Предположим, что у нас есть какой-то объект, который может находиться в каких-то состояниях и переходить из одного состояния в другое с помощью движения, - например, глобус можно поворачивать на оси вперёд-назад, стрелка часов может двигаться взад-вперёд по циферблату. Предположим ещё, что эти движения обратимы, - если объект перешёл с помощью какого-то движения из первого состояния во второе, то существует движение, с помощью которого объект может перейти из второго состояния обратно в первое. Будем думать об этих движениях как о самостоятельно существующих вещах. Будем думать, что неподвижность – это тоже движение, то есть неподвижность – это движение, при котором состояние объекта не меняется. Будем ещё думать, что последовательное выполнение двух движений – это тоже движение, мы будем называть его композицией.
Непустое множество движений объекта называется группой, если вместе с каждым движением оно содержит обратное ему движение, и вместе с каждой парой движений оно содержит их композицию.
Из этого определения легко вывести, что каждая группа содержит неподвижность: так как группа не пуста, она содержит какое-то движение, следовательно содержит обратное ему движение, следовательно содержит их композицию, то есть неподвижность.
Это определение можно переформулировать уже без всяких упоминаний о каком-то объекте, о его состояниях и движениях.
Множество M с бинарной операцией ∘ называется группой и обозначается <M, ∘>, если выполняются три условия:
1. Существует e∈M такой, что x∘e = e∘x = x для любого x∈M. Элемент e называется нейтральным.
2. Для любого x∈M существует x’ ∈M такой, что x∘x’ = x’∘x = e. Элементы x и x’ называются противоположными. Противоположным элементом нуля является нуль.
3. Для любых x,y,z из M верно равенство (x∘y) ∘z = x∘(y∘z). Это равенство называется ассоциативностью.
Так определенное понятие группы вполне согласуется со сказанным ранее. Элементы группы суть движения. Бинарная операция суть композиция движений. Нейтральный элемент суть неподвижное движение объекта, противоположные элементы суть противоположные движение, а свойство ассоциативности отражает тот факт, что результат выполнения трёх движений не зависит от того, как группировать движения.
Группы, в которых дополнительно выполняется свойство
4. Для любых x,y из M верно, что x∘y = y∘z называются абелевыми (синоним: модулями). Если продолжать думать об элементах группы как о движениях, абелевость означает, что результат набора движений не зависит от порядка, в котором эти движения применяются.
В неабелевых группах мы часто будем обозначать групповую операцию точечкой ∙. Операцию в абелевых группах мы будем обозначать +. Нейтральный элемент мы часто будем называть нулём и обозначать 0 или же называть единицей и обозначать 1, это зависит от того, какой нотацией для записи групповой операции мы пользуемся, аддитивной или мультипликативной.
Группами являются, в частности, целые, рациональные и вещественные числа с операцией сложения. Нейтральным элементом этих групп является 0, противоположные элементы – это элементы, различающиеся знаком (например, противоположными будут 5 и -5, 7 и -7). Эти группы к тому же абелевы. Натуральные числа не являются группой, так как, например, нельзя сложить два положительных целых числа и получить ноль, - свойство 2 для натуральных чисел не выполняется.
Значок групповой операции мы обычно будем опускать точно так же, как при умножении чисел обычно опускают значок умножения, то есть вместо x∘y мы обычно будем писать просто xy (хотя значок + мы опускать обычно всё же не будем). Мы также часто будем отождествлять множество, на котором задана группа, и саму эту группу, то есть под словами "группа M" мы обычно будем понимать группу <M, ∘>, если только это не будет приводить к путанице, конечно.
Пусть у нас есть две группы. Пусть f – это функция, отображающая первую группу во вторую (то есть, в силу нашей оговорки, множество, на котором задана первая группа, во множество, на котором задана вторая группа). Мы будем называть функцию f гомоморфизмом, если она перестановочна с групповой операцией, то есть выполняется свойство f(xy) = f(x)f(y), - здесь слева от знака равенства под знаком функции стоит композиция в первой группе, справа от знака равенства стоит композиция во второй группе. Образ первой группы мы будем называть образом гомоморфизма и обозначать Im f, полный прообраз нейтрального элемента второй группы мы будем называть ядром гомоморфизма и обозначать Ker f. Нетрудно проверить, что гомоморфизм переводит нейтральный элемент в нейтральный элемент.
Сюръективный гомоморфизм мы будем называть эпиморфизм, или эпик.
Инъективный гомоморфизм мы будем называть мономорфизм, или моник.
