花弁

Уточнение понятий Анонимус 15 December 2012 (Sat) 21:23 No.86639

File: sample-54a17d6e1860e6d2c77211b0229c08ed.jpg
Jpg, 191.99 KB, 850×1189 - Click the image to expand

Привет, анон. Подходящего треда не нашёл, а математикабогов с кафедры математики беспокоить не хочу, поэтому создаю этот тред. Я решил чуть-чуть позаниматься математикой и начал с книги Ю. А. Шихановича "Введение в математику", в которой описываются понятия "множество", "кортеж", "слово", "график", "соответствие", "функция", "последовательность", "отношение". В этой книге написано:

> > Понятие множества будет у нас исходным, первоначальным, неопределяемым понятием. [...] Начнём с примеров. Можно говорить о множестве стульев в данной комнате; множестве людей, живущих в настоящее время в Гренландии; множестве букв русского алфавита; множестве натуральных чисел; множестве точек плоскости, равноудалённых от двух данных точек.

Вот и на вики тоже написано:

> Понятие множества обычно принимается за одно из исходных (аксиоматических) понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит, и не имеющее определения.

Однако, когда я учился в университете на историческом факультете, нам давали такое определение множества: Множество - это совокупность элементов, обладающих определённым признаком или свойством. И под это определение подходят ведь примеры из книги, которые я написал выше. Так, все стулья в данной комнате обладают двумя общими признаками: они - стулья, и они находятся в данной комнате. Люди, живущие в Гренландии, обладают тоже двумя общими признаками: они - люди, и они живут в Гренландии, и так далее. Почему же написано, что понятие множества - неопределяемое?
Ещё в книге написано

> > Излагаемая здесь теория получила название "наивной" теории множеств. По-иному понятие множества трактуется при конструктивистском и формалистском построении математики.

На вики написано, что есть есть разные подходы к таким вопросам, как вопрос

> > аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики

а также разные подходы

> > в выборе логических систем, которыми следует при доказательствах пользоваться.

Перечислены подходы:
-теоретико-множественный подход,
-логицизм,
-формализм,
-интуиционизм
-конструктивная математика.
Я хотел спросить, какой из этих подходов наиболее правилен и какого надо придерживаться, чтобы достичь успеха. Также смотрел список разделов математики, и в этом списке теории множеств нету. Почему? Какие на самом деле направления входят в современную математику? Мне, на самом деле, тяжело представить всё это, то есть, нельзя ли все эти направления из списка объединить в какие-то более крупные, или они на самом деле такие разные?

Borodaty_freak !!mBjYcmLE0g 16 December 2012 (Sun) 00:07 No.86649

Математика не использует никаких "неопределяемых понятий".
Так говорят либо невежды, либо мудаки, которые считают читателей за идиотов и хотят всё упростить.

Что есть множество определяется аксиомами Цермело-Френкеля, сокращённо ZF.
enwiki://Zermelo–Fraenkel_set_theory

Эти аксиомы студенты-математики изучают на первом курсе и больше никогда о них не вспоминают, ибо для работы они никому кроме специалистов теории множеств не нужны.
(Ещё есть Аксиома Выбора, не входящая в ЦФ, ей иногда пользуются напрямую).

Кроме того, по теореме Гёделя ЦФ-аксиоматика либо неполна, либо противоречива. Неполнота уже доказана на примере континуум-гипотезы, скорее всего найдётся и противоречие, но до этого по существу никому нет дела.

> Множество - это совокупность элементов, обладающих определённым признаком или свойством.

Интуитивно множество именно так и нужно себе представлять, но за определение принять это нельзя, потому что будут противоречия. С этого, собственно, теория множеств и началась.

