
Аналогично рассмотрим
A×(B×C). Это - произведение объектов
A и
(B×C). И опять воспользуемся диаграммой произведения двух объектов. В роли X будет объект
(A×B)×C. Из объекта
(A×B)×C есть морфизмы в объекты
A и
(B×C), соответственно
p1∘r1 и
h2. Поэтому, по определению произведения, существует такой морфизм g, что
h1 = r1∘f и
r2∘f = q2∘s2. И при этом
p1∘r1 = s1∘g и
h2 = s2∘g.
На этом с рисованием стрелочек покончено, и можно приступить к анализированию нарисованного. Вообще, типичное категорное доказательство состоит из двух частей. Сначала рисуем стрелочки и выписываем равенства, затем пользуемся выписанными равенствами, чтобы доказать теорему окончательно. Как правило, вторую часть оставляют читателю. Я проделаю её явно.
Ещё раз перечислю равенства, которые мы имеем:
1) p1∘h1 = s1
2) q1∘s2 = p2∘h1
3) q2∘h2 = r2
4) p2∘r1 = q1∘h2
5) h1 = r1∘f
6) r2∘f = q2∘s2
7) p1∘r1 = s1∘g
8) h2 = s2∘g
И теперь перейду ко второй части доказательства.
Я утверждаю, что f и g будут требуемыми изоморфизмами.
В самом деле, из равенств 1, 5 и 7 имеем:
s1 = p1∘h1 = p1∘r1∘f = s1∘g∘f. Поэтому, учитывая единственность s1, получаем, что
g∘f = 1.
Из равенств же 3, 6 и 6 имеем:
r2 = q2∘h2 = q2∘s2∘g = r2∘f∘g, отсюда
f∘g = 1.
И вот мы показали, что нужные нам изоморфизмы существуют и поэтому
(A×B)×C и
A×(B×C) изоморфны. Причём наше доказательство справедливо в любой категории. Самая сложная идея доказательства - в том, чтобы придумать, как расположить на диаграмме объекты. Все нужные нам стрелочки рисуются тривиально по определению, и от нас требуется только проанализировать нарисованное.
