>>77180 Как учат в школе, арифметические корни из отрицательных чисел извлекать нельзя, но почему нельзя - не сообщают. Это так же абсурдно, как если бы кто-то запретил класть в чай нечётное количество ложечек сахара.
Для того, чтобы понять мой рассказ про комплексные числа, нужно знать, что такое действительное число. Грубо говоря, натуральные числа - это 1, 2, 3, ...; целые числа - это числа 0, ±1, ±2, ... ; рациональные числа - это дроби вида a/b, где a - целое число, а b - натуральное; иррациональные числа - это числа, которые нельзя выразить в виде рационального числа - π, √2 и так далее; действительные числа - это объединение рациональных и иррациональных чисел.
Определение. Введём число i = √-1, назовём его "мнимой единицей". Положим, что -i = - √-1. Впредь всегда будем обозначать мнимую единицу символом i.
Комплексным числом (записанным в алгебраической форме) будем называть двучлен z вида a + bi, где a и b - некоторые действительные числа. Коэффициент a будем называть вещественной частью, коэффициент b - мнимой частью (обратите внимание, не bi, а просто b. И вещественная, и мнимая части суть действительные числа). Если имеем комплексное число z, то его вещественную часть будем обозначать
Re(z), мнимую -
Im(z).
И коэффициент a, и коэффициент b, и оба коэффициента сразу могут равняться нулю.
Примеры комплексных чисел:
1)z = 16 + 17i; Re(z) = 16, Im(z) = 17
2)z = 0.3 - 1.66677i; Re(z) = 0.3; Im(z) = -1.66677
3)z = -i; Re(z) = 0; Im(z) = -1
4)z = 16i; Re(z) = 0; Im(z) = 16
5)z = 48; Re(z) = 48; Im(z) = 0
6)z = 0; Re(z) = 0; Im(z) = 0
Видно, что действительные числа - это числа, у которых мнимая часть равна нулю.
Комплексно сопряжённым числом к числу z=a+bi будем называть число z'=a-bi.
Примеры комплексно сопряжённых:
1)z = 16 + 17i; z' = 16 - 17i
2)z = 0.3 - 1.66677i; z' = 0.3 + 1.66677i
3)z = -i; z' = i
4)z = 16i; z' = -16i
5)z = 48; z' = 48 (т.к. z = 48 + 0i, z' = 48 - 0i = 48)
6)z = 0; z' = 0
Видно, что комплексно сопряжённым к действительному числу будет оно само, так как a + 0i = a-0i.
Арифметические операции Определим сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел как обычное сложение, вычитание, умножение и деление двучленов.
Перед этим заметим, что
i*i = √-1 * √-1 = -1 Пусть x и y комплексные числа такие, что x = a + bi, y = c + di.
Положим:
x+y = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + i(b + d)
x-y = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + i(b - d)
x*y = (a + bi) * (c + di) = ac + ibc + iad + iibd = (ac - bd) + i(bc + ad)
x/y = (a + bi) / (c + di) = {для красоты домножим и поделим на сопряжённое знаменателю} =
(a + bi)(c - di) / (c + di)(c - di) = {в знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов} =
(a + bi)(c - di) / ((c^2 - (di)^2) = {так как i*i = -1} = (a + bi)(c - di) / (c^2 + d^2) =
((ac + bd) + i(bc - ad)) / (c^2 + d^2). Считывать арифметические преобразования с экрана не очень удобно, так что я приложил картинку с делением.
Ну, то есть чтобы сложить два комплексных числа, нужно отдельно сложить их вещественные части и отдельно мнимые части, а чтобы умножить - просто перемножить скобку на скобку.
Теперь, после введения комплексных чисел, мы можем извлекать корни из отрицательных действительных чисел.
Пример.
√-36 = √((-1)*36) = √(-1) * √36 = ±6i Геометрически комплексные числа можно трактовать как точки обыкновенной школьной декартовой плоскости, где по оси иксов отмеряется вещественная часть, а по оси игреков - мнимая часть. Таким образом, комплексные числа задают числовую плоскость, которая называется "комплексная плоскость". Точно так же как действительные числа задают числовую прямую. См. картинку.
Для чисел на прямой легко можно сказать, какое из них лежит левее, а какое правее. То есть на оси действительных чисел естественным образом возникает упорядочивание: можно сказать, какое число больше, а какое меньше. А вот точки на плоскости не упорядочены. Поэтому отношения "больше" и "меньше" на комплексных числах, в отличие от действительных, не определены.
Если есть вопросы, спрашивайте. Я отвечу и продолжу рассказ.
