Прошу прощения за скомканность и сумбурность, а кроме того, я наверняка как всегда что-то забыл (я прям чувствую это). Но вроде как всё основное тут есть и более-менее упорядоченно.

Начну издалека. Я вот тут писал, как перед ДМС проходил длс к Принцу Персии. Дело в том, что оригинальная игра имела открытую концовку, никак не завершающую историю. Поэтому к нему и был выпущен Эпилог, рекламировавшийся как окончательная точка, несмотря на то, что он, по сути, просто отматывал концовку оригинальной игры. Но случилось неожиданное. Разработчики замахнулись на новую трилогию, и вместо изменения концовки игры, дополнение сохранило статус-кво, а само завершилось буквально словами о том, что надо всего немного подождать до выхода второй части, в которой мы узнаем продолжение истории. Есть мнение, что лучше бы этого дополнения не было - и знаете, я согласен с тем, что в данном случае открытая концовка была лучше откровенного клиффхэнгера. И я не жалею в то, что столько лет ждал возможности поиграть в это длс и наконец-то сделал это, но с учётом отсутствия продолжения мне оно кажется для истории совершенно лишним - можно сказать, что его просто делали зря, хотя само по себе оно и было неплохим. Мы к этому ещё вернёмся.

Да, мне просто так понравились первые миссии, что я поспешил восхититься, но в дальнейшем всё оказалось не так радужно. Вот я говорил о левелдизайне классном, и это действительно было так, когда пейзажи регулярно менялись - то город, то библиотека, а разрушающийся отель или готический собор, в котором происходит битва с боссом (в 3 стадии, на каждой из которых окружение меняется) - вообще конфетка. Ещё понравилось, что на этих локациях было много света, в том числе дневного, прямо как в четвёрке и перезапуске. Но потом опять начались бесконечные кишки, тоннели, канализации, как будто один уровень нарисовали и в разных вариациях его всю игру показывали. Некоторые миссии ещё и полностью филлерные и вообще ненужные для сюжета - как, например, босс-файт с огромной ходулей; он, конечно, дико запоминающийся, но если его выкинуть из игры, вообще ничего не поменяется. Его с тем же успехом можно было засунуть в конец какого-нибудь другого уровня или вообще заменить им одну из кишок, на выбор. Ещё меня в самом начале впечатлил вызов Нико - вообще необязательная опция, но каждый раз с разной катсценой, и я с удивлением подумал, неужели они так заморочились, чтоэто на каждом уровне будет? Нет, не заморочились. Не понимаю, что за перемена после ~5 миссии произошла, будь это какая-нибудь другая игра, я бы заподозрил трюк с тем, чтобы навалить вкуснятины в первые 2 часа, когда можно рефанднуть, а потом сосредоточить всё говно, когда уже поздно, как это в Мафии 3 было.

Фансервисный - вот это ты хорошо сказал. В последних миссиях фансервиса прям от души навалили, как будто в соответствии с анекдотом о том, что запоминается только последняя фраза, и поставлено это всё просто отлично. Но я несколько разочарован тем, как долго муссировали такую камерную историю. Я не думал, что весь сюжет будет вести к тому, чтобы в самом конце выяснить, что Виргил вернулся и финальной разборке с ним - я ожидал, что это разрешился где-то в середине и дальше там пойдёт что-то другое. Мотивация Данте выглядит совсем невразумительной - вся она заключается в том, чтобы дать пизду брату, чтобы что? Он с самого начала знал, что Уризен - это Вергилий, но никому об этом не говорит, а когда до него добирается, сообщает тому, что наконец-то даст ему пизды. То есть, вся игра с точки зрения Данте - это "Идём давать пизды брату, идём давать пизды брату, идём давать пизды брату, о дали пизды брату, всё конец". А чего он хотел этим добиться, почему он этого так хочет, зачем ему это вообще? Можно предположить, что он таким образом хочет защитить человечество от нового короля демонов, но об этом ни разу не говорится, и я даже не уверен, чтобы Ви говорил, что у него именно такой план.
С другой стороны, я рад получить хоть какое-то продолжение их истории после первой части, потому что то, как их история завершилась в самом начале серии мне всегда казалось донельзя жидким - Данте там даже не рефлексирует по поводу того, что только что, как оказалось, замочил брата, который он даже не знал, что есть. И ладно я понимаю, что Данте - в принципе не особо рефлексирующий чувак, но блин, он даже ни разу это не вспомнил за всю игру. Ладно Вергилий - он был зомбирован и возможно даже не помнил события первой части (как он на протяжении всей игры говорит каждый раз, когда ему напоминают о чём-то неприятном), но почему Данте вспоминает только о третьей? Speaking of which, я и сам об этом забыл, но в комментариях под трейлером на ютубе очень кстати напомнили - а как вообще Вергилий воскрес, если в первой части мы его убили вроде как с концами? Надеялся, что раскроют этот вопрос, но увы, фансервису он оказался не нужен, и я снова разочарован хотя я сейчас пересмотрел катсцены из первой части, и там Вергилий попросту растворяется во вспышке света; Мундус исчезает в такой же вспышке и при этом говорит, что ещё вернётся. Возможно, для таких мощных бесов, как они, это и не является истинной смертью, хотя я склонен думать, что у кого-то просто самомнение зашкаливающее - но даже если Мундус действительно настолько силён, ведь его и Спарда только заточить смог, потому что, как тут выяснилось, съел в своё время плод Клайфота, то у Вергилия на тот момент такого баффа не было, а если он даёт бессмертие, то в конце пятёрки его пиздить тем более бессмысленно - хотя этот плод вообще никакого значения для сюжета далее не имеет. И в таком свете, возникают серьёзные вопросы к самой сути их пиздиловки друг с другом - в третьей части нам показали, что их довольно тяжело убить, но Спарду вроде как убили, демоны умирают (даже в катсценах пятёрки это обговаривается), да и по геймплею можно сказать, что они всё-таки вполне смертны. Но если Вергилий оказался способен вернуться из посмертия, значит, это же может и Данте, а следовательно, чего они надеются добиться своими бесконечными драками, отправления в кому и до следующего раза? Допустим, до пятёрки они не знали, что по факту бессмертны. Тогда бы логично кому-нибудь из них сказать - "Сколько бы тебя ни убивали, ты всегда возвращаешься/Сколько бы меня ни убивали, я всегда возвращаюсь", осознать бессмысленность очередных попыток, сесть и обмозговать это, обсудить, что им делать дальше.
И вот тут мы возвращаемся к тому, с чего я начал. "Игра, которую мы ждали 11 лет", была презентована как долгожданное и окончательное завершение истории, призванная свести все линии и расставить все точки. И если, как я уже отмечал, различные моменты из разных частей она действительно сводит (правда, про вторую часть опять забыли начисто, но насчёт этого сложно жаловаться, она действительно парашная и выглядит как попытка наспех замутить сиквел к успешной игре силами аутсорс-китайцев ради сбора хайп-бабла), то касательно точек я ждал, что Данте и Вергилий наконец получат возможность обсудить свои противоречия и найти какие-то общие точки соприкосновения, в результате чего помирятся и в итоге игра завершится тем, что они решат, что больше не будут бесконечно пытаться друг друга убить. Но она завершается тем, что они берут временное перемирие, а затем снова начинают пиздиться - это даже не многоточие, это запятая, как бы говорящая, что можно ещё 10 игр про то же самое сделать. Дополнительная концовка за Вергилия немножко сглаживает это, показывая, что какие-то подвижки в этом направлении у них всё же начались, но всё равно, даже сама концепция того, что Данте и Вергилий окончательно ушли из человеческого мира (эй, а куда делось то, что Данте осознаёт себя больше человеком, чем демоном?), чтобы защищать его с той стороны, пока их наследник и человеком двуруким быть может, и пизды всем давать в девилтриггере - такое себе в виде последней точки. Мне вообще не нравится, когда "завершение истории" предстаёт в виде "а потом герои умерли, потому что если бы они продолжили жить, то продолжили бы и приключаться".
В общем, я бы получил гораздо большее удовольствие, если бы из игры вырезали всю середину, оставили первые несколько миссий, затем финал и это было бы серединой, а потом герои разрешали бы свои противоречия и налаживали отношения, можно даже не в виде пиздюлей (я бы, например, не отказался от семейного ужина, где сын знакомит блудного батю со своей невестой), и в конце они бы все помирились и начали либо вместе и дружно жить, либо разошлись бы, чтобы заниматься каждый своими делами, как это вышло с Данте и Неро по итогам четвёртой части (но видим мы это только в пятой). Кто-то, может, скажет розовые сопли, но зато это бы действительно завершало историю, а не просто прогоняло её ещё раз для тех, кому не хватило.

