>>90351 Это не парадокс. Этот пример иллюстрирует твоё непонимание, что такое действительное число. Объясняю в который уже раз.
да, я знаю, без введения фундаментальных последовательностей объяснение неполноценно и я пишу ужасно нестрого, но сойдёт и так Натуральные числа - это числа 1, 2, 3, 4, 5, ... Сейчас я построю действительные числа из натуральных.
Целые числа - это числа 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ...
Дробь - это двухэлементная пара (n,z) или, другое обозначение, n/z, где n-натуральное, а z - целое.
Две дроби a1/a2 и b1/b2 эквивалентны, если a1b2 = b1a2.
Рациональное число - это множество эквивалентных друг другу дробей.
Например R1 = {1/2; 2/4; 4/8; 8/16; etc} или R2 = {1/1; 2/2; 3/3; 4/4; etc.} R1 и R2 - рациональные числа.
Каждое рациональное число однозначно определяется некоторой несократимой дробью, входящей в его состав. Так, R1 определяется 1/2, а R2 определяется 1. Отождествим рациональные числа с несократимыми дробями.
Последовательность рациональных чисел - это (говоря неформально) бесконечный набор значений Rn = {{R1, R2, R3, R4, ... }} , где про R1 можно сказать, что оно
первое, про R2 - что оно
второе и т.д. Иными словами, последовательность - это некоторое отображение натуральных чисел на рациональные.
Когда мы говорим, что последовательность (рациональных) чисел Rn эквивалентна некоторой последовательности (рациональных) чисел Ln, это означает, что какое бы малое (рациональное) число e>0 мы не взяли, мы сможем подобрать такое натуральное (принципиально натуральное) число N, что все члены последовательностей Rn и Ln, начиная с эн плюс первого члена будут отличаться друг от друга не более чем на e. То есть для любого e>0 существует такое N, что для всех n>N
|r_n - l_n| < e.
Действительное число - это множество эквивалентных друг другу последовательностей рациональных чисел.
Действительное число однозначно определяется любой из последовательностей, входящих в его состав.
0.(9) - это последовательность {{9/10, 99/100, 999/1000, 9999/10000, ... }}
1 - это последовательность {{1/1, 1/1, 1/1, 1/1, 1/1, ...}}
Последовательности 0.(9) и 1 эквивалентны друг другу. В самом деле, для любого числа a=a1/a2 существует десятичная дробь b=b1/10^k, такая, что b<k. Разность между членами последовательностей 0,(9) и 1, начиная с k+1, будет меньше a, это очевидно. Следовательно, 0.(9) эквивалентна 1. Следовательно, они задают одно и то же вещественное число v:
v = {
{{9/10, 99/100, 999/1000, 9999/10000, ... }},
{{1/1, 1/1, 1/1, 1/1, ...}},
...
} или, если вспомнить, что мы отождествляли рациональные числа с дробями и ненадолго отменить это отождествление,
v = {
{{ {9/10; 18/20; ... }, {99/100; 198/200; ... }, {999/1000; 1998/2000; ... }, ... }},
{{ {1/1; 2/2; 3/3; ...}, {1/1; 2/2; 3/3; ... }, {1/1; 2/2; 3/3; ... }, ... }},
...
} Разумеется, в v, помимо 1 и 0.(9), входят и другие последовательности.
Отождествим действительное число с какой-нибудь из последовательностей, входящих в него. Это приводит к удобной записи: мы можем записывать v как 1, или как 0.(9), или какой-нибудь ещё последовательностью, без всей этой тучи скобок.
Примеры действительных чисел (после отождествления с последовательностями): 1; -5; 1/5; pi; e.
Цель достигнута, действительные числа построены с помощью натуральных. Ты понял, что 0.(9) и 1 представляют одно и то же число v (частями которого являются). Это число ради удобства обозначается с помощью только одной из последовательностей. Каждое число равно самому себе, значит
v = v, то есть
0.(9) = 1.
P.S. Можно продолжить строить числа дальше. Комплексное число - это пара действительных чисел, кватернион - четвёрка действительных чисел, октава - восьмёрка действительных чисел, седенион - шестнадцать действительных чисел.
