>>155570Принцип Коши-Кантора => принцип Больцано-Вейерштрасса.
Пусть последовательность X = x1, x2, ... , xn ограничена. Тогда она целиком содержится в некотором отрезке [a;b]; обозначим его I0. Разделим отрезок [a;b] пополам. Хотя бы в одной из половин лежит бесконечно много точек последовательности. Обозначим эту половину как I1. Определяя по рекурсии, для любого n разделим In пополам и как I(n+1) обозначим какую-нибудь одну из половин, в которой лежит бесконечно много точек последовательности. Таким образом имеем корректно определенную последовательность стягивающихся вложенных отрезков. Пересечение этих отрезков - точка x.
Теперь нам нужно определить подпоследовательность. Сделаем это опять по рекурсии. За y1 возьмём x1. Для каждого отрезка In через y(n+1) обозначим точку последовательности X с наименьшим номером из всех точек, лежащих в отрезке In и отличных от y1, ... , yn. Таким образом, последовательность Y = y1, y2, ... определена.
Докажем, что Y сходится к x. Возьмём какую-нибудь окрестность U точки x. В ней целиком содержится по крайней мере один отрезок IN. Тогда все члены последовательности Y, начиная как минимум с N+1го, лежат в IN и потому в U.
Лемма 1. Фундаментальная последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть e = 1. Существует такой номер N, что для всех n,m больших N верно, что расстояние между xn и xm меньше 1. Пусть r - расстояние между xN и x(N+1). По неравенству треугольника для любого n>N расстояние между xn и xN меньше чем r+1.
Пусть r1, r2, ... , r(N-1) - расстояние между xN и соответственно x1, x2, ... , x(N-1). Буквой R обозначим наибольшее из чисел r, r1, ... , r(N-1). Тогда замкнутый шар с центром в xN радиуса R содержит все точки последовательности.
Лемма 2. Если подпоследовательность фундаментальной последовательности сходится, то и вся последовательность сходится к тому же пределу.
Доказательство. Пусть подпоследовательность сходится к a. Рассмотрим шар U радиуса e с центром в a. Рассмотрим другой шар с центром в a радиуса e/2; все точки подпоследовательности, начиная с Nй, лежат в этом шаре, т.е. если n>=N, то расстояние от xn до a меньше чем e/2. Далее, так как последовательность фундаментальна, существует натуральное число M такое, что для любых точек xm,xn с номерами >= M, расстояние между xn,xm меньше чем e/2. Пусть K = max(N,M). Для всех точек с номерами n>=K из неравенства треугольника расстояние от xn до a меньше чем сумма расстояний от xn до xN и от xN до a, т.е. меньше чем e/2 + e/2 = e. То есть все точки последовательности, начиная с Kй, лежат в U. То есть последовательность сходится к a.
Принцип Больцано-Вейерштрасса => критерий Коши.
Пусть последовательность фундаментальна. Тогда она ограничена по лемме 1. Тогда из неё можно выбрать сходящуюся подпоследовательность по лемме Больцано-Вейерштрасса. Тогда вся последовательность сходится по лемме 2.
Обратно, пусть последовательность сходится к a. Тогда в любом шаре радиуса e с центром в a лежат все точки последовательности, начиная с некоторой точки номер N. Тогда расстояние между любыми двумя точками с номерами, большими N, не превосходит диаметра шара, что и означает фундаментальность.
Критерий Коши => принцип Коши-Кантора.
Пусть есть система стягивающихся вложенных отрезков. Через a1, a2, a3, ... обозначим последовательность левых концов отрезков, через b1, b2, b3, ... последовательность правых концов. Рассмотрим последовательность a1, b1, a2, b2, ... Она фундаментальна, так как для любого e>0 существует отрезок номер N такой, что длины всех последующих отрезков меньше e, и потому расстояние между точками последовательности, начиная с точки номер 2N, меньше e. Поэтому она сходится к какому-то числу x. Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, и поэтому a1, a2, a3, ... сходится к x, b1, b2, b3, ... сходится к x. Предел монотонно неубывающей последовательности не меньше каждого из членов, предел монотонно невозрастающей последовательности не больше каждого из членов, поэтому для любого n выполняется an <= x <= bn, т.е. x принадлежит каждому отрезку. Если пересечению отрезков принадлежит точка y, не равная x, то длины отрезков не могут стать меньше чем |x-y|, так что пересечение в точности равно {x}.