А вот по тем вопросам, что тут уже обсуждали - я сейчас специально не читаю предыдущие посты, чтобы они не сбивали меня с мысли, но я всё-таки не особо заметил много из того, о чём говорили. В тезисном формате. То, что мамочка якобы меньше любила Вергилия, действительно пару раз поднимается - хотя не так чтобы уж прямо, только во флешбеке, когда она спасает Данте, и когда Данте насмехается над Вергилием. Возможно, это и есть такая тонкая (а-ля ДМС3) подача его обиды, но всё же не понимаю, чем это могло так выбесить фанатов. Опять же, сам Вергилий на этот счёт не ноет и не жалуется. Не заметил я и того, чтобы его МОТИВАЦИЯ как-то изменилась от осознания того, что Неро - его сын, он даже прямо говорит, что ему на него насрать. Вообще, его резкая смена настроения в конце меня немного покоробила, и я не совсем понимаю, как на это повлияло то, что он отхватил именно от сына - про то, что ему надо как-то защищать семью или что-то такое, опять же, ни слова не говорится. Возможно, надо опять читать между строк, но тут, опять же, не помешал бы лишний диалог о павере с сыном и демонстрация того, что у него тоже есть семья, на защиту которой он и направляет свою демоническую сущность. Так что в итоге я согласен с тем, что никакого развития никто из героев не проходит - даже то, что в сцене после титров братья начинают теплеть по отношению друг к другу, обусловлено в основном тем, что им предстоит провести в обществе друг друга вечность. Ну и кстати, я понял, что вот этот прикол про то, что Данте осознаёт себя больше частью человеческого мира, а Вергилий - демонического, он отражён и в перезапуске - именно вследствие этого в финале Данте провозглашает своей целью защиту мира от демонов, а Вергилий - установление власти демонов с собой во главе. Последний бой Данте с Вергилием, кстати, очень напомнил их же бой из перезапуска, даже окружение почти такое же.
Не то чтобы я негативно относился к этому "курейзи" - или, как её называю я, японщины - но и фанатом себя назвать не могу. Когда на экране происходит что-то вроде ускорения пули другой пулей, я просто не могу воспринимать это серьёзно, исключительно как дикий гротеск. Так что, может, оно и к лучшему, что градус неадеквата несколько поубавился. Но адекватно выглядящей нечеловеческой силы, вроде пролога из той же четвёрки, действительно не хватало.
Мне вот наоборот нравится, как выглядят Данте, Неро и Вергилий особенно детализация волос, лол. Отторжение отталкивали по большей степени Триш когда-нибудь я перестану считать это имя иронической переделкой Трисс и Леди, хотя в конце и они нормально смотрелись. Но вот того, что Мария оказалась азиаткой, я совершенно не ожидал, в трёшке вроде бы ничего на это не указывало. Предположу, что она ей стала по той же причине, по которой Моррисон стал негром (в аниме он был белым). Я не против, но странно видеть такое в игре от азиатов, которым вроде бы традиционно похуй на подобные тренды. Кстати об аниме - Патти там была совсем маленькой девочкой, лет 8-10, и оно происходило через энное количество лет после трёшки. В игре же Патти исполняется 18, и если Моррисон действительно нарисован старше, а у Триш есть обоснование, то вот на Мэри прошедшие года как будто вообще не сказываются. Хотя, я слышал, азиаты стареют медленнее. А ещё я был уверен, что Нико озвучивает чернокожая - очень уж характерная манера речи, и был сильно удивлён, когда нагуглил, что её озвучивает тоже какая-то азиатка.
Касательно клоунады конкретно Данте - да, он как будто серьёзнеет с годами, но и в четвёрке, и в пятёрке есть моменты откровенного дурачания (в четвёрке, кстати, они мне нравились, хотя многие находят их кринжовыми). Но как-то забывается, что между третьей и четвёртой частями была ещё и первая, где я вообще не могу припомнить, чтобы он хоть раз пошутил. Наверное, его образ просто ещё не был до этого продуман, но смотрится странно, что он в середине истории весь из себя такой серьёзный, а потом снова начинает отчебучивать - не иначе это на него важность всей ситуации так давила. И как раз к связности сеттинга меня давно один вопрос донимал. Вот в трёшке Данте осознаёт демонскую суть и открывает свою форму демона. В однушке форма демона у него есть с самого начала, но в самом конце он открывает ёба-форму демона, не помню уж, какой такой мотивацией это объяснялось. Но помню, что подавалось это точно так же - дескать, он окончательно осознал, что является сыном великого Спарды, и это дало ему доступ к способностям, которые некоторые считают неестественными. То есть он дважды словил один и тот же катарсис и открыл 2 совершенно разные формы (хотя можно сказать, что в первый раз он просто осознал себя демоном, а во второй - уже сыном того самого). Вопрос был в том, почему тогда об этой форме никак не вспоминают ни в двушке, ни в четверушке, но вот как раз в пятёрке она наконец-то появилась снова (под названием Sin Devil Trigger). Правда, к ней опять притянули какое-то уж совершенно новое обоснование про то, что ему для этого понадобилось сливаться с силой меча. Ладно-ладно, пока я всё это пишу, и уже не первый раз за этот пост, я придумываю объяснения, что, мол, действительно, в первый раз это произошло из-за груза ответственности и близости к Мундусу, а потом он этого не мог повторить, пока не придумал, как заиметь такую абилку на постоянной основе, но это же всё на уровне головопушки, а хотелось бы чего-то более каноничного. Но, скорее всего, самый каноничный ответ на все вопросы - действительно тот, который я в прошлый раз и высказывал - "как авторам удобнее, так это и работает". Вообще, о последовательности вселенной есть такая шутка - "сеттинг настолько связный, что в таймлайне можно переставить вторую и четвёртую часть местами и для истории вообще ничего не поменяется".
За Данте в итоге было сложнее всего играть - слишком много кнопок, и слишком много всего завязано на одни и те же кнопки. Особенно тянуться к переключателю режимов той же рукой, что и движением управляет, было неудобно. За Вергилия я, конечно, попробую поиграть из интереса, но проходить им игру вряд ли буду, по крайней мере, сейчас (хотя четвёрку в своё время пробежал не только за него, но и за Триш с Леди). Вообще, мне кажется, что в этой части был самый аккуратный интерфейс, чем игра принесла удовольствие, но из-за каких-то геймдизайнерских решений (не помню уже, из-за каких именно) я порой сильно негодовал в духе "Ёбаные японцы, блядь, так и не научились нормально игры делать).
Ну и кстати, сюжетный твист я, конечно, узнал, когда игра вышла, но детали к моменту этого прохождения уже позабыл. Но всё равно прочитал его ещё миссии на пятой - а потому что он один в один повторяет твист, совершенно внезапно, из Shadow of Revan который кто-то тут осознанно пропустил. Я где-то тут кидал видос с одной из его концовок - там этот момент отчасти раскрыт (от другой части он раскрыт в другой концовке).
А ещё, если кто не знает таких парней, как Уэс и Флинн, хочу посоветовать их ролик как раз по этой теме. После прохождения некоторые шутки даже стали более понятны:
https://www.youtube.com/watch?v=sQwF9IwWYC0

В конечном итоге я бы сказал, что эта часть действительно была нужна для игроков, но к сожалению, для общей истории - не настолько.

Два множества называются равномощными, если между ними есть хотя бы одна биекция.
Если множество равномощно некоторому конечному ординалу (то есть натуральному числу n), то мы говорим, что это множество конечно и содержит n элементов.
Мы говорим, что множество бесконечно, если оно не является конечным. То есть множество бесконечно, если оно не равномощно никакому натуральному числу n.

Мы говорим, что множество счётно, если оно равномощно множеству натуральных чисел. Счётные множества - это как бы такие множества, которые можно "расположить в виде строки". Например, множество натуральных чисел 0, 1, 2, 3, ... счётно, множество являющихся целыми квадратами натуральных чисел 1, 4, 9, 16, ... счётно, множество целых отрицательных чисел -1, -2, -3, ... счётно, множество всех целых чисел 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ... счётно.

Бесконечный ординал и его последователь равномощны. В самом деле, пусть X - бесконечный ординал, и Y = X∪{X} - его последователь. Так как X бесконечно, ординал ω является подмножеством X. Рассмотрим функцию f: X→Y, определённую так. Ординалу 0 сопоставим X, любому другому конечному ординалу x сопоставим ординал x+1, а все остальные ординалы оставим неподвижными. Легко видеть, что f - биекция.

