>>158455> еще ты не определил, что такое разложимый тензор
Определил.
> Почему нельзя просто задать некое каноническое отображение
Нет, ну можно конечно. Каноническая конструкция требует некоторой теоретической подкованности. Если ты просишь, то вот она.
1. Декартовым произведением множеств M1, M2, ... , Mn называется множество всевозможных упорядоченных n-ок вида (m1, m2, ... , mn), где mi принадлежит Mi. Декартовым квадратом множества M называется множество M×M.
2. Отношениями на множестве M называются подмножества декартова квадрата M. Отношение называется рефлексивным, если оно для любого m из M содержит пару (m,m). Отношение называется симметричным, если из того, что оно содержит пару (a,b), следует, что оно содержит пару (b,a). Отношение называется транзитивным, если из того, что оно содержит пары (a,b) и (b,c), следует, что оно содержит пару (a,c).
3. Отношение, которое рефлексивно, симметрично и транзитивно, называется отношением эквивалентности. Всякое отношение эквивалентности на множестве M задаёт разбиение множества M на непересекающиеся подмножества, называемые классами эквивалентности. Два элемента a и b множества M принадлежат одному и тому же классу эквивалентности по отношению ф тогда и только тогда, когда пара (a,b) является элементом ф. Пишут a~b и говорят "a эквивалентно b". Множество всех классов эквивалентности называется фактормножеством. Элемент класса эквивалентности называется представителем этого класса. Ясно, что пересечение любого семейства отношений эквивалентности снова отношение эквивалентности.
4. Пусть X - произвольное семейство пар элементов M. Пересечение всех отношений эквивалентности, являющихся надмножествами X, называется отношением эквивалентности, порождённым множеством X. Или, синоним, минимальным отношением эквивалентности, содержащим X. Таким образом, чтобы задать отношение эквивалентности, достаточно указать, какие пары мы желаем иметь эквивалентными.
5. Пусть на множестве M задана структура модуля над каким-то кольцом. Пусть ф - отношение эквивалентности на M. Пусть оно согласовано со структурой модуля. Это значит, что если в любой основной операции модуля заменить каждый операнд на эквивалентный ему, то результат применения операции к новым операндам будет эквивалентен результату применения операции к старым операндам. Например, если x и y - два вектора, если x~x', y~y', то (x+y) ~ (x'+y'). Тогда отношение ф называется конгруэнцией на M. Это определение применимо не только к модулям, но и вообще к любым алгебраическим структурам. Алгебраическая структура, на которой задано отношение конгруэнции, порождает так называемую фактор-структуру того же типа - группа порождает факторгруппу, модуль порождает фактормодуль. Элементами этой факторструктуры будут классы по отношению эквивалентности, а результатом применения операции к классам объявляется класс элемента, который получится, если выбрать из каждого операнда по представителю и применить операцию к ним. Элементы, эквивалентные в исходной структуре, становятся строго равными в фактор-структуре. Пересечение любого семейства конгруэнций снова конгруэнция. Если X - какое-то множество пар, то пересечение всех конгруэнций, содержащих X, называется конгруэнцией, порожденной X.
6. Пусть есть функция f: X->Y, где Y обладает достаточно богатой алгебраической структурой, чтобы выделить нулевой элемент 0. Суппортом (носителем) функции f называется такое множество M⊂X, что ∀m∈M: f(m) ≠ 0.
7. Пусть M - произвольное множество, R - произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций из M в R таких, что их носитель - множество конечной мощности. На этом множестве можно ввести структуру модуля над кольцом R следующим образом. Под суммой функций f и g мы будем понимать функцию (f+g), определенную на каждом x из M как (f+g)(x) = f(x) + g(x). Под умножением функции f на скаляр r из R мы будем понимать функцию rf, определенную на каждом x из M как (rf)(x) = r(f(x)). Полученный модуль назовем модулем формальных линейных комбинаций элементов множества M с коэффициентами из кольца R, или, синоним, свободным R-модулем, натянутым на M. Функции будем называть формальными комбинациями, мощность суппорта функции будем называть количеством слагаемых комбинации. Модуль формальных комбинаций имеет базис, состоящий из функций dm, по одной для каждого m из M, определенных так: dm(x) = 1, если x=m, и dm(x) = 0 в противном случае. Т.е. базис - дельта-функции. Образу внимание, что мощность множества M может быть сколь угодно большой. Размерность модуля формальных комбинаций будет равна мощности M.