Биективный гомоморфизм мы будем называть изоморфизм (позднее понятие изоморфизма будет существенно уточнено).
Гомоморфизм группы в себя мы будем называть эндоморфизм.
Изоморфизм группы в себя мы будем называть автоморфизм.
Нетрудно проверить, что композиция гомоморфизмов – гомоморфизм.
Мы будем называть две группы изоморфными, если между ними есть какой-то изоморфизм. Изоморфизм – биекция, а биекция, как известно, имеет обратное отображение. Нетрудно проверить, что это обратное отображение также будет изоморфизмом.
Пусть на группе задано какое-то отношение эквивалентности ~. Мы будем называть это отношение стабильным слева, если из того, что a~b для любого x следует, что xa~xb; стабильным справа, если из того, что a~b для любого x следует, что ax~bx; двусторонне стабильным (синонимы: регулярным, конгруэнцией), если оно стабильно слева и справа. Здесь a,b и x – элементы группы, конечно.
Если в группе G задано регулярное отношение эквивалентности, то мы можем ввести структуру группы на классах эквивалентности по этому отношению. А именно. Класс эквивалентности, в который входит элемент x, мы обозначим как [x]; мы будем говорить, что x является представителем класса K, если K = [x]; композицией классов [x] и [y] объявим класс [xy]. Легко доказать, что, в силу регулярности, композиция классов не зависит от выбора представителей в классах. В самом деле, пусть K и L – два класса, пусть p и q – представители K, пусть x и y – представители L. Заметим, что p~q и x~y, и по регулярности px~qx и qx~qy. Поэтому [p][x] = [px] = [qx] = [qy] = [q][y]. Нейтральным элементом будет [0], обратным элементом для [x] будет [x’]. Группа классов эквивалентности G по регулярному отношению ~ называется факторгруппой G по ~ и обозначается G/~. Мы можем построить естественный гомоморфизм из G в G/~, для этого каждый элемент x отобразим в [x]. Это отображение, как нетрудно проверить, действительно будет гомоморфизмом. Ядром естественного гомоморфизма является класс эквивалентности нейтрального элемента, [e].
Теперь докажем несколько простых теорем, вытекающих из определения группы.
1. В группе есть только один нейтральный элемент. В самом деле, пусть x – такой элемент, что для любого y верно, что y = yx. Тогда, взяв в качестве y нейтральный элемент e, получаем, что e = ex = x.
2. Обратный элемент определен однозначно. В самом деле, пусть x – элемент группы и y – такой элемент, что xy = yx = e. Тогда y = ey = (x’x)y = x’(xy) = x’e = x’.
3. Обратный элемент к обратному элементу к x есть сам x, т.е. (x’)’ = x. То, что x является обратным для x’, следует из определения обратного для x, а единственность только что доказана.
4. В группе уравнения "ax = b" и "xa = b" однозначно разрешимы относительно x. Решениями будут a’b и ba’ соответственно. Если x и y – два решения уравнения "ax=b", то x = ex = (a’a)x = a’(ax) = a’b = a’(ay) = (a’a)y = ey = y, что и означает однозначность.
5. Разрешимость уравнений "ax = b" и "xa = b" в каком-то моноиде (однозначность не требуется, а получается как следствие), означает, что этот моноид является группой. В самом деле, нейтральный элемент и ассоциативность следуют из определения моноида, обратный же элемент для a есть решение уравнения "ax = e". Из-за ассоциативности этот же элемент, как легко проверить, будет решением уравнения "xa = b".
Пусть <G, ∘> - группа. Пусть M – подмножество G. Мы будем говорить, что множество M с операцией ∘ является подгруппой группы G, если:
1. Нейтральный элемент e группы G есть элемент M
2. M вместе с каждым элементом x содержит обратный ему элемент x’.
3. M вместе с каждыми двумя элементами x и y содержит элемент xy.
Иными словами, M – подгруппа G, если M само является группой относительно тех же операций. Требование, чтобы подгруппа содержала нуль, можно заменить требованием, чтобы группа была непустой, - тогда нуль будет содержаться в подгруппе из-за пунктов 2 и 3.
В каждой группе G есть две подгруппы, называемые несобственными. Это группа {e}, состоящая из одного нейтрального элемента, и сама группа G. Остальные подгруппы, - их может и не быть, - называются собственными.