Мы говорим, что мощность множества M меньше или равна мощности множества N, если есть хотя бы одна инъекция M в N. Мы говорим, что мощность множества M строго меньше мощности множества N, если есть хотя бы одна инъекция M в N, но нет ни одной биекции между M и N.

Лемма Кантора. Между множеством и его булеаном нет биекции.
Доказательство. Пусть M - множество. Предположим, что между ним и его булеаном есть биекция. Эта биекция сопоставляет произвольному элементу множества M некоторое подмножество M. То есть образами элементов M являются подмножества M. Мы назовём элемент множества M обычным, если он является элементом своего образа, и необычным в противном случае; всякий элемент M является либо обычным, либо необычным. Рассмотрим множество всех необычных элементов M. Оно является элементом булеана M и потому является образом некоторого элемента x из M. Каким является элемент x, обычным или необычным? Если x является обычным, то он должен быть элементом множества всех необычных элементов, то есть быть необычным; это невозможно. Если же x является необычным, то он должен быть элементом множества всех обычных элементов, а потому должен быть обычным; это тоже невозможно. Значит, рассматриваемой биекции нет.

Теорема Кантора. Мощность множества строго меньше мощности булеана этого множества.
Доказательство. Чтобы инъективно отобразить множество X в ℘(X), достаточно каждому x из X сопоставить множество {x}. А биекции между X и ℘(X) нет по лемме.

Из теоремы Кантора следует, что бывают разные бесконечности. Например, мощность ω строго меньше мощности ℘(ω).

В общем случае довольно сложно понять, есть ли между двумя множествами хотя бы одна биекция. Имеется, однако, инструмент, который несколько упрощает дело.

Теорема Кантора-Бернштейна. Пусть есть два множества. Если мощность первого меньше или равна мощности второго, а мощность второго меньше или равна мощности первого, то эти два множества равномощны.

Доказательство. Пусть f: A→B и g:B→A две инъекции. Требуется доказать, что есть биекция h: A→B.
Для всякого a из A его предшественником назовём такой b из B, что g(b) = a. Поскольку g инъективно, у каждого a не больше одного предшественника. Аналогично, для всякого b из B его предшественником назовём такой a из A, что f(a) = b. У элемента либо вообще нет предшественника, либо есть ровно один предшественник.
Для каждого a из A построим максимально возможную цепочку предшественников: a, g(b), f(a'), g(b''), ...
здесь g(b) = a, f(a') = b, g(b'') = a' и т.д. Весом элемента a назовём длину максимальной цепочки минус 1 (минус стоит для удобства). Если цепочка предшественников конечна, то её вес равен натуральному числу n. Если цепочка бесконечна, то её вес есть ω.
Пусть A0 - множество элементов A веса 0, ... An - множество элементов веса n, ... , Aω - множество элементов, имеющих бесконечные цепочки предшественников.
Аналогично определяются веса элементов B и множества B0, B1, ... , Bω.

Заметим, что между A0 и B1 есть биекция: элементу a из A0 соответствует элемент f(a). Это биекция, потому что у неё есть обратное отображение: элементу b' из B1 соответствует его прообраз. Этот прообраз лежит в A0, потому что вес b' равен 1.
Аналогично, между A1 и B0 есть биекция: элементу a' из A1 соответствует элемент b из B0 такой, что g(b) = a'.

Так же устроены биекции между A2 и B3, A3 и B2, и т.д. Таким образом, получаем биекцию между множеством элементов конечного веса в A и множеством элементов конечного веса в B. Осталось получить биекцию между Aω и Bω. Для этого заметим, что каждому элементу a из Aω соответствует один-единственный элемент b=f(a) из Bω. И у этого соответствия есть обратное отображение: каждый элемент b из Bω имеет предшественника a в Aω такого, что f(a) = b.

Итак, теорема доказана. Пикрелейтед.

Кардинал - это ординал, который не равномощен никакому меньшему ординалу. Все конечные ординалы - кардиналы. Это можно доказать с помощью математической индукции. Они называются конечными кардиналами. Бесконечные кардиналы - это кардиналы, не являющиеся конечными. Бесконечные кардиналы называются алефами. ω - наименьший бесконечный кардинал. Все бесконечные кардиналы - это предельные ординалы (но не все предельные ординалы - бесконечные кардиналы). В самом деле, если некий кардинал не является предельным, то он имеет предшественника; но ведь он равномощен своему предшественнику, следовательно, не является кардиналом.

Пусть множество M вполне упорядочено. Тогда, по теореме о вполне упорядоченных множествах, оно изоморфно одному-единственному ординалу и потому биективно отображается на, по крайней мере, один ординал. То есть существует множество равномощных ему ординалов. Среди этих ординалов существует наименьший ординал. Он является кардиналом, так как не равномощен никакому из предшественников. Этот кардинал мы назовём мощностью множества M. Ясно, что если два множества равномощны, то их кардиналы равны. Вот мы и определили, что же такое мощность множества сама по себе; до этого у нас было лишь понятие двух равномощных множеств, но мощность не была объектом.

На основании аксиомы выбора мы можем утверждать, что у любого множества есть мощность, которая является кардиналом. Ведь любое множество может быть вполне упорядочено.

Для любого ординала a существует кардинал, больший a. Он обозначается символом a⁺ (a с плюсиком) и называется кардинал-последователь ординала a. Следовательно, для каждого кардинала есть больший кардинал.
Доказательство. Рассмотрим функцию Хартогса H(x), заданную на классе всех множеств. Если x - множество, то числом Хартогса H(x) для x называется наименьший ординал a, для которого нет инъекции из a в x. Если M - множество, то класс всех полных порядков на частях M является множеством. Следовательно, класс ординалов, инъективно отображающихся в M, тоже является множеством. Но поскольку класс всех ординалов не является множеством, существуют ординалы, не отображающиеся инъективно в M. Следовательно, существует наименьший такой ординал. То есть число Хартогса существует для каждого множества M. Нетрудно видеть, что число Хартогса - кардинал. Определим a⁺ для ординала a как H(a).

Если у нас есть какое-то множество кардиналов, то супремум этого множества - кардинал.

Бесконечные кардиналы обозначаются с помощью символа ℵ. Каждому ординалу с помощью нижеследующего определения по трансфинитной рекурсии соответствует кардинал.
Символом ℵ₀ (алеф-нуль) обозначается ω.
Символом ℵ(a+1) обозначается кардинал-последователь кардинала ℵa, где a+1 - ординал-последователь ординала a.
Пусть a - предельный ординал, и для каждого ординала b, меньшего a, определён кардинал ℵb. Тогда символом ℵa обозначается супремум множества всех кардиналов ℵb, где b<a.

Кардинал ℵ(a+1) называется преемником (successor) кардинала ℵa, или, иначе, последователем.
Кардинал ℵλ, где λ - предельный ординал, называется предельным кардиналом.

Вдобавок к алефам можно ввести символы ωa. Мы положим ωa = ℵa; например, ω₀ = ℵ₀ = ω. Нужно заметить, что ординалы ωa - это очень большие ординалы. Ординал ω₁ уже несчётен, он больше даже эпсилон-нулевого.

Пусть a - ненулевой предельный ординал. Пусть b - другой предельный ординал, и пусть {an, n<b} - возрастающая трансфинитная последовательность длины b. Мы будем говорить, что последовательность {an} кофинальна в a, если предел этой последовательности при n->b равен a.
Пусть a - ненулевой предельный ординал. Пусть A - подмножество a. Мы будем говорить, что A кофинально в a, если супремум A равен a.
Пусть a - бесконечный предельный ординал. Кофинальность a - наименьший предельный ординал b такой, что существует последовательность длины b, кофинальная a.
То есть кофинальность a - это наименьшая из мощностей всех тех множеств, которые кофинальны a.
По-русски почему-то принято говорить "конфинальная последовательность", "конфинальное множество", "конфинальность".

Кофинальность a - предельный ординал. Он обозначается cf(a). В случаях, когда это не ведёт к неточностям, скобки можно опускать и писать cf a. Ясно, что cf a меньше или равна a.
Можно доказать, что cf (cf a) = cf a.
Если a - ненулевой предельный ординал и A - подмножество a, кофинальное a, то порядковый тип A больше или равен cf A.
Если предел некоторой неубывающей c-последовательности элементов a равен a, то cf a = cf a.
Бесконечный кардинал ℵa называется регулярным, если он равен своей кофинальности. Он называется сингулярным, если больше своей кофинальности.
Кофинальность каждого предельного ординала - регулярный кардинал.