> какой из этих подходов наиболее правилен

а) Теория множеств ("теоретическо-множественный подход") является частью математической науки.
б) Что такое "логицизм" и "формализм" мне не известно. Естественно, в математике используется логика и формализм, но тут видимо имеются ввиду какие-то древние философские учения.
в) Интуиционисты и конструктивисты это маленькие секты, существовавшие в 30х годах в Европе и в 60х в СССР (могу ошибиться с годами). Они не верят в доказательства от противного и что-то ещё в этом духе. Есть ещё более упоротые ультрафинитисты, которые не верят в бесконечные множества. Полно всяких микросект же.

Анонимус 16 December 2012 (Sun) 02:01 No.86652

>>86639

> что понятие множества - неопределяемое?

Это так расшифровывают, что теория множеств интерпретируется, лол, множествами и предикатом принадлежности.

> формализм

Вот это.
В нем формулируется теория множеств: ZF, NGB, категорная.
Кроме него ничего не принимается, ибо выводит теоремы неизвестно откуда. Среди его побочных эффектов, что совершенно ожидаемо при такой строгости, теоремы Гёделя, Тарского и т.д.
Впрочем, это не значит, что финитные методы единственны в математической логике. Теорию формальных систем хорошо излагать, применяя нефинитный аппарат современной математики. Но это не распространено, и я видел один лишь учебник такой.
>>86649

> ЦФ-аксиоматика

Теория.

> Неполнота уже доказана
> скорее всего найдётся и противоречие

Взаимоисключающие пункты.

> Интуиционисты и конструктивисты это маленькие секты

Они хорошие, если профессиональные мат.логики не фрики. Ни во что не верят, не доказывают, что математика неправильная. К математике отношение отдаленное, правда.

Анонимус 16 December 2012 (Sun) 14:22 No.86669

>>86649

> Множество - это совокупность элементов, обладающих определённым признаком или свойством.

Как по мне так лучше уж действительно забить на определение, чем такую ерунду городить.

> какой из этих подходов наиболее правилен

Кроме всяких философов и страннонаправленных учёных кроме теории множеств никому ничё ненужно. Остальные подходы в основном заключаются в том, что они считают некоторые техники доказательств из ТМ неверными, то есть они "Уже"(от "узкий")

Хм, у меня в универе было непринято опрежелять множества и натуральные числа. Да и большой радости от их определений я не испытал, ну их в болото.

> Неполнота уже доказана
> скорее всего найдётся и противоречие

И впрямь, взаимоисключающие же.

Анонимус 05 January 2013 (Sat) 22:42 No.88415

File: 0_2a074_fe8767de_XL.jpg
Jpg, 71.75 KB, 600×449 - Click the image to expand

Привет, анон. В книжке Шихановича написано, что форма "sin^2x + cos^2x" равносильна константе 1. А форма "tg x умножить на ctg x" не равносильна константе 1, т. к. при x=0 она не определена. Этого я не могу понять. Мне кажется, что она должна не являться всюду определённой, потому что именно значение 0 из области значений её переменной не является допустимым, а все же остальные являются, нет разве?
Алсо, там в книжке в конце параграфа есть задача, надо доказать, что не существует двух таких форм A, B, которые удовлетворяли бы одновременно четырём условиям: 1) формы A, B не имеют одинаковых (общих) переменных; 2) A равносильна В; 3) ни одна из форм А, В не равносильна никакой константе; 4) ни одна из форм А, В не является нигде не определённой. Для условий 1), 2) и 4) форму придумать легко - можно взять любую формулу, например, формулу суммы кубов или ещё какую-нибудь. А вот форму, которая удовлетворяла бы условию 3) я не придумал. Как так: форма, которая не равносильна никакой константе? Может, надо поднапрячь мозги, но что-то не получается у меня. Мне кажется, что это что-то вроде того, как представить круглый квадрат.

Анонимус 06 January 2013 (Sun) 11:17 No.88458

>>86649

> Математика не использует никаких "неопределяемых понятий".

