>>877648 Чтобы ездить на автомобиле, обычно не нужно лезть к нему под капот. Инженеры действительно пользуются только таблицей интегралов и справочником формул, им хватает. Я не считаю это неправильным и отнюдь не требую, чтобы все подряд изучали матан. Каждый вправе заниматься лишь своим делом. Но если кому-то захочется понять смысл таблицы интегралов, а не просто механически перерабатывать символы в символы, то ему придётся "лезть под капот".
>>877639
Тот анон просил объяснить смысл интеграла. Он не просил аналогий или упрощений. Судя по словам про суммирование, он в аналогиях запутался и хочет строгих определений. Но понятийное расстояние между теми понятиями, которыми он пользуется сейчас, и строгим определением интеграла весьма велико. Нельзя в пару слов уместить информацию, содержащуюся в нескольких десятках страниц. Бывают вопросы такие, что осознание ответа на них требует труда. Вопрос про смысл интеграла - из их числа. На него нельзя ответить просто.
Примерная схема изложения того, что есть интеграл Римана, такова (она заведомо неполна, и некоторые пункты, возможно, следует переставить местами).
1. Множество, семейство множеств. Объединение, пересечение, декартово произведение. Покрытие, разбиение.
2. Отношения, функции, операции. Отношение порядка. Максимальный, минимальный, наибольший и наименьший элементы. Линейный порядок.
3. Поле. Поле рациональных чисел, поле вещественных чисел - аксиоматические определения. Непрерывность R, супремум и инфимум.
4. Последовательность чисел, возрастающая-убывающая последовательности. Фундаментальные последовательности, предел последовательности. Ряд, сумма ряда.
5. Предел функции. Бесконечно-малая функция. Непрерывная функция.
6. Простые теоремы о пределах - сумма, разность, умножение на число. Лемма о милиционерах.
7. Чуть более сложные теоремы о пределах: леммы Больцано-Вейерштрасса, Гейне-Бореля, Коши-Кантора (о вложенных отрезках), Вейерштрасса (о возрастающей ограниченной).
8. Производная в точке. Производная функции. Дифференцируемая функция. Дифференциал функций R->R.
9. Возрастающая, убывающая функции, экстремумы. Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа и Ферма.
10. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора-Гейне.
11. Ряд Тейлора. Определение элементарных функций. Некоторые знаменитые пределы.
12. Первообразная. Таблица производных.
13. Направленное множество, обобщённый предел по направленному множеству ("Функциональный анализ", Иосида, стр.150)
14. Разбиение отрезка. Интегральная сумма. Предел интегральных сумм. Интеграл Римана для отрезков.
15. Свойства интеграла Римана. Аддитивность, положительность, линейность, непрерывность. Непрерывная функция интегрируема.
16. Теорема Ньютона-Лейбница.
17. Функции R^m->R^n, их пределы и непрерывность.
18. Теорема о неявной функции.
19. Частная производная, полный дифференциал, матрица Якоби.
20. Мера Жордана. Кратные интегралы (двойной, тройной), несобственные, криволинейные и поверхностные первого и второго рода. Контурный.
21. Свойства интеграла Римана. Сведение кратного интеграла к повторному, замена переменных, другие манипуляции.
22. Интегралы в полярных, сферических и цилиндрических координатах.
23. Градиент, дивергенция, циркуляция, ротор. Оператор Гамильтона.
24. Теоремы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса.
25. Потенциальное поле, соленоидальное поле.
До двенадцатого пункта - информация, которая не относится к интегралу непосредственно. Но в пунктах 12-16 и 20-25 изложен типичный смысл, связываемый с понятием "интеграл". Этот смысл нельзя пересказать быстро, бросив лишь пару слов, даже если ограничиться только основными фактами. Подробнее про проблему недооценки понятийных расстояний можно прочитать в статье
http://lesswrong.ru/w/Ожидая_короткие_понятийные_расстояния . За словом "интеграл" скрывается очень много взаимосвязанных понятий, в это слово упакованы много разных идей и даже концепций. Их нельзя быстро пересказать. Чтобы их осознать, нужно потратить много времени. Объяснение смысла слова "интеграл" - это и есть главная цель обычного курса матанализа. Мне жаль, но нельзя за один день изучить матан, если вы не вундеркинд, если вы не изучали математику с рождения или если вы не владеете тайными когнитивными техниками. Для того, чтобы идеи анализа уложились в голове, нужно, к сожалению, заметное количество времени.
Есть, кстати, более вменяемая схема изложения анализа, которой придерживается, скажем, Зорич. Она основана на топологии, интеграле Лебега и анализе на многообразиях. Принцип Кавальери, которым до сих пор пользуются физики, разбивая, скажем, заряженную проволочку на бесконечно-малые кусочки с элементарным зарядом dq и потом интегрируя для нахождения напряжённости поля, естественным образом обосновывается в этой схеме с помощью дифференциальных форм (а в классической схеме выше обоснования этому принципу нет).
> я верю, что ты
Я не имею намерения обидеть или принизить кого-то из отписавшихся анонов. Если мой тон кажется резким - извиняюсь, он таким не задумывался. Но я всё-таки настаиваю, что обсуждение суммирования атомарных "ничего" реальный смысл понятия "интеграл", как он изложен в учебниках математики, совсем не проясняет.