Прежде чем строить теорию кардиналов дальше, вернёмся ненадолго к классу всех ординалов. Класс Ord×Ord всех упорядоченных пар ординалов вполне упорядочен с помощью следующего порядка: (a,b) < (p,q) тогда и только тогда, когда или max{a,b} < max{p,q}, или max{a,b} = max{p,q} и a<p, или max{a,b} = max{p,q} и a=p и b<q.
Можно доказать, что это отношение (обобщение алфавитного порядка) действительно является полным порядком на Ord×Ord, достаточно погуглить по словам the canonical well-ordering on pairs of ordinals. Если мы обозначим как Г(x,y) порядковый тип множества всех пар (a,b), меньших чем (x,y) в смысле этого порядка, то установим биекцию из Ord×Ord в Ord. Более того, (a,b)<(p,q) тогда и только тогда, когда Г(a,b)<Г(p,q). Отсюда можно вывести, что Г(ω,ω) = ω и, более того, что для любого ординала a Г(ωa, ωa) = ωa.

В классе кардиналов можно ввести арифметические операции, с помощью геометрического определения.
Пусть m и n - два кардинала. Пусть A - какое-нибудь множество мощности m, B - какое-нибудь множество мощности n, и пусть A и B не пересекаются.

Положим, что
m+n = card(A∪B)
m×n = card(A×B)
m^n = card(A^B)
Здесь A×B - декартово произведение, A^B - множество всех функций из B в A.

Чтобы эти слова можно было бы принять в качестве корректного определения, нужно, чтобы определяемые объекты определялись однозначно - чтобы выбор A и B мог быть произвольным. Поэтому нужно доказать независимость определения от выбора A и B. Но это делается тривиальным повторением определений.

Эти определения дают новый, немного более техничный взгляд на бесконечные множества.

Лемма (о мощности булеана). Если card(A) = m, то card(P(A)) = 2^m.
Чтобы доказать эту лемму, построим биекцию между множеством P(A), - множеством всех подмножеств A, - и множеством всех функций из A в 2 = {0, 1}.
То есть нам нужно каждому подмножеству A сопоставить одну-единственную функцию из A в {0,1}.
Сделаем мы это так. Пусть M - произвольное подмножество A. Пусть χM - функция из A в {0,1} такая, что χM(a) равна 1 тогда и только тогда, когда a является элементом M. Такая функция называется характеристической функцией множества M, или, иначе говоря, индикатором множества M. Из определений ясно, что отображение, которое каждому множеству сопоставляет его индикатор, будет биекцией.

С помощью этой леммы теорема Кантора о том, что множество не равномощно своему подмножеству, быть переформулирована в терминах кардиналов следующим образом: для каждого кардинала m верно, что m < 2^m.

В классе кардиналов операции + и × не только ассоциативны, но ещё и коммутативны и дистрибутивны. Кроме того, верны следующие утверждения:
(a×b)^c = a^c × b^c ; a^(b+c) = a^b × a^c ; (a^b)^c = a^(b×c) ; если a≤b, то a^c ≤ b^c ; если 0 < a ≤ b, то c^a ≤ c^b ; a^0 = 1 ; 1^a = 1 ; 0^a = 0; для любых кардиналов a,b,c.

Теорема. Из вполне-упорядочивания на Ord×Ord следует, что ℵa + ℵb = ℵa × ℵb = max{ℵa, ℵb} для каждых ординалов a и b.

С помощью аксиомы выбора арифметические операции в классе кардиналов превращаются в целую теорию, с помощью которой многие факты о бесконечных множествах можно получать тривиальными вычислениями.

Главное замечание здесь - из того, что всякое множество может быть вполне упорядочено, следует, что мощность каждого бесконечного множества является алефом. Поэтому в присутствии аксиомы выбора (как это имеет место в ZFC) теория мощности сводится к теории алефов. Сложение и умножение кардиналов существенно упрощаются: пусть a и b два кардинала, тогда они являются алефами и потому a+b = a×b = max{a,b}. Зато интересные вещи происходят с возведением в степень.

Лемма. Пусть a и b - два кардинала, причём b - бесконечный. Если 2 ≤ a ≤ b, то a^b = 2^b.
Доказательство. Мы будем использовать утверждения об арифметике кардиналов.
2^b ≤ a^b ≤ (2^a)^b = 2^(a×b) = 2^b. Вот и всё.

Пусть {ai} - семейство кардиналов, индексированное множеством I. Пусть {Xi} - семейство попарно непересекающихся множеств, индексированное тем же самым множеством индексов, причём card(Xi) = ai.

Определим сумму семейства кардиналов {ai} как мощность объединения семейства {Xi}. Будем обозначать эту сумму как Σai.
Определим произведение семейства кардиналов {ai} как мощность декартова произведения ПX семейства {Xi}. Будем обозначать это произведение как Πai.

Теорема Кёнига. Пусть {ai} и {bi} - два семейства кардиналов, индексированные одним и тем же множеством, причём для каждого i верно, что ai < bi. Тогда Σai < Πbi.

Формулировка этой теоремы довольно проста, но из неё следует много любопытных следствий.

Следствие 1. a < 2^a для любого a.
Доказательство. По теореме Кёнига, 1+1+1+... (a раз) строго меньше чем 2×2×2×... (a раз).
Следствие 2. cf(2^ℵa) > ℵa.
Следствие 3. cf(ℵa ^ ℵb) > ℵb.
Следствие 4. a < a^cf(a) для каждого бесконечного кардинала a.

Теория, которую мы развивали до этого, в основном касалась счётности. Сосредоточимся теперь на несчётных множествах.

Теорема (Кантор). Множество Bin всех счётных последовательностей из нулей и единиц несчётно.
Доказательство. Приём доказательства, которым мы воспользуемся, называется диагональный метод Кантора. Для удобства речи будем считать, что натуральные числа начинаются с единицы.
Предположим, что мы установили биекцию f между множеством натуральных чисел и множеством всех последовательностей из 0 и 1, то есть каждой последовательности сопоставили её номер, и по каждому номеру нам известна последовательность. Определим последовательность x следующим образом. Если в последовательности номер 1 первым элементом является число 0, то первым элементом последовательности x положим число 1; если же первым элементом последовательности номер один является число 1, то первым элементом описываемой нами последовательности x положим число 0. Аналогично для каждого натурального n: если в последовательности номер n на n-м месте стоит 0, то в x на n-м месте поставим 1, а иначе поставим 0. Поскольку мы перенумеровали все последовательности, у последовательности x тоже есть какой-то номер m. Но последовательность x отличается от последовательности номер m, у них m-ые элементы не равны. Противоречие означает, что биекции нет.

Следствие 1. Множество всех подмножеств натуральных чисел несчётно. Иными словами, 2^ℵ₀ > ℵ₀
Доказательство. Рассмотрим множество натуральных чисел N. Каждому подмножеству сопоставим его характеристическую функцию, получим биекцию между 2^N и ℘(N). Применим нашу теорему.

Следствие 2. Множество R всех вещественных чисел несчётно.
Доказательство. Запишем каждое вещественное число в системе счисления по основанию 2, по теореме Кантора-Бернштейна-Шрёдера получим биекцию между R и Bin (теоремой К.-Б.-Ш. нужно пользоваться потому, что две разные последовательности нулей и единиц могут быть именами одного и того же вещественного числа, например 0.1111... = 1.0000... ). Применим нашу теорему.

В ходе доказательства следствий мы получили биекции между R и Bin и 2^ℵ0 и Bin. Поэтому R и 2^ℵ0 равномощны. Мощность множества всех вещественных чисел называется континуум и обозначается готической буквой c. Кардинал c - это какой-то кардинал. Но какой?

Ясно, что c больше или равен ℵ1. Логично предположить, что с - это и есть ℵ1, ведь откуда могут взяться бесконечные множества, лежащие между натуральными и вещественными числами? Предположение, что c = ℵ1, называется континуум-гипотезой, обозначается CH. Кантор выдвинул эту гипотезу в 1877 году. У Кантора, однако, не получилось ни доказать эту гипотезу, ни опровергнуть её. И не только у Кантора; континуум-гипотеза долгое время не поддавалась никому. В 1900 году Гильберт включил континуум-гипотезу в свой известный список самых интригующих открытых математических проблем. В 1940 году Курт Гёдель сумел доказать, что ни с помощью ZF, ни с помощью ZFC континуум-гипотезу нельзя опровергнуть; в 1963 году профессор Пол Коэн открыл, что континуум-гипотезу в ZFC нельзя и доказать. Континуум-гипотеза стала первой в череде гипотез, которые интересны и содержательны, но о которых в ZFC нельзя сказать ничего.