Вот цитата:

Определение 1. Множество - это совокупность объектов любой природы

Посмотрим на это определение внимательно. На первый взгляд, оно никуда не годится, поскольку вводимое понятие, т.е. "множество", определяется через четыре (!) других понятия, никак нами не определённых. Однако это не совсем так. Дело в том, что назначение определений - это вовсе не наведение логической строгости как таковой. Устанавливать логическую строгость требуется только там, где настрого введённые понятия приводят к недоразумениям.
А как решить, что ведёт к недоразумениям, а что нет? У современной математики есть только такие средства: логический анализ, практика и интуиция.
Имеется два типа определений: 1) логически строгое сведение определяемого объекта к уже введённым понятиям; 2) описательное определение с помощью слов разговорного языка.
Определение множества есть определение второго типа. В математике предпочитается, конечно, первый тип определений, но, увы, начальные понятия, к которым и относится понятие множества, приходится вводить описательно. Это плохо по многим причинам, и прежде всего потому, что приводит к противоречиям (есть так называемые парадоксы теории множеств). Однако иного подхода не найдено и приходится довериться интуиции. Здравый смысл подсказывает, что по-другому и вообще нельзя сделать.

Анонимус 06 January 2013 (Sun) 13:58 No.88465

File: 0_2c54a_2b410b47_orig.jpg
Jpg, 25.66 KB, 553×416 - Click the image to expand

>>88445
>>88455
Большое спасибо за ответы. Если не возражаете, задам ещё пару вопросов.

> sin x + cos x не равносильна никакой константе

А можно ещё примеры форм, не равносильных никаким константам? Если честно, sin x + cos x для меня не очень понятный пример, потому что тригонометрию в школе я проходил уже достаточно много времени назад и помню из неё только несколько формул, причём не помню, откуда эти формулы берутся. Почему, например, sin^2x + cos^2x можно, а sin x + cos x нельзя?

Анонимус 08 January 2013 (Tue) 03:08 No.88607

File: 0_2c55d_c7f50567_orig.jpg
Jpg, 121.62 KB, 788×460 - Click the image to expand

>>88477

> Сам не мог подоборать наобум?

Ох, лол, не мог. Я эту тригонометрию уже настолько забыл, что на самом деле не мог. Вот тут немного вики почитал, вроде немного вспомнил. Алсо, что касается тригонометрии, не могу понять, почему пи радиан равняется 180 градусов. То есть, почему один радиан равен 180 делить на пи. При чём здесь вообще число пи?

Ещё хотел спросить. Можно ли подобрать такую форму, которая была бы равносильна sin(x) + cos(x)? Алсо, у меня такое ощущение, что форм, которые равносильны каким-то константам, гораздо больше, чем форм, которые не равносильны никаким константам. То есть это все эти формулы квадратов суммы, кубов суммы, квадратов разности и им подобные, большая часть тригонометрических формул. Так ли это? Если это так, есть ли какой-то список форм, равносильных константам? Я в интернетах искал на эту тему, но там всё по большей части касается противопоставления "переменная - константа", а не "форма - константа", то есть это не то, что надо мне.
Ещё хотел бы сказать спасибо тем, кто отвечает мне ITT. Моя тупость уже, наверно, раздражает. Надеюсь, я всё же не безнадёжен.

Анонимус 08 January 2013 (Tue) 11:35 No.88620

>>88607

> Алсо, что касается тригонометрии, не могу понять, почему пи радиан равняется 180 градусов. То есть, почему один радиан равен 180 делить на пи. При чём здесь вообще число пи?