Пусть M – подмножество группы G, а x – элемент группы g. Мы можем определить умножение элемента x на подмножество M слева. Определим мы его так: xM есть множество всех элементов группы G вида xm, где m∈M. То есть мы берём элемент x, поочередно умножаем на него слева все элементы множества M и получаем таким образом какое-то подмножество "xM" в G. Так как умножение в группе ассоциативно, мы можем считать, что наше умножение элемента группы на подмножество группы ассоциативно: для любых a,b из G и для любого M⊂G верно, что a(bM) = (ab)M, ибо a(bm) = (ab)m. Равенство здесь, конечно, понимается в теоретико-множественном смысле, как равенство двух множеств. Сразу заметим, что если нейтральный элемент e умножить на множество M, то результатом будет само множество M.
Далее мы можем определить умножение элемента x на подмножество M справа: Mx есть множество всех элементов группы G вида mx, где m∈M. Если группа коммутативная, то между умножениями слева и справа разницы нет, если же группа не коммутативная, то xM вообще говоря не равно Mx.
Пусть H – подгруппа в группе G, x – элемент группы G. Всякая подгруппа в G является также и подмножеством в G. Это позволяет нам ввести понятие смежного класса. Левым смежным классом элемента x по подгруппе H мы будем называть xH, правым смежным классом элемента x по подгруппе H мы будем называть Hx. Левый и правый смежный классы элемента по подгруппе, вообще говоря, не равны. Подгруппу H в G такую, что для любого элемента x из G левый смежный класс x по H равен (в теоретико-множественном смысле) правому смежному классу x по H, мы назовём нормальной. То есть H – нормальная подгруппа, если xH = Hx для любого x из G.
Если x – элемент подгруппы H, то смежный класс xH равен самой подгруппе H, – то, что xH ⊂ H, следует из третьего пункта определения подгруппы, а то, что H⊂xH, вытекает из того, что H содержит x’, для любого h∈H содержит произведение x’h и потому каждый элемент h∈H может быть получен в результате умножения x на x’h, каковое умножение и происходит хотя бы однажды по определению умножения элемента на подмножество.
Зададимся вопросом, сколько же различных смежных классов можно получить, умножив каждый из элементов G на подгруппу H. Может случиться так, что даже если элемент a не равен элементу b, смежный класс aH равен смежному классу bH. Это, например, происходит в случае, когда H содержит элемент a’b (в самом деле, aH = a(a’bH) = (aa’)bH = bH). Поэтому количество различных смежных классов по подгруппе, вообще говоря, меньше количества элементов в самой группе. Количество элементов в группе G (то есть мощность множества G) называется порядком группы. Количество же смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом подгруппы H в группе G (левых классов столько же, сколько правых классов, - нужная биекция в том, что множество элементов, обратных к элементам левого смежного класса, образует правый смежный класс, то есть классу xH сопоставляется класс Hx’, - поэтому левый индекс равен правому индексу и мы можем говорить просто об индексе).
Дальше я буду вести речь в основном о левых смежных классах, для правых формулировки будут аналогичными.
Два различных смежных класса, обозначим их как aH ≠ bH, не пересекаются, ибо если бы они имели общий элемент x, то для некоторых p и q из H было бы верно, что ap = x и bq = x, откуда получалось бы ap = bq, a’ap = a’bq, и pq’ = a’b, что означало бы, что a’b является элементом H и поэтому, по примеру выше, aH = bH. Возникало бы противоречие с условием. Поэтому для всякого элемента g группы G есть не более одного смежного класса xH по подгруппе H, в который он попадает. А так как один смежный класс несомненно есть, а именно gH (так как H содержит e, gH содержит ge=g), всякий элемент группы G попадает в один и только один смежный класс по подгруппе H. Поэтому мы можем считать, что всякий элемент x смежного класса aH однозначно определяет этот самый класс; мы будем говорить, что x является представителем смежного класса. В случае, когда мы особенно интересуемся одной конкретной подгруппой H, мы будем опускать лишние упоминания об H и обозначать смежный класс, представителем которого является x, как [x]. В основном понятие "представитель" мы будем использовать для нормальных подгрупп, что, как будет уточнено ниже, будет вполне согласовываться с понятием "представитель", введённым ранее для отношений эквивалентности.
Сделаем ещё два замечания.
Любые два смежных класса aH и bH равномощны: требуемая биекция есть ah ↦ bh.
Так как смежные классы не пересекаются, а всякая подгруппа должна содержать единицу, среди всех смежных классов по H подгруппой является только eH.
Из того, что каждый элемент группы G попадает в один и только один смежный класс, и из того, что смежные классы равномощны, вытекает теорема Лагранжа, связывающая количество смежных классов по подгруппе с количествами элементов в группе и подгруппе.