Континуум-гипотеза имеет более сильную версию: обобщённую континуум-гипотезу, GCH. Звучит она так: равенство 2^ℵa = ℵ(a+1) верно для каждого ординала a. GCH тоже независима от ZFC.

Континуум-гипотезу нельзя доказать в ZFC, однако идея, что последующий кардинал равен мощности предыдущего кардинала, всё-таки красивая. Если её нельзя выразить с помощью алефов, то почему бы не взять следующую букву еврейского алфавита? Давайте определим числа бет по рекурсии.
ℶ₀ = ℵ₀. ℶ(a+1) = 2^ℵa, если a непредельный ординал. ℶa = sup{ℶb; b<a}, если a - предельный ординал.
Обобщённая континуум-гипотеза переформулируется в этом случае так: для любого ординала a верно равенство алеф-a и бет-a.

Если принять GCH, то будут верны следующие равенства.
1. Если a ≤ b, то a^b = b⁺
2. Если cf a ≤ b < a, то a^b = a⁺.
3. Если b < cf a, то a^b = a.

Кроме того, мы можем рассмотреть функцию гимель: ℷ(x) = x^ cf x. Она пригодится для определения некоторых других объектов и гипотез.

Кардинал a называется сильным предельным кардиналом, если 2^b < a для каждого b < a. Алеф-нуль - сильный предельный, например.
Понятно, что сильный предельный кардинал - это предельный кардинал. Если GHC принята, то каждый предельный кардинал - сильный предельный.
Если a - сильный предельный кардинал, то 2^a = ℷ(a).

Кардинал называется слабо недостижимым, если он несчётный, регулярный и предельный. Кардинал называется сильно недостижимым, если он несчётный, регулярный и сильно предельный. Каждый сильно недостижимый кардинал является слабо недостижимым. Если GCH верна, то каждый слабо недостижимый кардинал - сильно недостижимый. Недостижимые кардиналы называются так потому, что их существование не может быть доказано с помощью обычных теоретико-множественных операций и даже с помощью аксиомы замены. Более того, утверждение о существовании хотя бы одного недостижимого кардинала равносильно утверждению о непротиворечивости ZFC. По сути, алеф-нулевой является недостижимым кардиналом для конечных кардиналов; недостижимые кардиналы относятся к обычным кардиналам так же, как алеф-нулевое относится к конечным кардиналам. Недостижимые кардиналы - это первый шаг в область, которая лежит дальше, чем запредельное. Наука об этой области бесконечного называется изучением больших кардиналов; кроме недостижимых кардиналов, есть и другие большие кардиналы. Недостижимые кардиналы появились в теории множеств довольно рано, о слабо недостижимых кардиналах размышлял ещё Хаусдорф в 1908 году. Тем не менее, в современной формулировке недостижимые кардиналы были введены Серпинским и Тарским в 1930-е.

Имеется связанная с большими кардиналами гипотеза сингулярных кардиналов, singular cardinal hypothesis.
SCH: для каждого сингулярного кардинала a если 2^cf a < a, то a^ cf a = a⁺.
SCH следует из GCH и независима от ZFC. Если большие кардиналы существуют, то SCH неверна.

Вернёмся, впрочем, в область маленьких бесконечностей.

С помощью арифметики кардиналов легко доказать, что множества всех последовательностей натуральных чисел и даже всех последовательностей вещественных чисел имеют мощность c. Ибо ℵ0^ℵ0 = (2^ℵ0)^ℵ0 = 2^(ℵ0×ℵ0) = 2^ℵ0. Кроме того, множество всех комплексных чисел, - которое равномощно множеству всех пар вещественных чисел, - тоже имеет мощность континуума, ибо 2^ℵ0 × 2^ℵ0 = 2^ℵ0. Множество рациональных чисел счётно, так как каждое рациональное число можно сопоставить единственной несократимой дроби с целым числителем и натуральным знаменателем, а мощность произведения множества целых чисел на множество натуральных чисел счётна.

Как известно, множество вещественных чисел упорядочено. Этот порядок является линейным, но не является полным: например, во множестве всех вещественных чисел нет наименьшего числа. Вообще, множество вещественных чисел неограничено: в нём нет ни наибольшего, ни наименьшего элемента. Порядок на R является плотным (между неравными числами можно вставить число, то есть если a<b, то существует такое c, что a<c<b). Более того, множество рациональных чисел плотно в R: между неравными вещественными можно вставить рациональное. А ещё порядок на R является непрерывным: непустая ограниченная сверху часть R имеет супремум, непустая ограниченная снизу часть R имеет инфимум. Непрерывный порядок по-русски иногда называют полным (по-английски он complete); не нужно путать это со вполне упорядоченным множеством (well-ordered set).

Есть пара известных теорем о плотных множествах; обе они принадлежат Кантору.

Теорема 1. Любые два счётные плотные неограниченные линейно упорядоченные множества изоморфны.
Теорема доказывается методом, который называется https://en.wikipedia.org/wiki/Back-and-forth_method

Теорема 2. R со стандартным порядком является единственным линейно непрерывно упорядоченным множеством, которое содержит плотное счётное подмножество, порядково изоморфное множеству рациональных чисел.
Доказательство. Возьмём два множества X и X', удовлетворяющих условию теоремы. Между их счётными плотными подмножествами P и P' есть изоморфизм f. Он может быть единственным образом продолжен до изоморфизма F между самими множествами: достаточно за образ точки из первого множества принять точную верхнюю грань образов точек плотного множества, которые меньше неё. То есть F(x) = sup{f(p); p≤x и p∈P}. Единственность проверяется элементарно.

Некоторую дополнительную информацию об упорядоченном множестве можно извлечь, рассмотрев множество сечений в нём. Сечение - это разбиение линейно упорядоченного множества на две части, нижний класс и верхний класс, так, чтобы любой элемент нижнего класса был меньше любого элемента верхнего класса; иногда налагают дополнительные требования. Иногда множество всех таких сечений может сказать что-то полезное и о самом множестве. Например, классическая конструкция множества вещественных чисел, предложенная Дедекиндом, - это множество всех сечений рациональных чисел. Каждое вещественное число отождествляется с некоторым сечением. Арифметические операции и предельный переход на R вводятся, опять-таки, с помощью сечений. Подробнее об этом написано почти в любом учебнике анализа.

С линейно упорядоченными множествами связана известная гипотеза Суслина, выдвинутая в 1920 году.

В R открытым интервалом (a;b), где a<b, называется множество таких чисел x, что a < x < b. Поскольку Q плотно в R, каждый открытый интервал содержит хотя бы одно рациональное число. А поскольку Q счётно, любое семейство попарно не пересекающихся открытых интервалов R либо конечно, либо счётно.
Пусть теперь M - произвольное плотное линейно упорядоченное множество. Если любое семейство попарно не пересекающихся открытых интервалов в M не более чем счётно, то мы говорим, что M удовлетворяет условию счётности цепей, или условию Суслина.

Гипотеза Суслина, SH: пусть непрерывное плотное неограниченное линейно упорядоченное множество удовлетворяет счётности цепей, тогда оно порядково изоморфно R.
Контрпример к гипотезе Суслина - множество, обладающее такими свойствами, но не изоморфное R - называется суслинской линией, или континуумом Суслина. Гипотеза Суслина в том, что суслинских линий нет. Континуум Суслина обладает в некотором смысле пугающими свойствами, и, более того, даже порождает небольшой зоопарк из противоестественных объектов, поэтому вполне объяснимо желание доказать несуществование линий Суслина. Однако как показали в 1967-1971 годах Йех, Тенненбаум и Соловэй, гипотезу Суслина нельзя ни доказать, ни опровергнуть в ZFC. Для доказательства неопровержимости гипотезы эти учёные брали множество, подходящее под условия гипотезы Суслина, некоторым образом выращивали из него так называемое дерево Суслина и небольшой переделкой превращали дерево Суслина в континуум Суслина. Для доказательства недоказуемости гипотезы они изобрели способ убивать деревья Суслина; единожды убитое дерево становилось мёртвым. С помощью некоторой продвинутой версии коэновского метода форсинга, они в некотором запредельно-бесконечном процессе умертвили все деревья Суслина и показали таким образом, что суслинская линия не вырастет из множества.

На множестве вещественных чисел, как известно, можно ввести стандартную топологию. В ближайших нескольких абзацах мы будем работать с ней. Известно, что R является пространством сепарабельным (содержит счётное плотное подмножество, а именно рациональные числа) и полным (всякая последовательность Коши имеет предел). Подмножество M множества R называется открытым, если из того, что точка x является элементом M, следует, что имеются такие числа a и b, что a<x<b и интервал (a;b) есть часть M. Множество называется замкнутым, если его дополнение открыто. Объединение любого семейства открытых множеств открыто, пересечение конечного семейства открытых множеств открыто, всё R и пустое множество открыты. Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто, объединение конечного семейства замкнутых множеств замкнуто, всё R и пустое множество замкнуты. Открытое множество, элементом которого является точка x, называется окрестностью точки x.

