>>4902090Окей. Воспользуемся дираковской бра-кет-нотацией (чисто ради понтов, реальной надобности в ней у нас не будет). Пусть A и B два физически различимых состояния объекта. Физическая различимость значит буквально, что если мы нашли систему в состоянии А, то она определённо не находится в состоянии В. Проще и короче это выразить в терминах линейной алгебры, как условие ортонормированности базиса. Но если есть базис, то должно быть и векторное пространство же? Именно так. Наши состояния А и В можно абстрагировать элементами векторного пространства. В данном случае оно двумерно. Но в идеале может быть бесконечномерным. Но это так, к слову. Как ортонормированность связана с взаимоисключением состояния, думаю, ясно. Наша система находится в состоянии S. Это состояние какой-то векторчик опять же. А что можно сделать с любым вектором? Его можно разложить по базису. Именно так и сделаем. Запишем наше S как формальную линейную комбинацию состояний А и В: |S> =
a|A> +
b|B>. Здесь мы перешли к обещанной дираковской нотации. Итак, |A> и |B> - орты нашего векторного пространства, а |S>, опять-таки, элемент этого векторного пространства, как-то разложен по данному базису.
a и
b суть какие-то коэффициенты. Собственно, обычно это комплексные числа и в квантовой механике чаще всего именно с ними возятся. Т.е., с векторными пространствами над полем комплексных чисел. Причины такой избирательности вскрывать сейчас не стоит. Эти коэффициенты замечательны тем, что они выбираются с тем рассчётом, чтобы их нормы были равны единице. В таком случае квадрат модуля такого числа равен единице, т.е. действительному числу. На состояние суперпозиции, описанной уравнением выше, накладывается условие нормировки. Сумма всех коэффициентов не меньше и не больше единицы. Эти коэффициенты можно назвать амплитудами вероятности. А вероятность не может быть отрицательной, больше единицы, но может быть в общем случае меньше единицы и даже стремиться к нулю. Но не в этом случае. У нас есть ограничение. Объект
точно должен быть в каком-то из состояний. Пусть не в А, так хоть в В. Амплитуда вероятности ненаблюдаема и злые языки даже говорят, вообще не имеет физического смысла. Так оно и есть. На самом деле, для нас имеет значение квадрат модуля амплитуды вероятности (почему удобно использовать комплексные числа). Вот эти коэффициенты могут быть не заданы раз и навсегда. В таком случае, если они как-то зависят от времени, то мы имеем все основания ввести комплекснозначные функции, которые принимают на входе действительное число (ну правда, кто и когда видел комплексное время?) И теперь мы можем переписать наше уравнение как-то так: |S> = ψ₁(t)|A> + ψ₂(t)|B>. При этом ∑|ψ|² = 1. Вот они наши волновые функции, мистические и загадочные (не зря же их такой паранормальной буквой принято обозначать). Что замечательного в этом всём, амплитуды вероятности могут интерферировать. Прямо как волночки. В нашем случае имеет место так называемая деструктивная интерференция. Я не буду углубляться в детали и скажу, что это реальный пример, описывающий проекцию спина электрона. У неё как раз лишь два возможных значения. Решением уравнения Шрёдингера для данной системы является пара банальных тригонометрических функций. Синус и косинус. Когда косинус растёт, синус убывает и наоборот. Если совместить их графики, будет наглядно видна та самая деструктивная интерференция (это знаменитый эксперимент Штерна-Герлаха).
В случае со смешанным состоянием у нас нет няшных волновых функций и вообще, как и говорилось, мы тупо берём пачку объектов и начинаем их мерить, мерить, мерить... Получаются какие-то средние значения. Формально мы экспериментируем с одной единственной частицей (любой электрон совершенно похож на любой другой и отличить их совершенно невозможно, так что имеем полное право так считать), но делаем измерения на целом ансамбле однородных объектов. Тут уже в ход идут матрицы плотности, проекционные постулаты и прочие ужас.
Устал писать, сорян. Ещё много интересного можно написать про гильбертовы пространства сами по себе, алгебры операторов, наблюдаемые и даже любимые всеми (чуть меньше, чем коты Шрёдингера) запутанные состояния, но уже невмоготу сражаться в темноте с клавиатурой (да и я не совсем соврал, я действительно многое не понимаю, в том числе, как весь этот формализм соотносится с реальностью и почему работает именно так, как работает). Хотя и думаю, что до этой строки всё равно никто не дочитает, хе-хе.
