>>70097 Ну ок, я сжато напишу в общих чертах. За подробностями
настоятельно рекомендую обращаться ко второму тому Зорича.
Итак.
1. Между множествами бывают отображения. Некоторые множества имеют такую структуру,
что для них можно определить
касательные пространства, только в этом случае можно
говорить о
дифференциале отображения.
2. Тривиальные примеры касательных пространств всем известны: для кривой на плоскости
это соответствующая прямая, для 2мерной поверхности в R^3 это соответвтующая плоскость
(напоминать их определения, думаю нет смысла).
Для R^n касательным пространством является
само же R^n, только начало координат находится в интересующей нас точке. Это немного тонкий
момент, который нужно понимать.
Кроме того, касательные пространства можно легко определить и для многообразий (это обобщение
"поверхностей"), которые вообще никуда не вложены, для алгебраических многообразий и т.д.
Например, для абстрактных многообразий, касательные векторы можно понимать как классы эквивалентности
параметризованных путей, проходящих через данную точку, пути эквивалентны, если в карте (любой, не важно)
они имеют один и тот же вектор скорости. Т.е. на многообразии они "касаются в этой точке". Это же
определение эквивалентно тому, что касательные векторы -- дифференцирования ростков функций
(если сразу непонтяно, то не страшно это не так важно для понимания сути дифференцирования).
3. Итак, касательные пространства это по определению векторные пространства. А **дифференциал отображения
это всегда линейное отображение касательных пространств**. Но как дифференциал связан с самим отображением?
Чтобы не перегружать рассказ буду писать сразу для отображений R^n в R^m (для многообразий определяется тоже
не сложно). Итак, есть точка "х", мы знаем, что касательное пространство к ней это само R^n с началом координат
в "х", возьмём в нём вектор "h". Этот касат. вектор должен как-то отобразиться в касат. пр-во в точке f(x).
По определению отображение дифференцируемо в точке "х", если для любого такого "h"можно записать
f(x+h)-f(x)= A(h) + o(h,x).
A(h) -- опреатор из касат. пр-ва в "х" в касат пр-во "f(x)".
Этот оператор А и называется дифференциалом в точке "х."
Для того, чтобы найти его запись в ортонорм. координатах базиса касат. пр-ва, который получается параллельным
переносом базиса самого пр-ва, в котором определена ф-ция f, мы будем просто задавать вектор h как смещение по
одной координате и смотреть предел. В итоге получим всем известную матрицу частных производных.
В общем, я не удивлюсь, если текст покажется слегка запутанным. Поэтому ещё раз отсылаю к учебнику Зорича.