1. Число пи - отношение длины окружности к ее диаметру, которое оказывается постоянным и потому является фундаментальным геометрическим параметром.
2. Радианный угол - отношение длины дуги к ее радиусу.
3. Кто-то, создававший геометрию решил разделить окружность на 360 градусов и мерить углы градусами.
d = 2r (параметры окружности)
pi = l/d (см. пункт №1) -> l = pi*d
Угол окружности = l/r = (pid)/r = (pi2r)/r = 2pi рад (см. пункт №2)
Угол окружности = 360 град (см. пункт №3)
2pi [рад] = 360 [град]
рад = [360/2pi] = [180/pi] град

Анонимус 08 January 2013 (Tue) 16:16 No.88645

File: 1.png
Png, 351.90 KB, 1366×768 - Click the image to expand

>>88620
До этого момента:

> pi = l/d

мне понятно. Но я не пониманию, почему

> pi = l/d

как это выводится из определения о том, что

> Число пи - отношение длины окружности к ее диаметру.

>>88625

> А почему ты их называешь формами? Что это за формы?

Ну, я же читаю книгу Ю. А. Шихановича "Введение в математику" и там, когда вводится понятие переменной, говорится, что

> > выражение, содержащие переменные мы будем называть формой.

Или вот у Чёрча во "Введении в математическую логику", опять же при введении понятия переменной, написано:

> > Что такое переменная выясняется легче всего, если прибегнуть к рассмотрению составных имён, которые содержат другие имена в качестве составляющих частей. Пусть в таком имеющем денотат составном имени одно или несколько (не обязательно все) вхождения какого-либо составляющего имени заменены некоторой переменной, скажем х. Чтобы избежать усложнений, допустим, что иных вхождений х не имеет и что денотат заменяемого имени входит в область значений переменной х. Выражение, получаемое из составного имени при такой замене одного из составляющих имен на переменную, мы будем называть формой.

Но Чёрча я пока ещё не читал толком, пока только Шихановича читаю. Может, это не та книга, которую нужно читать? Я не знаю вообще, мне просто посоветовали её почитать.

> Ты, говнюк, вольфрам-альфу так и не открыл!

Да открыл я, ещё тогда, когда ты первый раз посоветовал. То есть вот это sqrt(2)*sin(x+п/4) и будет то же самое, что sin(x)+cos(x)?

> Как ты их будешь пересчитывать?

Не знаю даже. Просто я предположил. Просто с этими формами всё кажется просто, но у меня такое ощущение, что я не до конца их понял. Вот, например, в книге после параграфа такая задача - надо доказать, что не существует двух таких форм A, B, которые удовлетворяли бы одновременно четырём условиям: 1) формы A, B не имеют одинаковых (общих) переменных; 2) A равносильна В; 3) ни одна из форм А, В не равносильна никакой константе; 4) ни одна из форм А, В не является нигде не определённой. Вот, например, формы A, B, удовлетворяющие первому условию (не имеют одинаковых (общих) переменных): (x+1)^3 и y^3+3y^2+3y+1 - будут ли они равносильны? При этом двум оставшимся условиям: 3) ни одна из форм А, В не равносильна никакой константе; 4) ни одна из форм А, В не является нигде не определённой - они вроде удовлетворяют.

Анонимус 08 January 2013 (Tue) 20:10 No.88680

>>88672
Я филолог по специальности.

>>88674

> Здесь есть pi, l и d, здесь нет еденицы. Ещё тут есть один знак равенства и один знак деления.

Сижу, ржу, плачу от смеха.

Ещё раз прочёл пост >>88620. Теперь всё немного прояснилось. Как я понял, если взять окружность, например, окружность на прямоугольной системе координат с центром в начале отсчёта и радиусом, равным единичному отрезку, то в этих обозначениях, которые написаны рядом с разными точками на окружности: п/6, п/4, п/3, п/2, п, etc. - имеется в виду не само п, а именно п радиан, то есть в выражении

> 2pi [рад] = 360 [град]

рад - это типа тоже множитель, ведь
[2pi [рад] = 360 [град]]:2
pi [рад] = 180 [град]
рад = [180/п] [град]
Тогда не понятно, откуда [рад] взялось в

> Угол окружности = l/r = (pid)/r = (pi2r)/r = 2pi рад

Здесь оно вроде как просто обозначение.