>>124667 Есть множества - это такие объекты, которые состоят из элементов. Например, есть множество натуральных чисел, множество всех звёзд Вселенной, двухэлементное множество {Лелуш, огурец}. Элементы множества, вообще говоря, не упорядочены, порядок - это отдельный объект, то есть множество {Лелуш, огурец} - это то же самое множество, что и {огурец, Лелуш}. А ещё элементы во множестве не дублируются, {Лелуш, огурец, огурец} - это то же самое множество, что и {Лелуш, огурец}.
Одно множество может быть подмножеством (иногда ещё говорят "частью") другого множества. A - подмножество B, если все элементы A являются элементами B. Кстати, интересный факт: любое множество является своим подмножеством.
Есть упорядоченные пары - объекты вида (а, б), в которых про объект а можно сказать, что он первый, а про объект б, что он второй. Например, если множества {огурец, Лелуш} и {Лелуш, огурец} - это одинаковые множества, то пары (огурец, Лелуш) и (Лелуш, огурец) - это разные пары.
Декартово произведение множеств A и B - это множество всевозможных упорядоченных пар (a,b), в которых элемент a принадлежит множеству A, а элемент B принадлежит множеству B.
Функция - это подмножество декартова произведения, обладающая следующим свойством. Если пары (c,a) и (c,b) принадлежат функции, то a = b. Ну, то есть одному аргументу соответствует единственное значение функции. Таким образом, функция - это множество пар вида (x,y). Запись y = f(x) обозначает, что пара (x,y) принадлежит множеству f, которое является функцией.
Пусть есть множества X и Y. Рассмотрим какое-нибудь подмножество их декартово произведения, являющееся функцией. X будет называться областью определения (domain) этой функции, а Y - областью значений этой функции (codomain). Формально функции обозначаются f: X->Y, где X - domain, Y - codomain, f - символ функции. Вместо f можно использовать любое другое знакосочетание.
Конечно, простого обозначения функции ещё недостаточно для задания этой функции. Нужно ещё объяснить, как для данного аргумента найти значение функции. Например, чтобы задать функции пб и вб, которые имеют одинаковую сигнатуру
пб : множество русских имён -> множество букв русского алфавита,
вб : множество русских имён -> множество букв русского алфавита, следует объяснить, что пб сопоставляет имени его первую букву, а вб сопоставляет имени его вторую букву. пб(Иван) = И, вб(Гостомысл) = о.
В школе обычно изучаются функции, где domain и codomain совпадают и являются множеством R вещественных чисел. Формально, f: R->R. Такие функции иногда называют вещественнозначными функциями вещественного аргумента.