Теорема. Пусть G – группа и H – подгруппа в ней. Если порядок G равен n, порядок H равен k и индекс H в G равен j, то n = kj.
Несколько упрощая ситуацию, суть теоремы в том, что если множество G разбито на j непересекающихся подмножеств и в каждом подмножестве k элементов, то во множестве G элементов будет kj штук.
Теорема Лагранжа верна и для конечного, и для бесконечного случая (в бесконечном нужно уточнить арифметику кардиналов). Для конечных групп легко можно вывести следствие: порядок подгруппы является делителем порядка группы. Это простое следствие, но с его помощью мы несколько позднее докажем некоторые важные утверждения. Пока же обсудим ещё некоторые детали смежных классов, связанные с нормальными группами.
Тот факт, что H является нормальной подгруппой в G, мы будем обозначать как H◅G. Ввиду следствия из теоремы Лагранжа, нормальные подгруппы в G иногда называют нормальными делителями группы G.
Теорема. Подгруппа H является нормальной в G тогда и только тогда, когда для любого g из G и для любого h из H верно, что ghg’ ∈ H.
Доказательство. Пусть H – нормальная подгруппа. Тогда для любого g из G верно, что gH = Hg. Так как множества равны, то если мы умножим и левую, и правую часть справа на g’, то получим равные результаты, - то есть (gH)g’ = (Hg)g’. Отсюда gHg’ = He = H. То есть для любого h верно, что ghg’ ∈ H.
Если же для любых g из G и h из H верно, что ghg’ ∈ H, то gHg’ ⊂ H и g’Hg⊂H. Если мы умножим соответственно справа и слева на g, то получим gH⊂Hg и Hg⊂gH, откуда и следует, что gH = Hg.
Элемент axa’ называется сопряжённым к элементу x с помощью элемента a. Используя понятие сопряженного элемента, предыдущую теорему можно переформулировать так: подгруппа является нормальной тогда и только тогда, когда вместе с каждым своим элементом содержит и всевозможные сопряжённые к нему. Такая формулировка представляется мне концептуально самой простой. Из неё ясно следует, что в любой группе G обе её несобственные подгруппы, - а именно, {e} и вся G, - являются нормальными подгруппами. Кроме того, очевидно, что если H⊂G’⊂G – три вложенных группы и H – нормальная подгруппа в G, то H – нормальная подгруппа и в G’.
Пусть H – нормальная подгруппа в G. Тогда мы можем ввести в G регулярное отношение эквивалентности, объявив x и y эквивалентными, то есть x~y, если смежные классы этих элементов по подгруппе H равны. Тривиально проговорив определение, можно понять, что это действительно отношение эквивалентности. Также нетрудно проверить, что это действительно регулярное отношение, пусть a~b: тогда aH = bH и для любого x верно, что xaH = xbH, то есть xa~xb, и отношение стабильно слева; H – нормальная подгруппа, значит, aH = Ha = Hb, и для любого x верно, что Hax = Hbx, откуда axH = bxH, то есть ax~bx, и отношение стабильно справа.
Факторгруппа G по отношению эквивалентности ~, заданному подгруппой H, называется факторгруппой по подгруппе H и обозначается G/H. Элементами этой факторгруппы будут в точности классы смежности по подгруппе H (если два элемента принадлежат одному и тому же классу эквивалентности, то они принадлежат одному и тому же смежному классу, а смежные классы не пересекаются). Для этой факторгруппы справедливо всё то, что мы сказали выше про факторгруппу. В частности, класс однозначно определяется своим представителем; композицией классов aH и bH будет класс abH.
Итак, нормальная подгруппа позволяет построить факторгруппу. Теперь я хочу показать, что каждая факторгруппа может быть получена факторизацией по некоторой нормальной подгруппе.
Пусть G – группа, и пусть [G] – её факторгруппа. Я напомню, что это значит. [G] состоит из непересекающихся подмножеств G, операция композиции в [G] есть некая операция композиции подмножеств G. Есть некий естественный гомоморфизм G→ [G], с помощью которого всякий элемент x из G однозначно определяет содержащий его класс [x] из [G]. Композиция классов [a] и [b] есть класс [ab].