Если M - какое-то множество, то точка m из M называется изолированной, если найдётся хотя бы одна окрестность U точки m такая, что пересечение U и M равно {m}. Множество называется совершенным, если оно не имеет изолированных точек. Можно доказать, что совершенное подмножество R имеет мощность континуума. Верна теорема Кантора-Бендиксона (1883 год): каждая несчётная замкнутая часть R есть объединение совершенной части и какой-то не более чем счётной части.

Замыканием множества M называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих M. Внутренностью множества M называется объединение всех открытых подмножеств M. Множество M называется нигде не плотным, если внутренность его замыкания есть пустое множество. Множество называется множеством первой категории Бэра, если оно является объединением счётного числа нигде не плотных множеств. Множества второй категории Бэра - множества, не являющиеся множествами первой категории. Множество R является множеством второй категории Бэра. Более того, верна теорема Бэра (1899): пересечение счётной последовательности плотных частей R является плотной частью R.

Пусть S - множество. Алгеброй подмножеств S мы будем называть такое семейство частей S, что S является элементом семейства, объединение и пересечение любых двух элементов семейства является элементом семейства, дополнение любого элемента семейства до S также является элементом семейства. Алгебра подмножеств называется сигма-алгеброй, если и объединение, и пересечение счётной последовательности её элементов снова её элемент. Не любая алгебра является сигма-алгеброй. Пересечение любого семейства алгебр является алгеброй; сигма-алгебр является сигма-алгеброй. Булеан S является алгеброй. Для любого семейства X подмножеств S существует наименьшая по включению алгебра, являющаяся надмножеством X; это пересечение всех алгебр, частью которых является x. Аналогично для сигма-алгебр. наименьшая сигма-алгебра на R, содержащая все открытые подмножества R, называется борелевской сигма-алгеброй. Её элементы называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра содержит не только все открытые множества, но и все замкнутые множества, а также некоторые множества, не являющиеся ни открытыми, ни замкнутыми. Пересечения счётных семейств открытых множеств называются G-дельта множествами, объединения счётных семейств замкнутых множеств называются F-сигма множествами.

На множестве вещественных чисел задана дефолтная мера: мера Лебега. Измеримые по Лебегу множества образуют сигма-алгебру; каждый интервал измерим по Лебегу. Следовательно, борелевская сигма-алгебра является частью этой алгебры, и потому каждое борелевское множество измеримо по Лебегу.

Рассмотрим теперь множество всех счётных последовательностей натуральных чисел. Это множество можно сделать топологическим пространством, рассмотрев для этого множество всех конечных последовательностей натуральных чисел Seq. Каждой конечной последовательности натуральных чисел s сопоставим множество O(s) всех тех бесконечных последовательностей, начало которых совпадает с s. Если теперь взять множество всевозможных O(s) в качестве базы топологии, то и получим топологическое пространство. Оно называется пространством Бэра (Берівський простір). Пространство Бэра метризуемо; более того, оно будет сепарабельным и полным. Каждая последовательность натуральных чисел может быть рассмотрена как непрерывная дробь; непрерывные дроби задают иррациональные числа. Следовательно, пространство Бэра - это топологическое пространство иррациональных чисел. Часть T множества Seq называется деревом, если сужение каждого элемента T является элементом T. Для каждого дерева T мы можем рассмотреть множество [T] бесконечных путей вдоль T: таких счётных последовательностей f, что для каждого натурального числа n сужение f на n будет элементом T. Множества [T] замкнуты в пространстве Бэра. Обратно, если какое-то множество F замкнуто в пространстве Бэра, то множество всех конечных сужений элементов из F будет деревом, обозначим его TF, и притом [TF] будет равно F. Непустое дерево называется совершенным, если для каждого его элемента t существуют два элемента s1 и s2 дерева такие, что t является сужением и первого и второго, но ни s1 не является частью s2, ни s2 не является частью s1. Замкнутое множество F пространства Бэра является совершенным тогда и только тогда, когда дерево TF является совершенным. На пространстве Бэра можно ввести меру Лебега.

Польское пространство - это топологическое пространство, которое гомеоморфно сепарабельному отделимому метрическому пространству. Стандартная топология на R, пространство Бэра, интервал [0;1] в индуцированной с R топологии, а также канторово множество, гильбертов кирпич и многие другие пространства являются польскими. Можно доказать, что каждое польское пространство является непрерывным образом пространства Бэра.

Теперь вернёмся к общим теоретико-множественным вопросам. Классическая теория множеств приобрела свой окончательный облик в основном под влиянием фон Неймана. Фон Нейман предложил аксиому фундирования, согласно которой в каждом классе, упорядоченном с помощью ∈, есть наименьший элемент.

Одна из его ключевых идей - это кумулятивная иерархия множеств, или, как теперь говорят, иерархия фон Неймана. По трансфинитной рекурсии определим V0 как пустое множество, V(a+1) как булеан Va, если a предельный, положим Va равным объединению Vb для всех b<a. Va называется верум-a. Мы определили верумы так, что у нас, между всем прочим, имеется верум-омега, соответствующий первому бесконечному ординалу. Он является объединением всех верумов с конечными индексами. Каждый верум - транзитивное множество. Каждый предыдущий верум - часть последующего. Каждый ординал a есть подмножество верум-a. Объединение всех верумов обозначается как V. V не является множеством. В аксиоматике ZFC класс V равен классу всех множеств.

Количество элементов в верумах растёт очень быстро. Уже в пятом веруме содержится 65536 элементов, а в шестом веруме элементов будет 2^65536. В верум-омега содержится счётное количество элементов, а в омега плюс первом веруме элементов будет континуум.

Один из главных инструментов фон Неймана для работы с верумами - это "принцип коллекции". Звучит он так. Если нам дано "индексированное семейство классов", совокупностью индексов которого является множество, то существует множество, содержащее хотя бы один элемент из каждого класса.

Другим ключевым инструментом является ∈-индукция и ∈-рекурсия.
Пусть T - транзитивный класс, F - свойство. Предположим, что F(0) истинно. Предположим, что если x∈T и если F(z) истинно для каждого z∈x, то F(x) истинно.
Тогда для каждого x из T истинно F(x).
Доказательство элементарно. Рассмотрим класс всех тех x из T, для которых F(x) ложно. Если он непуст, то в нём есть ∈-наименьший элемент x. Применим одно из предположений.

Аналогично определяется ∈-рекурсия. Рассмотрим транзитивный класс, зададим на нём функцию, которая по последовательности предыдущих элементов порождает следующий элемент. Тогда определена последовательность элементов класса.

Аксиомы фон Неймана, Бернайса и Гёделя таковы.
A1. Аксиома экстенсиональности.
A2. Каждое множество - класс.
A3. Только множества могут быть элементами.
A4. Для любых двух множеств есть неупорядоченная пара.

B. Для каждого одноместного предиката существует равнообъёмный ему класс.

C1. Существует индуктивное множество.
C2. Каждое семейство множеств имеет объединение.
C3. Каждое множество имеет булеан.
C4. Аксиома замены.

D. Аксиома регулярности.
E. Аксиома выбора. Существует функция F такая, что F(x) является элементом x для каждого непустого множества x.

Пожалуй, теперь можно перейти к чуть более современным вещам.

В современной математике очень часто используются определения с помощью ультрафильтров и теоретико-множественных идеалов. Например, одним из самых фундаментальных обобщений предельного перехода является предел вдоль фильтра.

Фильтры и идеалы определеляются так. Пусть S - непустое множество.

Фильтр F на множестве S - это такая совокупность подмножеств S, что:
1. S - элемент F. Пустое множество - не элемент F.
2. Пересечение двух элементов F - элемент F.
3. Надмножество элемента F - элемент F.

Идеал I на множестве S - это такая совокупность подмножеств S, что:
1. Пустое множество - элемент I. S - не элемент I.
2. Объединение двух элементов I - элемент I.
3. Подмножество элемента I - элемент I.

Нетрудно заметить, что фильтр и идеал - двойственные друг другу конструкции. Множество дополнений элементов фильтра образует идеал. Множество дополнений элементов идеала образует фильтр. Они называются дуальными.