8. Пусть нам даны модули V1, V2, ... , Vn над одним и тем же кольцом R. Декартово перемножим эти модули, получим множество V = V1×V2×...×Vn. Построим R-модуль, натянутый на V как на базис. Обозначим его F(V).
Замечание. В большинстве случаев размерность этого модуля
чрезвычайно велика. Каждая упорядоченная n-ка из V является базисным вектором этого модуля. Даже если мы рассматриваем просто трехмерное пространство V1 и двухмерное пространство V2 над полем вещественных чисел, то размерность интересующего нас модуля будет аж несчетна.
9. Зададим отношение конгруэнции ф на F(V). Для этого положим, что
(v1, v2, ... , vi, ... , vn) + (v1, v2, ... , v'i, ... , vn) эквивалентно (v1, v2, ... , vi+v'i, ... , vn) для любого i от 1 до n
и что
(v1, v2, ... , avi, ... , vn) эквивалентно a(v1, v2, ... , vi, ... , vn) для любого, опять же, i и для любого элемента a из кольца R.
10. Фактор-модуль модуля F(V) по отношению ф назовем тензорным произведением модулей V1, V2, ... , Vn и будем обозначать V1⊗V2⊗...⊗Vn или W. Элементы W будем записывать не как (v1, v2, ... , vi, ... , vn), а как v1⊗v2⊗ ... ⊗vn.
Это каноническая конструкция тензорного произведения модулей. Элементы W, то бишь тензоры, - это классы эквивалентности модуля формальных линейных комбинаций, натянутого на декартово произведение исходных пространств как на базис. Если некоторый класс содержит формальную линейную комбинацию, состоящую из одного слагаемого, то этот класс называется разложимым тензором. Остальные классы называются неразложимыми тензорами.
No idea, зачем бы тебе было это нужно. Имхо, эта конструкция тебя только напугает.
> взять и записать его координаты
Нет, так не надо. Тензорное произведение - это обыкновенное векторное пространство, и координаты тензоров - это обыкновенные координаты вектора.
> ⊗ - это такая неопределённая загогулина
Это и есть неопределенная загогулина. Вместо того, чтобы писать строчку (v1, v2, ... , vn), пишут символ v1 ⊗ v2 ⊗ ... ⊗ vn. Это чисто типографское соглашение.
> Что мешает взять его как каноническое
А это будет не оно. Ты написал, что базис тензорей - это
объединение базисов тензорно перемножаемых пространств. Это неверно. Базис тензорей - это множество всевозможных упорядоченных n-ок вида (e1, e2, ... , en), где ei - один из базисных векторов пространства Vi.
Например, если V1 имеет базис i, j, k, V2 имеет базис p,q, то пространство V1⊗V2 имеет базис (i,p), (j,p), (k,p), (i,q), (j,q), (k,q). Или, пользуясь нашим типографским соглашением, i⊗p, j⊗p, k⊗p, i⊗q, j⊗q, k⊗q. Ты ведь знаешь, что такое упорядоченная n-ка? Вот эти шесть энок и будут базисными векторами. Эти энки можно формально умножать на скаляр и складывать друг с другом, причем соблюдается полилинейность. Например, 5i⊗7p + 4i⊗3p = (35)i⊗p + (12)i⊗p = (47)i⊗p.
В нашем случае имеем дело с шестимерным векторным пространством, у каждого тензора будет шесть координат. Если договориться x1 i⊗p + x2 j⊗p + x3 k⊗p + x4 i⊗q + x5 j⊗q + x6 k⊗q записывать как <x1, x2, x3, x4, x5, x6>, то тензор (47)i⊗p будет записан как <47, 0, 0, 0, 0, 0>.
Разложимые тензоры - это в точности тензоры, у которых все координаты, кроме одной, равны нулю. А вот тензор 7i⊗p + 3k⊗q уже неразложимый. Его координаты будут <7, 0, 0, 0, 0, 3>.
> Какая задача приводит к оптимальному решению при помощи такой конструкции?
Знаешь, вот тут как с понятием вектора. Нетрудно объяснить, что такое вектор, но чтобы объяснить, что такое вектор скорости или вектор ускорения, нужно изрядно пошевелить языком. Аналогично, нетрудно объяснить, что такое тензор, но сложновато объяснить, что такое тензор энергии-импульса или тензор кривизны. Я подумаю над простым примером, но не обещаю, что придумаю.
Пост не перечитывал, возможную бредятину исправляй сам.