Сначала рассмотрим нейтральный элемент e группы G и его класс эквивалентности [e], являющийся нейтральным элементом в [G]. Я утверждаю, что [e] – подгруппа в G. Чтобы доказать это, я воспользуюсь определением подгруппы. Понятно, что e ∈ [e]. Если x∈[e], то [x] = [e], отсюда [x] = [e] = [xx’] = [x][x’] = [e][x’] = [x’], поэтому x’∈ [e]. Наконец, если a и b – элементы [e], то [a]=[b]=[e] и, так как [e] = [e][e] = [a][b] = [ab], заключаем, что ab – элемент [e].
Теперь я утверждаю, что класс эквивалентности [e] – не просто подгруппа, но нормальная подгруппа в G. Пусть a – произвольный элемент G. Рассмотрим смежный класс a[e]. Я докажу, несколько многословным способом, что он равен классу эквивалентности [a].
При естественном гомоморфизме элементы смежного класса a[e]переходят в элементы класса эквивалентности [a][e] = [ae] = [a] (каждый элемент имеет вид ax, x∈[e], образ этого элемента при гомоморфизме есть [a][x]). То есть a[e] ⊂[a]. Предположим теперь, что некий произвольный b есть элемент [a], - сразу заметим, что это означает, что [b] = [a]. Тогда, так как G – группа, уравнение "ax = b" однозначно разрешимо относительно x. То есть существует единственный такой x, что ax = b. Тогда [ax] = [a][x] = [b] = [a], и [x] – нейтральный элемент. Из единственности нейтрального элемента следует, что [x] = [e]. Следовательно, x ∈ [e] и b∈ a[e]. Поэтому [a] ⊂ a[e]. Таким образом, a[e]= [a]. Совершенно аналогично, лишь тривиально переставив буквы, можно доказать, что [e]a = [a]. Так как равные одному и тому же равны между собой, a[e] = [e]a и потому [e] – нормальная подгруппа. Из этих построений также следует, что если взять факторгруппу G по подгруппе [e], то получится в точности группа [G].
Итак, всякая факторгруппа группы G есть G/H для некоторой H◅G. Приём, который я использовал при доказательстве этого утверждения (составление уравнения в группе и переход с помощью гомоморфизма от соотношений в группе к соотношениям в факторгруппе), – довольно любопытный способ изучения алгебраических объектов.
Обратимся теперь подробнее к гомоморфизмам, точнее, к их образам и ядрам. Нетрудно проверить, что ядро гомоморфизма из G с нейтральным элементом e в какую-то другую группу [G] с нейтральным элементом [e] является нормальной подгруппой в G. В самом деле, рассмотрим полный прообраз [e] и проверим свойства подгруппы. Пусть f – гомоморфизм. Гомоморфизм f переводит нейтральный элемент e в нейтральный элемент [e], поэтому e – элемент ядра. Если x – элемент ядра, то, так как f(x) = [e] и xx’ = e, можно утверждать, что [e] = f(e) = f(xx’) = f(x)f(x’) = [e]f(x’) = f(x’), то есть x’ тоже элемент ядра. Если x и y входят в ядро, то f(x) = [e] и f(y) = [e], поэтому [e] = f(x)f(y) и, по свойству гомоморфизма, f(x)f(y) = f(xy) и таким образом xy входит в ядро. Свойства 1-3 выполняются, поэтому ядро – подгруппа. Нормальность же следует из того, что [e] – нейтральный элемент в [G]. Аналогично можно проверить, что образ гомоморфизма также является подгруппой (причём нормальной, если гомоморфизм сюръективен). Образ гомоморфизма мы часто будем называть гомоморфным образом группы.
Обобщая вышесказанное, можно доказать широко используемую теорему о гомоморфизме: гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма.
Точнее она формулируется так. Пусть G и H – группы, и пусть f:G→H – гомоморфизм. Тогда:
1. Ker(f) – нормальная подгруппа в G
2. Im(f) – подгруппа в H
3. Im(f) изоморфно G/Ker(f) Из неё следует, что если f сюръективен, то H изоморфна G/Ker(f).
Позднее я докажу эту теорему (первую из трёх популярных теорем об изоморфизме) с помощью теории категорий.
Теперь ещё пара слов о нормальных подгруппах. Ясно, что в абелевой группе всякая подгруппа нормальная. Пусть G – абелева группа, в которой операция записана аддитивно (то есть значком +), и M◅G. Тогда смежный класс a+M называется классом вычетов по модулю M, а факторгруппа G/M называется фактормодулем G по модулю M. По вышесказанному, два элемента a и b эквивалентны, если их смежные классы по подгруппе M равны, то есть если a+M = b+M. В терминологии этого абзаца, два эквивалентных элемента называются сравнимыми по модулю M и обозначаются как a ≡ b (mod M).