Тривиальный фильтр на S - это множество {S}.
Пусть X - часть S. Множество всех надмножеств X называется главным фильтром на S, порождённым X.
Пусть S - бесконечное множество, пусть I - множество всех его конечных подмножеств. Оно будет идеалом. Дуальный ему фильтр называется фильтром Фреше.

Семейство множеств обладает свойством конечных пересечений, если каждое его конечное подсемейство имеет непустое пересечение. Каждый фильтр обладает этим свойством.

Простые свойства фильтров таковы.
1. Пересечение непустого семейства фильтров на S - фильтр.
2. Объединение цепи по включению фильтров (каждый последующий элемент - надмножество предыдущего) - фильтр.
3. Если семейство частей S обладает свойством конечных пересечений, то оно является подмножеством хотя бы одного какого-то фильтра.

Фильтр на S называется ультрафильтром, если для каждой части X множества S элементом этого фильтра является либо X, либо дополнение X.
Идеал на S называется простым, если дуальный ему фильтр - ультрафильтр.
Фильтр называется максимальным, если он не является собственным подмножеством никакого другого фильтра. Фильтр является максимальным тогда и только тогда, когда он является ультрафильтром.

Теорема Тарского (1930). Каждый фильтр содержится в некотором ультрафильтре.

На множестве мощности a существует ровно 2^(2^a) ультрафильтров,

Рассмотрим теперь ультрафильтры на ω; они часто используются в теоретико-множественной топологии.
Пусть D - неглавный ультрафильтр на ω. Он называется слабо селективным (weakly selective, синоним p-point), если для каждого разбиения ω на счётное количество кусочков, не являющихся элементами D, в D существует элемент, пересечение которого с каждым из кусочков конечно. Существование слабо селективных ультрафильтров следует из континуум-гипотезы (Уолтер Рудин, тот самый, 1956 год). Несуществование слабо селективных ультрафильтров совместно с ZFC.

Пусть D - неглавный ультрафильтр на ω. Он называется ультрафильтром Рамсея, если его пересечение с каждым из кусочков состоит ровно из одного элемента. Ультрафильтр Рамсея является слабо селективным, понятно. Из континуум-гипотезы следует существование ультрафильтра Рамсея.

Фильтр называется сигма-полным, если пересечение счётного семейства элементов фильтра является элементом фильтра. Идеал называется сигма-полным, если объединение счётного семейства элементов идеала является элементом идеала. На счётном множестве каждый сигма-полный фильтр - главный. Вопрос, когда на множестве существует неглавный сигма-полный ультрафильтр, ведёт вглубь теории множеств. Если такие фильтры есть, то есть и большие кардиналы.

Пусть a - кардинал. Фильтр называется a-полным, если пересечение семейства мощности a элементов фильтра является элементом фильтра. Идеал называется a-полным, если объединение семейства мощности a элементов идеала является элементом идеала.

В логике фильтры и идеалы используются применительно, главным образом, к булевым алгебрам. Дело в том, что каждому языку первого порядка можно сопоставить булеву алгебру; это так называемая алгебра Линденбаума. С помощью фильтров и идеалов можно доказать, что каждый идеал булевой алгебры содержится в простом идеале. Кроме того, каждая булева алгебра изоморфна некоторой алгебре множеств. Примерно так же, как полнота фильтров, определяется полнота булевых алгебр. Доказывается, что каждую алгебру можно вложить в полную алгебру - в её пополнение. Кроме того, для алгебр развивается небольшая теория насыщеннности. Пусть a - кардинал; алгебра называется a-насыщенной, если эту алгебру нельзя разбить на множество кусочков мощности a. Насыщение алгебры - это наименьший из кардиналов, для которых алгебра является насыщенной. Насыщенность бесконечной полной алгебры - это регулярный несчётный кардинал. Кроме того, с помощью фильтров для алгебр можно ввести операции a-дистрибутивности, где a - кардинал.

Регулярные несчётные кардиналы можно изучать с помощью теории замкнутых неограниченных множеств.

Пусть X - множество ординалов, пусть a - предельный ординал. a - предельная точка X, если супремум пересечения X и a равен a.
Пусть a - регулярный несчётный кардинал. Его подмножество называется замкнутым неограниченным, если оно неограничено и содержит все свои предельные точки кроме a. Подмножество a называется стационарным, если его пересечение с каждым замкнутым неограниченным подмножеством непусто. Пересечение двух замкнутых неограниченных множеств само является замкнутым неограниченным. Следовательно, замкнутые неограниченные множества обладают свойством конечных пересечений и потому мы можем говорить о некотором фильтре; он называется замкнутым неограниченным фильтром. Замкнутый неограниченный фильтр на a является a-полным.

Пожалуй, главный результат о стационарных множествах - это лемма, которую доказал профессор Фодор в 1956 году.
Теорема Фодора. Для каждой убывающей функции на стационарном множестве S в кардинале a, значениями которой являются кардиналы, существует стационарное подмножество S, на котором функция постоянна и равна некоторому кардиналу, меньшему a.

Из этой теоремы можно вывести, что для каждого стационарного множества S, элементами которого являются регулярные несчётные кардиналы, стационарным множеством будет любая его часть, состоящая из тех элементов, пересечение которых с S не является стационарным множеством. А отсюда уже следует теорема Соловэя. Каждое стационарное подмножество регулярного несчётного кардинала a есть объединение дизъюнктного семейства мощности a стационарных подмножеств.

В качестве дополнительного приложения можно определить особую разновидность больших кардиналов, кардиналы Mahlo. Пусть a - недостижимый кардинал. Множество всех кардиналов, меньших a, является замкнутным неограниченным подмножеством a, как и множество их предельных точек - множество всех предельных кардиналов. Если a - наименьший недостижимый кардинал, то каждый сильный предельный кардинал, меньший a, - сингулярный. Поэтому множество всех сингулярных сильных предельных кардиналов, меньших a, замкнутое неограниченное. Если a - n-ый недостижимый, то множество всех меньших его регулярных кардиналов нестационарное. Сильно (слабо) недостижимый кардинал называется сильным (слабым) кардиналом Mahlo, если множество всех регулярных кардиналов, меньших него, является стационарным.

Кроме того, с помощью ультрафильтров можно доказать любопытный факт о гипотезе сингулярных кардиналов.
Теорема (Сильвер). Если гипотеза сингулярных кардиналов верна для всех кардиналов кофинальности омега, то она верна для всех сингулярных кардиналов.

Стационарные множества можно организовать в иерархию Mahlo, или иерархию стационарных множеств. Иерархию Mahlo ввёл в начале XX века, собственно, Paul Mahlo с помощью Mahlo operation.

Топологическое пространство.
Пусть M - множество. Пусть T - некоторое множество подмножеств M. Если:
1. Пустое множество есть элемент T, M есть элемент T
2. Объединение любого семейства элементов T есть элемент T
3. Пересечение любого конечного семейства элементов T есть элемент T
то T называется топологией на M. Элементы T называются открытыми множествами.
Обычно рассматриваются только такие топологии, которые обладают свойством Хаусдорфа:
4. Если x и y - две разные точки T, то существуют два непересекающихся открытых множества U и V такие, что x элемент U, y элемент V.
Открытые множества, содержащие точку x, называются окрестностями точки x. Свойство Хаусдорфа можно переформулировать:
4. Две разные точки имеют непересекающиеся окрестности.
Окрестности x, из которых выброшена сама точка x, называются проколотыми.

На одном и том же множестве может быть много топологий. Множество с указанной топологией называется топологическим пространством. Топологическое пространство, обладающее свойством 4, называется хаусдорфовым.

Ясно, что для того, чтобы пересечение любого конечного семейства элементов T было элементом T, необходимо и достаточно, чтобы пересечение двух элементов T было элементом T. Необходимость очевидна. Достаточность можно доказать по индукции.

Фильтр.
Пусть M - множество. Пусть F - некоторое множество подмножеств M. Если:
1. Пустое множество не есть элемент F
2. F не пусто
3. Пересечение любого конечного семейства элементов F есть элемент F
4. Надмножество элемента F есть элемент F
то F называется фильтром на M.

База топологии.
Пусть T - топология на M. Пусть B - некоторое множество открытых множеств.
Если множество T равно множеству объединений всевозможных семейств элементов B,
то B называется базой топологии T. Элементы B называются окончаниями базы, или, синоним, базовыми элементами.

Это означает, что любое открытое множество является объединением некоторого, возможно бесконечного, семейства элементов базы. Поэтому когда в пространстве выбрана база, мы можем утверждать, что если x - точка открытого множества U, то существует окончание b этой базы такое, что x∈b⊂U.
База задаёт топологию однозначно. Но у одной и той же топологии может быть много разных баз. Ясно, что сама топология T является своей базой. Таким образом, хотя бы одна база существует всегда. У баз пространства могут быть разные мощности. Наименьшая из мощностей баз называется весом топологического пространства.

