>>3369486 Сначала первая порция формулировок. Основные понятия теории множеств будем считать известными, аксиоматика дефолтная.
Пусть есть множество. Будем говорить, что на множестве задана n-местная операция, если задана функция n аргументов вида M x M x...x M -> M, где M x M x...x M - декартово произведение n экземпляров множества M.
Нульарной операцией называется операция константы. То есть если мы каким-то образом отметили во множестве M точку, мы говорим, что во множестве задана нульарная операция.
Унарной операцией над множеством M (на множестве M) называется операция вида M->M. То есть унарная операция - это просто функция вида f(x).
Бинарной операцией над множеством M называется операция вида MxM -> M. То есть бинарная операция - это просто какая-то функция вида f(x,y).
Группой называется множество M с нульарной, унарной и бинарной операциями, называемыми соответственно единицей, операцией взятия обратного элемента и операцией произведения и обозначаемыми соответственно 1, - и
∘, такими, что выполняются три свойства.
1) a ∘ 1 = 1 ∘ a = a - кстати, 1 называется нейтральным элементом
2) a ∘ -a = 1
3) (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) - кстати, любая операция, обладающая таким свойством, называется ассоциативной.
где a, b, c - произвольные элементы M.
Если, сверх того, для любых a,b выполняется свойство
4) a∘b = b∘a - кстати, это свойство называется коммутативностью,
то группа называется абелевой. В абелевых группах операция композиции традиционно обозначается как + и называется сложением, а единица называется нулём и обозначается 0.
Пусть у нас есть абелева группа. Обозначим эту группу как <M, +>.
Предположим также, что на M задана ассоциативная бинарная операция ×, дистрибутивная относительно сложения, и называемая умножением. Тогда <M, +, ×> будем называть кольцом. Запишем определяющие свойства кольца в явном виде.
1) a + 0 = 0 + a = a
2) a + -a = 0
3) (a + b) + c = a + (b + c)
4) a + b = b + a
5) (a x b) × c = a × (b × c)
6) (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
с × (a + b) = (с × a) + (c × b)
Введём, кстати, канонiчное правило раскрытия скобок и объявим, что × имеет высший приоритет, чем +.
Кстати, свойства вида 6 называются дистрибутивностью.
Кольца, в которых операция × коммутативна, будем называть коммутативными кольцами.
7) a × b = b x a
Предположим, что в кольце есть элемент 1, называемый "единица по умножению", и нейтральный относительно ×. Такие кольца мы будем называть кольцами с единицей.
8) a × 1 = 1 × a = a
Примером кольца (коммутативного с единицей) является всем известное множество целых чисел с обычными арифметическими операциями сложения и умножения.
Непустые коммутативные кольца с единицей будем называть хорошими. Работать будем с хорошими кольцами.
Пусть у нас есть какая-то структура на множестве M с какими-то операциями. Подструктурой этой структуры мы будем называть структуру на подмножестве M' множества M с операциями, являющимися ограничениями исходных операций над M на M'. Проще говоря, подгруппа - часть группы, являющаяся группой. Подкольцо - часть кольца, являющаяся кольцом. Подпространство - часть пространства, являющаяся пространством. И тому подобное.
Пусть есть кольцо <M, +, x>.
Пусть I - подмножество множества M, а <I, +, x> - подкольцо данного кольца.
Рассмотрим множество IM всех элементов вида i x m, где i пробегает множество I, m пробегает всё множество M. Если IM есть подмножество M (то есть операция умножения элементов I справа на элементы M не выводит из множества I), то I называется правым идеалом кольца M.
Аналогично определяется левый идеал, только нужно рассмотреть произведения вида m x i. Идеал, являющийся и левым, и правым, называется лево-правым идеалом, или двусторонним идеалом, или просто идеалом, если не может возникнуть путаница. В коммутативных кольцах, очевидно, любой идеал является двусторонним.
Примером идеала является идеал чётных чисел в кольце целых чисел. Потому что чётные числа сами по себе образуют кольцо, и к тому же умножение чётного числа на произвольное число есть снова чётное число.
Пусть теперь есть два множества, S и M. Совершенно произвольной природы. SxM - декартово произведение множества S на множество M. Будем говорить, что нам задано
внешнее произведение множества M на скаляры из S, если нам задана функция SxM -> M, sm |-> m.
Предположим, что у нас есть кольцо <S, +, x>, причём коммутативное с единицей 1.
Предположим, что у нас есть абелева группа <M,+>.
Предположим, что у нас есть операция внешнего произведения M на скаляры из S, причём выполняются следующие свойства.
1) (s1 x s2)m = s1 (s2 m). То есть внешнее произведение согласовано с умножением в кольце скаляров.
2) 1 m = m. То есть внешнее произведение на единицу не изменяет m.
3) s(m1 + m2) = sm1 + sm2. То есть внешнее произведение дистрибутивно относительно сложения в абелевой группе.
4) (s1 + s2)m = s1m + s2m. То есть внешнее произведение дистрибутивно относительно сложения в кольце.
Тогда полученную конструкцию мы будем называть модулем M над кольцом S, или просто модулем над кольцом S, или просто S-модулем.
Пример модуля над кольцом - умножение обычных школьных векторов на элементы из кольца целых чисел.
Предположим далее, что множество M обладает следующим свойством. Существуют такие элементы m1, m2, ... , mn, что любой элемент m из M может быть представлен в виде
s1m1 + s2m2 + ... + snmn.
Тогда модуль называется конечнопорождённым.
Факт. Пересечение конечного количества идеалов - снова идеал. Доказывать пока не буду.
Пусть x - какой-то элемент кольца. Множество всех элементов вида ax называется главным идеалом, порождённым x, и обозначается (x). Как нетрудно видеть, это действительно идеал.
Пусть A - такой идеал, что нет такого идеала X, что A ⊂ X ⊂ S. Тогда A называется максимальным идеалом.
Факт. В каждом хорошем кольце есть максимальный идеал. Доказывать пока не буду.
Арбузным радикалом кольца S называется пересечение всех максимальных идеалов кольца S.
Арбузной семечкой кольца S называется идеал, содержащийся в арбузном радикале этого кольца.
Лемма Накаямы. Пусть есть конечно-порождённый S-модуль, обозначим его M. Пусть I - арбузная семечка S. Если IM = M, то M = 0.
По формулировкам вопросы есть?