Две базы называются эквивалентными, если в любое окончание одной базы каждая точка входит вместе с содержащим её некоторым окончанием другой базы. Эквивалентные базы задают одну и ту же топологию.

У базы топологии есть очень полезный критерий.
Пусть B - множество подмножеств M. Оно является базой некоторой топологии на M тогда и только тогда, когда:
1. Объединение B равно M
2. Для любых U,V из B для любой точки x из U⋂V существует такое W из B, что x∈W ⊂ U⋂V.
Условие 2 означает, что любая точка пересечения двух окончаний базы входит в него вместе с некоторым содержащим её окончанием.
В частности, условие 2 выполняется, если пересечение конечного семейства элементов базы снова элемент базы - в качестве W можно взять тогда само U⋂V.

Этот критерий позволяет легко и изящно задавать топологии, указав в качестве базы множество, обладающее свойствами 1 и 2 - это задание корректно, поскольку база определяет топологию однозначно. Например, ясно, что, хотя непустое пересечение двух шаров в R^n не является шаром, оно содержит как подмножество хотя бы один шар. Таким образом, взяв в качестве базы всевозможные n-мерные шары, мы однозначно зададим топологию в R^n (она называется стандартной). Напомню, что в R^1 шаром является интервал, в R^2 шаром является круг.

Вообще, в качестве базы можно взять любое множество стандартных геометрических тел, если пересечение двух из них вместе с каждой точкой содержит объёмлющее её тело того же типа (речь об открытых телах, граница не включается). Например, в пересечении двух треугольников на плоскости каждая точка содержится вместе с маленьким треугольничком, поэтому топологию плоскости можно задавать с помощью треугольников. Так как в каждый треугольник точка входит вместе с некоторым кругом, а в каждый круг - с треугольником, база на треугольниках будет эквивалентна базе на кругах и задаст ту же топологию. Вместо треугольников можно взять квадраты, ромбы или, например, снежинки с хитрыми дырками - все они будут задавать одну и ту же топологию. В R^3 в качестве базы можно взять параллелепипеды или даже произвольную аниме-фигурку (сплошную, пустотелые не годятся). Таким образом, любое открытое в R^3 множество можно представлять себе как объединение некоторого семейства фигурок Хоро.

Предбаза топологии.
Пусть T - топология на M. Пусть B - база топологии T. Пусть P - некоторое множество открытых множеств.
Если множество B равно множеству пересечений всевозможных конечных семейств элементов P,
то P называется предбазой топологии T, порождающей базу B.

То есть множество всех конечных пересечений элементов предбазы образует некоторую базу.

Пусть M - какое-то множество. Пусть P - произвольное семейство подмножеств M. Пусть B - семейство подмножеств M, элементами которого являются пустое множество, всё множество M, все элементы P и всевозможные пересечения конечных семейств элементов P. Пусть T - всевозможные объединения всяческих, конечных и бесконечных, подсемейств B. Тогда T есть топология на M, B есть база этой топологии, P есть предбаза этой базы. Таким образом, чтобы ввести топологию на произвольном множестве, достаточно взять произвольное семейство его подмножеств и рассмотреть в качестве предбазы.

Предбазы топологий ценны, например, теоремой Александера о предбазе. Она позволяет упрощать проверку компактности пространства.

База фильтра.
Пусть F - фильтр на M. Пусть B - некоторое множество элементов этого фильтра.
Если любой элемент фильтра является надмножеством хотя бы одного элемента из B,
то B называется базой фильтра F. Элементы B называются окончаниями базы, или, синоним, базовыми элементами.

У базы фильтра есть аналогичный базе топологии критерий.
Пусть B - множество подмножеств M. Оно является базой некоторого фильтра на M тогда и только тогда, когда:
1. B не пусто
2. Пустое множество не есть элемент B
3. Для любых двух элементов из B существует элемент из B, являющийся подмножеством их пересечения.

Всякая база является базой только одного фильтра. Поэтому если мы укажем для произвольного множества M семейство частей, обладающее свойствами 1-3, то мы укажем один конкретный фильтр на этом множестве. У одного фильтра может быть много разных баз.

Две базы фильтра называются эквивалентными, если каждое окончание одной базы содержит как подмножество некоторое окончание другой базы. То есть базы B1 и B2 эквивалентны, если для каждого элемента из B1 существует являющийся его частью элемент из B2, и для каждого элемента из B2 существует являющийся его частью элемент из B1. Эквивалентные базы задают один и тот же фильтр.

Для базы фильтра, как и для базы множеств, можно ввести понятие предбазы. Предбазой фильтра в M называется семейство попарно пересекающихся подмножеств M. Если добавить к предбазе всевозможные конечные пересечения её элементов, то получится база фильтра.

Фильтры придумал Анри Картан в тридцатых годах, они были нужны ему для топологических исследований, которыми он занимался на своём семинаре. Фильтр задумывался как локальная конструкция - то есть в топологическом пространстве выделялась точка и рассматривался фильтр как бы в этой точке. Фильтр должен был быть множеством всех окрестностей точки, но возникла проблема: произвольное надмножество открытого множества не является, вообще говоря, открытым множеством. Поэтому Картан пошёл на усложнение понятия окрестности. То, что выше названо окрестностью (открытое множество, содержащее точку), Картан переименовал в открытую окрестность. Окрестностью точки x он стал называть любое множество M, которое содержит открытое подмножество U такое, что x - элемент U. То есть окрестностями точки стали не всевозможные открытые множества, содержащие эту точку, но всевозможные надмножества открытых множеств, содержащих эту точку. В таком, расширенном, смысле множество всех окрестностей точки действительно является фильтром. Однако если локально рассматривать не фильтр, а базу, то этой проблемы не возникнет. Семейство всех окрестностей (окрестностей в обычном смысле, то есть открытых окрестностей) точки x является базой. Оказывается, что рассмотрения только баз, без упоминания фильтров, достаточно, чтобы развить довольно богатый анализ. Поэтому обычно окрестности понимают в узком смысле, а не в смысле Картана. Терминология Картана, однако, весьма популярна.

Пусть дано топологическое пространство, A и B - два его непустых подмножества. A отделимо от B, если существует открытое множество, содержащее A, но не содержащее B. A и B отделимы, если есть два непересекающихся открытых множества, содержащие соответственно A и B. Может быть так, что A отделимо от B и B отделимо от A, но A и B не отделимы. A и B функционально отделимы, если есть непрерывная функция из пространства в отрезок [0;1], равная 0 на A и 1 на B.

Слово "точка" часто обозначает одноэлементное множество, содержащее эту точку. В определениях ниже точки считаются неравными, а замкнутые множества не содержат точку и не пересекаются. T0 - аксиома Колмогорова, T1 - Фреше, T2 - Хаусдорфа, T3 1/2 - Тихонова.

Топологическое пространство называется:
T0, если для любых двух точек верно, что хотя бы одна из них отделима от другой;
T1, если -//- что любая из них отделима от другой;
T2, если любые две точки отделимы;
T3, если точка и замкнутое множество отделимы;
регулярным, если оно T3 и T1;
T3 1/2, если точка и замкнутое множество функционально отделимы;
T4, если любые два замкнутых множества отделимы;
нормальным, если оно T4 и T1;
T5, если любое его подмножество нормально;
T6, если оно T1 и любые два замкнутых множества функционально отделимы.

Очевидно, что в T1-пространствах точки замкнуты.
T2 влечёт T1, T1 влечёт T0.
Регулярность влечёт T2.
Нормальность влечёт регулярность.
T5 влечёт нормальность.
T6 влечёт T5.

Пространство является T6 титтк оно нормально и любое его замкнутое подмножество типа G-дельта. Все метрические пространства - T6. Все T2-компакты нормальны.

---

Пусть T - топологическое пространство, A и B - два его замкнутых подмножества.
Пусть f - непрерывная функция из T в [0;1].
Пусть f(A) = 0, f(B) = 1.

Функция непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз открытого множества открыт.
Возьмём вот такие открытые в отрезке множества: [0;0.5) и (0.5;1].
Их f-прообразы не пересекаются.
Вдобавок, эти прообразы как подмножества T открыты, ибо f непрерывна.
Первый из них содержит A.
Второй из них содержит B.
Таким образом, у A и B есть непересекающиеся окрестности.

То есть функциональная отделимость замкнутых множеств влечёт обычную.
То есть T6 влечёт по меньшей мере нормальность.